Ví dụ: Kiểm tra tính bất khả quy của các đa thức trên trờng mở rộng K của Z5 sinh bởi nghiệm α của đa thức x4 + x - 1 ∈Z5[x] .
[>alias(alpha=Rootof(x4 +x-1))mod5); α [>Irreducible(x^3+3*x^2+x+1,alpha)mod5; true [>Irreducible(x^5+3*x^4+3*x^3+2*x^2+2*x+2,alpha)mod5; false [>Factor(x^5+3*x^4+3*x^3+2*x^2+2*x+2,alpha)mod5; 3 2 3 2 3 2 (x 4+ α + α + α +3)(x+ α + α + α +4 4 2)(x +3x + +x 1)
3.2.5. Tìm số đa thức bất khả quy có bậc n trên trờng hữu hạn.
Tìm số các đa thức bất khả quy P bậc n trên trờng Galois Fp với p là số nguyên tố bằng lệnh sau:
[>mipolys(n,P);
Kết luận
Nhằm góp phần đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin vào đổi mới phơng pháp giảng dạy và nghiên cứu toán học, luận văn bớc đầu tìm hiểu và giới thiệu về các thuật toán trong số học, sử dụng các phần mềm tin học để thực hiện một số tính toán cụ thể và tính toán hình thức.
Nội dung chủ yếu đề cập trong chơng 1 là: Thuật toán, Độ phức tạp của thuật toán, Sơ lợc về Maple.
Chơng 2, giới thiệu một số vấn đề cơ sở của số học hiện đại: Số giả nguyên tố, Số Carmichael, Số giả nguyên tố mạnh, Kiểm tra Miller, Mở rộng Galois của trờng số đại số. Kết quả chính trong chơng 2 là đã chỉ ra đợc:
Ě Số k các chữ số trong biểu diễn của số nguyên dơng n trong hệ cơ số g có bậc O-lớn của lnn hay k = O(lnn) (xem định lý 2.1.9).
Ě Thuật toán tính n! có độ phức tạp là O(n2ln2n), (xem định lý 2.1.10).
Chơng 3, giới thiệu thực hành tính toán trên Maple gồm các thuật toán kiểm tra: nguyên tố, số
giả nguyên tố, số Carmichael, số giả nguyên tố mạnh; tính toán đồng d theo Định lý Trung Quốc …
số hữu tỉ; Khai báo các mở rộng đại số của trờng Galois có đặc số nguyên tố; Tính toán trên trờng Galois. Các thuật toán này đều đợc chúng tôi kiểm tra trên phần mềm Maple. Trong luận văn, chúng tôi đã quan tâm tới.
Giả thuyết. Tích của các số nguyên tố liên tiếp bắt đầu từ 3 trừ đi 2 là số nguyên tố. Nói khác đi, nếu ký hiệu pk là số nguyên tố thứ k (kể từ số 3 trở đi) thì số An = p p p1 2 3...pn−2 là số nguyên tố, với mọi n > 2.
Với Maple, luận văn kiểm định đợc giả thuyết trên nhờ lệnh ifactor (phân tích một số ra thừa số nguyên tố):
[> ifactor(3*5*7*11*13*17*19*23*29 2);–
(43)(167)(450473)
Nh vậy, thay cho việc phải làm 1300 phép chia, tức là mất vài buổi làm tính số ta biết đợc A9 =
3.5.7.11.13.17.19. 23.29 – 2 là hợp số và có câu trả lời phủ định cho giả
thuyết trên.
Trong thời gian tới, với các khả năng tính toán và biểu diễn tuyệt vời của các phần mềm tin học, cộng với công sức và tài năng s phạm của ngời thầy (một điều kiện không thể thiếu), chúng ta hy vọng sẽ tạo ra những đổi mới về giáo dục và nghiên cứu toán học. Luận văn này của chúng tôi mong muốn đợc đóng góp một phần vô cùng nhỏ bé trong công cuộc vận động hết sức to lớn đó.