gradient
Cho U là một tập con mở của không gian Banach V, V trù mật và được nhúng liên tục vào không gian Hilbert H. Cho E : U → R là hàm khả vi liên tục và g : U → Inner(H) là một mêtric. Chúng ta giả sử rằng tồn tại hằng số c ≥ 0 sao cho
Bổ đề 2.3 (Xem [4], Bổ đề 11.3). Cho u ∈ Wloc1,2(R+;H) ∩ C(R+;V)
là nghiệm toàn cục của hệ gradient (2.1). Giả sử rằng u có miền ảnh compact tương đối trong U, và bất đẳng thức năng lượng
Z t
0
ku˙(s)k2g(u(s))ds+E(u(t)) ≤ E(u(0)) (2.3) đúng với mọi t ∈ R+. Khi đó mọi điểm ω-giới hạn của u là một điểm cân bằng của E, nghĩa là, mọi phần tử ϕ ∈ ω(u) thỏa mãn ϕ∈ D(∇gE)
và ∇gE(ϕ) = 0.
Chứng minh. Vì u có miền ảnh compact tương đối trong U và vì E là liên tục trên U nên hàm hợp E(u) bị chặn. Khi đó từ bất đẳng thức năng lượng (2.3) suy ra tích phân R0∞ku˙(s)k2g(u(s))ds là hữu hạn. Theo giả thiết (2.2) , tích phân R0∞ku˙(s)k2H cũng hữu hạn.
Cho ϕ ∈ ω(u). Khi đó tồn tại một dãy không bị chặn, tăng (tn) ⊆ R+
sao cho lim
n→∞||u(tn)−ϕ||V = 0. Vì V được nhúng liên tục vào H, và theo bất đẳng thức Holder, với mọi s ∈ [0,1] ta có
lim sup n→∞ ||u(tn +s)−ϕ||H ≤lim sup n→∞ (||u(tn)−ϕ||H + Z tn+s tn ||u˙(r)||Hdr) ≤lim sup n→∞ ( Z tn+s tn ||u˙(r)||2Hdr)12 = 0.
Sử dụng lại tính compact tương đối của miền ảnh của u và chuyển qua dãy con, từ đó suy ra
lim
n→∞ku(tn+s)−ϕkV = 0 với mọi s ∈ [0,1].
Theo tính liên tục của E0,
lim
Vì vậy, theo định lý hội tụ trội, theo định nghĩa của gradient và vì u là nghiệm của hệ gradient (2.1) nên với mọi v ∈ V,
| hE0(ϕ), vi | = | 1 Z 0 hE0(ϕ), vids| = lim n→∞| 1 Z 0 hE0(u(tn +s)), vids| = lim n→∞| 1 Z 0 hu˙(tn+ s), vig(u(t n+s))ds|.
Theo tính liên tục của mêtric g và vì u có miền ảnh compact tương đối trong U nên với mọi v, w ∈ H, tập
n
hv, wig(u(t))
: t ∈ R+o là bị chặn. Do đó, theo nguyên lý bị chặn đều, tồn tại hằng số C ≥ 0 sao cho với mọi v ∈ H và mọi t ∈ R+ ta có kvkg2(u(t)) ≤ Ckvk2H. Do đó, với mọi
v ∈ V, | hE0(ϕ), vi | ≤ lim n→∞( Z 1 0 ||u˙(tn +s)||2g(u(t n+s))ds)12( Z 1 0 ||v||2g(u(t n+s))ds)12 ≤ lim n→∞( Z 1 0 ||u˙(tn +s)||2g(u(t n+s))ds)12 √ C||v||H = 0.
Cho ta E0(ϕ) = 0 và bổ đề được chứng minh.
Một không gian tôpô Hausdorff S là rời rạc nếu tôpô trên S là rời rạc, nghĩa là, mọi tập con của S đều vừa mở vừa đóng. Trong không gian rời rạc, một tập con liên thông nếu nó chứa nhiều nhất một phần tử. Điều này dẫn đến một kết quả ổn định sau đối với nghiệm toàn cục của hệ gradient.
Định lý 2.1 (Xem [4], Định lý 11.4). Giả sử tập điểm cân bằng S :=
{ϕ∈ D(∇gE) : ∇gE(ϕ) = 0} ⊆ U là rời rạc. Khi đó mọi nghiệm toàn cục u của (2.1) với miền ảnh compact tương đối trong U và thỏa mãn bất đẳng thức năng lượng (2.3) đều hội tụ tới một điểm cân bằng, nghĩa là tồn tại ϕ ∈ S sao cho lim
t→∞u(t) = ϕ trong V.
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.3, tập ω-giới hạn của nghiệm toàn cục, liên tục có miền ảnh compact tương đối trong U được chứa trong tập hợp các điểm cân bằng. Theo Bổ đề 2.2(a), tập ω-giới hạn là khác rỗng và liên thông. Vì, theo giả thiết tập các điểm cân bằng là rời rạc nên tập
ω-giới hạn chứa đúng một điểm. Khẳng định của định lý được suy ra từ Bổ đề 2.2(c).