Tính mêtric hóa và tính tách được trên Cps(X)

Một phần của tài liệu TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ TRÊN C(X (Trang 51 - 67)

Chúng ta bắt đầu với định nghĩa tính mêtric dưới và một vài hệ quả trực tiếp của tính chất này.

3.2.1. Định nghĩa

Một không gian hoàn toàn chính quy X, được gọi là mêtric dưới

nếu X có một tôpô mêtric hóa yếu hơn, hay tương đương là nếu tồn tại một

đơn ánh liên tục f :X,  Y d, , ởđó Y d,  là không gian mêtric.

3.2.2. Chú ý

 i Nếu không gian X có dạng G chéo, tức là nếu tập hợp  

x x x X, :   là một G tập trong không gian tích X X , thì với mỗi

điểm trong XG tập. Chú ý rằng với mỗi không gian mêtric hóa đều có dạng không-tập-chéo (xem [17]). Suy ra mỗi không gian mêtric dưới cũng có dạng không-tập-chéo.

 ii Với mỗi tập giả compăc trong một không gian mêtric dưới là

G tập (xem [17]). Đặc biệt, tất cả những tập con compăc, tập con compăc

đếm được và tâp hợp một điểm là những G tập trong một không gian mêtric dưới. Một không gian được gọi là E0 không gian nếu với mỗi điểm trong không gian này có dạng G tập. Vì thế không gian mêtric dưới là

0

E không gian.

3.2.3. Định nghĩa

Một không gian hoàn toàn chính quy X được gọi là  giả compăc

nếu tồn tại một dãy những tập giả compăc  An trong X sao cho X n1An. Một không gian X được gọi là hầu  giả compăc nếu nó có một tập con  giả compăc trù mật.

3.2.4. Định lí

Với bất kì không gian X các phát bi, ểu sau là tương đương.

 a Cps X là không gian mêtric dưới;

 b Với mỗi tập con giả compăc của Cps X là một G tập trong

 ;

ps

C X

 c Với mỗi tập con compăc đếm được của Cps X là một G tập trong Cps X ;

 d Với mỗi tập con compăc của Cps X là một G tập trong

 ;

ps

 e Cps X là một E0 không gian;

 f X là hầu  giả compăc;

 g Cps X có dạng không-tập-chéo;

 h Cps X có dạng G chéo.

Chứng minh

         abcde . Các kết quả này được suy ra trực tiếp.    ef . Nếu Cps X là một E0không gian, khi đó hàm hằng 0 xác định trên X là một G tập. Gọi  0 n 1 0, ,Ann ,

 ở đó An là giả

compăc trong X và n 0. Chúng ta cần chứng minh Xn 1An.

  Giả sử x0X \n1An. Vì thế tồn tại một hàm f X:  0,1 sao cho   0 f x  với mọi xn1Anf x 0 1. Vì f x 0 với mọi x An nên 0, ,n n fA  với mọi n và do đó fn 1 0, ,Ann  0 .    Điều này có nghĩa là f x 0 với mọi x X . Nhưng f x 0 1. Từ sự mâu thuẫn này, chúng ta kết luận rằng X là hầu  giả compăc.

   fa . Gọi A nn:   là một tập con trù mật của ,X ở đó mỗi

n

A là giả compăc. Đặt S  A nn:   là tổng của họ An và gọi : SX

là ánh xạ tự nhiên. Khi đó ánh xạ cảm sinh :Cps XCps S được xác

định  ff  là liên tục. Vì  là ánh xạ hầu lên, theo Định lí 3.1.3 ii , là một ánh xạ một-một. Theo Định lí 3.1.15, CpsA nn:  

đồng phôi với Cps An :n . Nhưng mỗi Cps An là mêtric hóa, vì tôpô sinh bởi mêtric cận trên trùng với tôpô giả compăc-mở trên một miền giả

compăc bất kì ( xem Định lí 2.2.3  ii ). Vì Cps S là không gian mêtric hóa

và  là đơn ánh liên tục nên Cps X là không gian mêtric dưới.

       aghe . Các kết quả này được suy ra từ Chú ý 3.2.2 i .

3.2.5. Định lí

Giả sử rằng X hầu giả compăc. Nếu K là một tập con của

 

ps

C X thì các phát biểu sau là tương đương.

 a K là compăc;

 b K là compăc theo dãy;

 c K là compăc đếm được;

 d K là giả compăc.

Chứng minh

     bcd . Các kết quả này được suy ra trực tiếp.

   ab và    da . Theo Định lí 3.2.4 ta có Cps XK là không gian mêtric dưới. Một không gian giả compăc mêtric dưới là không gian mêtric và là một không gian compăc (xem [20]). Hơn nữa, trong một không gian mêtric hóa các loại tập compăc là đồng nhất. Do đó    ab

Tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra trên Cps X có một số tính chất tôpô tương đương với tính mêtric hóa. Vì thế trước hết chúng ta cần định nghĩa những tính chất tôpô này.

3.2.6. Các định nghĩa

3.2.6.1. Tập có đặc tính đếm được

Một tập con S của một không gian X được gọi là có đặc tính đếm

được nếu có một dãy những tập con mở W nn:   trong X sao cho SWn

với mỗi n và nếu W là một tập mở bất kì chứa S thì WnW với n nào đó.

3.2.6.2. Không gian có kiểu đếm được

Một không gian X được gọi là có kiểu đếm được nếu với mỗi tập compăc được chứa trong một tập compăc có đặc tính đếm được.

Một không gian X được gọi là có kiểu đếm được từng điểm nếu với mỗi điểm được chứa trong một tập compăc có đặc tính đếm được.

3.2.6.3. q-không gian

Một không gian X được gọi là một qkhông gian nếu với mỗi điểm ,

x X tồn tại một dãy những lân cận U nn:   của x sao cho nếu xnUn

với mỗi n thì x nn:   có một điểm tụ.

3.2.6.4. M-không gian

Một không gian X được gọi là Mkhông gian nếu tồn tại :f XY

là ánh xạ lên, liên tục, đóng và ảnh ngược của mỗi điểm là tập compăc đếm

3.2.6.5. Chú ý

 Không gian có kiểu đếm được từng điểm và M không gian là những qkhông gian.

 Một không gian mêtric hóa là không gian có kiểu đếm được. (Để có các kết quả vừa nêu xem [5], [23], [24] và [27])

3.2.7. Định lí

Với bất kì không gian X các phát biểu sau là tương đương.

 a Cps X là không gian mêtric hóa;

 b Cps X là không gian thỏa mãn tiên đềđếm được thứ nhất;

 c Cps X là không gian có kiểu đếm được;

 d Cps X là không gian có kiểu đếm được từng điểm;

 e Cps X có một không gian con có kiểu đếm được từng điểm trù mật;

 f Cps X là một Mkhông gian;

 g Cps X là một qkhông gian;

 h X là nửa giả compăc; tức là, tồn tại một dãy những tập giả

compăc A nn:   trong X sao cho với bất kì tập con giả

Chứng minh

       acdg ,      afg và      abg . Những kết quả này được suy ra từ các Định nghĩa ở 3.2.6.

   de .Ta có nếu D là một tập con trù mật của không gian XA là một tập con compăc của D thì A có đặc tính đếm được trong D nếu và chỉ nếu A có đặc tính đếm được trong X. Vì Cps X là không gian lồi địa phương nên nó là không gian thuần nhất. Từ hai kết quả này ta có    de .

   gh . Giả sử Cps Xqkhông gian. Do đó tồn tại một dãy những lân cận U nn:   của hàm hằng–không 0 trong Cps X sao cho nếu fnUn với mỗi n thì f nn:   có điểm tụ thuộc Cps X . Với mỗi n sẽ có một tập con đóng giả compăc An của X và n 0 sao cho

0 0, ,AnnUn.

Gọi A là một tập con giả compăc của X. Giả sử A không là tập con của An với bất kì n . Khi đó, với mỗi n sẽ tồn tại anA A\ n. Vì thế

với mỗi n sẽ tồn tại một hàm liên tục f Xn :  0,1 sao cho f an nn

f xn 0, với mọi x An. Rõ ràng là fn 0, ,Ann . Nhưng dãy  fn n

không có điểm tụ trong Cps X . Nếu giả sử dãy này có một điểm tụ f trong

 .

ps

C X Khi đó, với mỗi k sẽ tồn tại một số nguyên dương nkk sao cho , ,1 . k n ff A Vì thế với mọi , 1    k k k n n n kf af a  nk  1 k.

dãy  fn n không có điểm tụ trong Cps X . Suy ra Cps X không là

qkhông gian. Do đó X phải là nửa giả compăc.

   ha . Ở đây, chúng ta cần đến kết quả đã biết là nếu tôpô của không gian Hausdorff lồi địa phương được sinh bởi một họ nửa chuẩn đếm

được thì nó là không gian mêtric hóa (xem [27]). Vì thế tôpô lồi địa phương trên C X  được sinh bởi một họ nửa chuẩn đếm được  : 

n

A

p n là mêtric

hóa và thô hơn tôpô giả compăc-mở. Tuy nhiên, bởi vì với mỗi tập giả

compăc A trong X sẽ tồn tại An sao cho AAn nên tôpô lồi địa phương

sinh bởi họ nửa chuẩn  :  ,

A

p A PS X đó là tôpô giả compăc-mở, thì thô

hơn tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn  : .

n

A

p n Do đó Cps X là không gian

mêtric hóa.

Trong phần còn lại của chương 3 ta nêu một số kết quả sau.

3.2.8. Định lí

Cho X là một không gian bất kì, các khẳng định sau đây là tương

đương.

( )a Cps( )X là không gian tách được;

( )b C X là không gian tách k( ) được;

( )c C X là không gian tách p( ) được, với C X là không gian tôpô p( )

hội tụ điểm trên C X ; ( )

( )e X là một không gian mêtric dưới và có một tập con trù mật có

bản số nhỏ hơn hoặc bằng 2 .0

Chứng minh

     abc . Các kết quả này được suy ra trực tiếp.

   cd (xem [ 30]).

   de . Gọi :f XY là một song ánh liên tục, ở đó Y là một

không gian mêtric tách được. Vì thế card Xcard Y . Nhưng Y là không

gian tách được nên card Y 2 . 0

   ea . Vì X là không gian mêtric dưới nên với mỗi tập con giả

compăc của X là compăc. Suy ra Cps( )XC Xk( ). Mà    eb (xem [29]) nên ta có điều cần chứng minh.

3.2.9. Hệ quả

Nếu Cps( )X là không gian tách được thì Cps( )XC Xk( ).

3.2.10. Các ví dụ

3.2.10.1. Giả sử X là không gian giả compăc nhưng không là không gian

mêtric hóa. Vì không gian giả compăc mêtric dưới là không gian mêtric hóa

(xem [20]) nên X cũng không là không gian mêtric dưới. Do đó ( )Cps X

không tách được. Đặc biệt, với X 0,1 hoặc X 0,1 thì Cps( )X và ( ) k C X đều không tách được. Với X 0,1 thì C Xp C Xk Cps X , nhưng với X 0,1 thì C Xp C Xk Cps X .

3.2.10.2. Vì là một không gian mêtric tách được nên Cps( ) là không gian tách được. Đối với không gian này ta có

     .

p k ps

CCC

3.2.10.3. Xét không gian Fortissimo F (xem [28]), F không đếm được.

Không gian này là Lindelof và với mỗi tập con compăc của F là tập hữu hạn. Suy ra với mỗi tập con giả compăc của F cũng là tập hữu hạn. Nhưng F

không là không gian mêtric dưới, vì tồn tại một điểm không có dạng G tập trong .F Do đó C Fp  không tách được. Đối với không gian này ta có

C Fp C Fk Cps F .

3.2.10.4. Giả sử X là không gian rời rạc đếm được. Khi đó Cps X là không gian tách được. Đối với không gian này ta có

KT LUN

1. Tương tự như tôpô hội tụ điểm và tôpô compăc-mở có ba cách để định nghĩa tôpô giả compăc-mở trên C X , điều này được thể hiện ở mục 2.1.2. Các định nghĩa này là tương đương với nhau và nó được khẳng định trong Định lí 2.1.4.

Nhằm mục đích hiểu rõ hơn về tôpô giả compăc-mở, chúng ta đã so sánh tôpô này với tôpô compăc-mở và tôpô hội tụ đều. Sự so sánh này được minh họa thông qua các ví dụ cụ thể cho tất cả các trường hợp. Một cách tổng quát ta có kết quả sau.

Với không gian X bất kì ta có C Xk Cps XC Xu 

Trong đó

 i C Xk Cps X nếu và chỉ nếu X là không gian p-isocompăc,

với họ không gian p-isocompăc bao gồm: không gian mêtric, không gian

paracompăc, không gian realcompăc, P-không gian, không gian metacompăc

và para-Lindelof.

 ii Cps XC Xu  nếu và chỉ nếu X là giả compăc.

2. Ánh xạ cảm sinh là một trong những công cụ thường sử dụng trên không gian hàm. Kết hợp theo từng cặp, Định lí 3.1.3 iii và Định lí 3.1.9;

Định lí 3.1.11 và Định lí 3.1.12 ta có thể nêu lại kết quả về ánh xạ cảm sinh như sau:

 Cho X là không gian p-isocompăc yếu và YS4-không gian, chuẩn tắc hàm. Khi đó f:C Y Cps X là ánh xạ hầu lên nếu và chỉ nếu :f XY là ánh xạ một-một.

 Cho :f XY là ánh x liên tục và mỗi tập con giả compăc của Y

là đóng. Khi đó f:Cps YCps X là phép nhúng nếu và chỉ

nếu :f XY là ánh xạ pphủ.

Ngoài ra, để nghiên cứu tính mêtric hóa của Cps X trong phạm vi rộng hơn ta đã giới thiệu một số tính chất tương đương với tính mêtric dưới như trong Định lí 3.2.4 và một vài hệ quả trực tiếp của tính chất này được khẳng định trong Định lí 3.2.5. Sau đó, ta chứng minh được rằng tính mêtric hóa tương đương với một số tính chất tôpô, điều này được cụ thể hóa trong

Định lí 3.2.7.

Trong phần cuối của chương 3, một kết quả đặc trưng trên không gian tách được của ( )Cps X được nêu ra trong Định lí 3.2.8. Thêm vào đó, một số

ví dụ minh họa cho kết quả này cũng đã được chỉ ra.

3. Qua những nội dung đã trình bày trong luận văn ta thấy, đây là một nghiên cứu chính thức về tôpô giả compăc–mở. Nó là một tôpô lồi địa phương tự nhiên đáng quan tâm trên ( )C X theo quan điểm tôpô.

Ngoài những nội dung được trình bày, tôpô giả compăc–mở Cps X

vẫn còn một họ những tính chất quan trọng khác cần được tiếp tục nghiên cứu như tính đầy đủ và tính đếm được. Song, có hai vấn đề khó khăn trong việc nghiên cứu Cps X cần phải lưu ý là:

 Trong không gian Tychonoff một tập con compăc là một C- nhúng còn một tập con đóng giả compăc thì không nhất thiết là một C- nhúng.

 Một tập con đóng của một không gian compăc là tập compăc nhưng một tập con đóng giả compăc của một không gian giả

compăc không nhất thiết là tập giả compăc.

Vì thời gian có hạn và đặc biệt trình độ bản thân còn hạn chế, chắc chắn còn nhiều vấn đề đáng quan tâm khác mà chúng tôi chưa nhận thấy. Bản luận văn cũng khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được những góp ý của độc giả. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn những độc giả đã, đang và sẽ

quan tâm đóng góp ý kiến cho bản luận văn này.

TÀI LIU THAM KHO

Tiếng Việt

1. Đậu Thế Cấp (2005), Tôpô đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục.

2. J. L. Kelli (1973), Tôpô đại cương (Hồ Thuần, Hà Huy Khái, Đinh Mạnh Tường dịch), Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp. 3. Hoàng Tụy (2002), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản đại học quốc

gia Hà Nội.

4. Hoàng Xuân Sính–Đoàn Quỳnh (1987), Tôpô là gì ?, Nhà xuất bản Khoa

Một phần của tài liệu TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ TRÊN C(X (Trang 51 - 67)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(67 trang)