Ngời Hy lạp cổ đại có quan niệm rất thần bí về các số. Họ rất thú vị phát hiện ra các số hoàn chỉnh, nghĩa là các số nguyên dơng mà tổng các ớc số dơng khác nó của nó, bằng chính nó. Đối với số hoàn chỉnh chẵn, có kết quả sau đây
Một số nguyên dơng chẵn n là số hoàn hảo nếu và chỉ nếu
),1 1 2 ( 2 1 − = m− m n
trong đó m≥2 là số nguyên dơng sao cho 2m −1 là số nguyên tố.
Đối với số hoàn chỉnh lẻ, giả thuyết “Không tồn tại số hoàn chỉnh lẻ ” vẫn cha đợc chứng minh.
Khái niệm số hoàn chỉnh đợc mở rộng nh sau: Ta lấy một số tự nhiên a1và tính tổng
của tất cả các ớc thực sự của a1, ta đợc a2. Tính tổng của tất cả các ớc số thực sự của a2, ta
đợc a3,... Nếu xảy ra trờng hợp, tổng tất cả các ớc số
thực sự của an nào đó mà cho ta a1 thì ta đợc một vòng n số sắp thứ tự
),..., ,..., ,
(a1 a2 an . Với n=1, ta có số hoàn chỉnh.
Với n=2, ta có cặp số đợc gọi là cặp số bạn bè :
Số này bằng tổng tất cả các ớc số thực sự của số kia. Từ cổ Hy Lạp, ngời ta đã biết cặp số bạn bè nhỏ nhất là 220 và 284. Năm 1636, Fermat tìm đợc cặp số bạn bè khác là 17296 và 18416. Gần nh đồng thời, Descartes tìm ra cặp số 9363584 và 9437056. Đến thế kỷ 18, Euler công bố danh sách 60 cặp số bạn bè. Điều đáng ngạc nhiên là trong thời gian khá dài, ngời ta cứ nghĩ rằng cặp số bạn bè nhỏ tiếp theo là 2620 và 2924, nhng năm 1867, một ngời Italy đã tìm ra cặp số bạn bè 1180 và1210 và đây đúng là cặp số bạn bè nhỏ thứ hai. Năm 1918, ngời ta đã tìm ra đợc một vòng gồm 5 số là (12469, 14288, 15472, 14536, 14264). Ngày nay, nhờ máy tính ngời ta đã tìm ra trên 600 cặp số bạn bè. Cho đến nay, cha ai tìm đợc một vòng gồm 3 số.