2.2.1. Nhắc lại các định nghĩa
2.2.1.1. Tôpô compăc-mở trên C(X)
Cho trước tập con A của không gian ,X f C X và 0, gọi
, , : , . f A g C X f x g x x A Nếu K X là tập hợp tất cả những tập con compăc của X thì với mỗi f C X , tập hợp
f K, , :K K X , 0 tạo thành một cơ sở lân cận tại f trong tôpô
compăc-mở k trên C X . Khi C X được trang bị tôpô compăc-mở ,k
chúng ta kí hiệu không gian tương ứng là C Xk . Mỗi tập hợp f K, , , ở đó K là tập compăc trong ,X là một tập mở thực sự trong C Xk .
2.2.1.2. Tôpô hội tụđều trên C(X)
Đối với tôpô hội tụ đều u trên C X , tập hợp f X, , : 0 tạo thành một cơ sở lân cận của f C X . Khi X được trang bị tôpô ,u không gian tôpô tương ứng sẽ được kí hiệu là C Xu . Nhưng tập f X, , không nhất thiết phải là tập mở trong C Xu .
Từ những định nghĩa của các không gian tôpô nêu trên ta có kết quả
sau.
2.2.2. Định lí
2.2.3. Định lí Với mỗi không gian X, ta có i C Xk Cps X nếu và chỉ nếu với mỗi tập con đóng giả compăc của X là compăc. ii Cps X C Xu nếu và chỉ nếu X là giả compăc. Chứng minh i Chú ý rằng khi A là một tập con của X ta có , , , , . f A f A Vì thế nếu mỗi tập con đóng giả compăc của X là compăc thì Cps X C Xk . Suy ra C Xk Cps X . Ngược lại, giả sử C Xk Cps X và gọi A là một tập con đóng giả compăc bất kì của .X
Vì 0, ,1A là một tập mở trong C Xk nên có một tập con compăc K của X và 0 sao cho 0, ,K 0, ,1 .A
Giả sử có x A K \ , khi đó tồn tại hàm liên tục g X: 0,1 sao
cho g x 1 và g y 0, y K. Chú ý rằng g 0, ,K \ 0, ,1 .A Điều này dẫn đến sự mâu thuẫn.
Do đó AK và suy ra được rằng A là tập compăc.
ii Trước hết, ta giả sử rằng X là giả compăc. Vì với mỗi
f C X và 0, ta có f X, , là tập mở thuộc cơ sở của Cps X và suy ra được rằng Cps X C Xu .
Bây giờ, ta giả sử Cps X C Xu .
Vì 0, ,1X là một lân cận thuộc cơ sở địa phương của hàm hằng 0 trong C Xu nên tồn tại một tập giả compăc A của X và 0 sao cho
0, ,A 0, ,1 .X
Sử dụng tính hoàn toàn chính quy của X nhưđã thực hiện ở trên ta có X A. Do đó X A.
Vì bao đóng của một tập giả compăc lại là giả compăc nên X là giả compăc.
2.2.4. Hệ quả
Với bất kì không gian chuẩn tắc X,C Xk Cps X nếu và chỉ nếu với mỗi tập con đóng compăc đếm được của X là compăc.
Tiếp theo, chúng ta sẽ xét những không gian có mỗi tập con đóng giả
compăc là compăc. Để thuận lợi cho việc này, ta cần những định nghĩa sau.
2.2.5. Định nghĩa
Một không gian X được gọi là isocompăc nếu với mỗi tập con
đóng compăc đếm được của X là compăc.
Tương tự, một không gian X được gọi là p-isocompăc nếu với mỗi tập con đóng giả compăc của X là compăc.
2.2.6. Nhận xét
Áp dụng các kết quả của Định lí 2.2.3 i , Hệ quả 2.2.4 và các định nghĩa vừa nêu trên ta có kết quả sau.
Cho X là một không gian bất kì. Khi đó
i C Xk Cps X nếu và chỉ nếu X là p-isocompăc.
ii Nếu thêm điều kiện X là chuẩn tắc, khi đó C Xk Cps X nếu và chỉ nếu X là isocompăc.
2.2.7. Các không gian p-isocompăc
Bây giờ, ta sẽ nghiên cứu những không gian là p-isocompăc.
2.2.7.1. Không gian realcompăc và paracompăc
Một không gian X được gọi hầu realcompăc nếu X \X là tập trù mật trong X X\ .
Ta có các không gian realcompăc và paracompăc đều là hầu realcompăc. Hơn nữa, không gian giả compăc hầu realcompăc là compăc (xem [10]). Vì các không gian paracompăc và realcompăc có tính di truyền với những tập con đóng nên các không gian này đều là p-isocompăc.
Thật ra, chúng ta có thể thay paracompăc bằng điều kiện yếu hơn như
là metacompăc và para-Lindelof.
2.2.7.2. Không gian metacompăc và không gian para-Lindelof
a) Không gian metacompăc
Một không gianX được gọi là metacompăc nếu với mỗi phủ mở của
X có một cái mịn mởđiểm-hữu hạn. Một không gian metacompăc cũng được gọi là paracompăc yếu hoặc paracompăc từng điểm.
Với mỗi không gian metacompăc giả compăc đều là compăc (xem [12]).
b) Không gian para-Lindelof
Một không gian X được gọi là para-Lindelof nếu với mỗi phủ mở của nó có một cái mịn mởđếm được địa phương.
Với mỗi không gian giả compăc para-Lindelof là compăc (xem [14]). Nếu không gian X là metacompăc (tương ứng para-Lindelof) thì mỗi tập con đóng của nó cũng là metacompăc (tương ứng para-Lindelof) (xem [13]). Do đó chúng ta nhận được kết quả sau.
c) Định lí
Nếu một không gian X hoặc metacompăc hoặc para-Lindelof thì X là p-isocompăc.
2.2.7.3. Không gian hyperisocompăc
Một tập con A của không gian X được gọi là giả compăc tương đối
hay giới nội trong X nếu với mỗi hàm thuộc C X giới nội trên A.
Một không gian X được gọi là hyperisocompăc nếu với mỗi tập con
đóng giả compăc tương đối của nó là compăc. Một không gian hyperisocompăc cũng được gọi là không gian hoặc không gian Nachbin- Shirota (viết gọn là NS-không gian). Hiển nhiên, một không gian hyperisocompăc là một p-isocompăc.
Một tập con A của không gian X là giả compăc tương đối nếu và chỉ
nếu cl AX X (xem [11]). Do đó mỗi không gian realcompăc là hyperisocompăc.
Một không gian X được gọi là một Pkhông gian nếu với mỗi
G tập trong X là mở trong .X Mỗi tập giả compăc tương đối trong một
Pkhông gian là tập hữu hạn (xem [16]) nên mỗi Pkhông gian là hyperisocompăc.
2.2.8. Các ví dụ
2.2.8.1. Giả sử W 2 là tập hợp tất cả những tự số 2 được trang bị tôpô thứ tự, ở đây 2 là tự số nhỏ nhất của bản số 2 và gọi X là một không gian con của W 2 có được bằng cách bỏ đi tất cả những tự số giới hạn có một cơ sở địa phương đếm được (xem [16]). Khi đó X là một Pkhông gian nhưng không là realcompăc. Ởđây ta có
C Xk Cps X C Xu .
2.2.8.2. Với mỗi không gian X là p-isocompăc, chúng ta có
C Xk Cps X C Xu .
Chúng ta đã biết rằng họ không gian p-isocompăc bao gồm: không gian mêtric, không gian paracompăc, không gian realcompăc, Pkhông gian, không gian metacompăc và không gian para-Lindelof.
Đối với không gian X là p-isocompăc mà không là giả compăc, ta có
C Xk Cps X C Xu .
2.2.8.3. Không gian X 0,1 các tự số đếm được (xem [28], ví dụ 43) là compăc đếm được và chuẩn tắc theo từng tập nhưng không là isocompăc. Đối với không gian X này ta có
.
k ps u
2.2.8.4. Không gian Dieudonné plank D (xem [28], ví dụ 89) là metacompăc nhưng không là paracompăc đếm được, chuẩn tắc hay hyperisocompăc. Đối với không gian D ta có
.
k ps u
C D C D C D
2.2.8.5. Không gian Bing-Michael Y (xem [28],ví dụ 143) là metacompăc và chuẩn tắc nhưng không là paracompăc. Đối với không gian Y này, chúng ta có
.
k ps u
C Y C Y C Y
2.2.8.6. Gọi X 0,1R, ở đó 0,1 là không gian được đề cập trong ví dụ 2.2.8.3. Đối với không gian X này chúng ta có
.
k ps u
C X C X C X
2.2.9. Nhận xét
Chúng ta có sơđồ sau:
realcompăchyperisocompăc p-isocompăc isocompăc.
Trong sơ đồ trên không có sự kéo theo nào là có chiều ngược lại. Chẳng hạn như:
Không gian W 2 là hyperisocompăc, nhưng không là realcompăc.
Không gian Dieudonné plank D ở ví dụ 2.2.8.4 là p-isocompăc, nhưng không là hyperisocompăc.
Không gian (xem [16]) là giả compăc, nhưng không là compăc đếm được. Với mỗi tập con compăc đếm được của là compăc (xem [29]) nên là isocompăc nhưng không là p-isocompăc.
Chương 3 : ÁNH XẠ CẢM SINH, TÍNH MÊTRIC HÓA VÀ TÍNH TÁCH ĐƯỢC TRÊN Cps(X)
3.1. Ánh xạ cảm sinh 3.1.1. Ánh xạ cảm sinh
Nếu :f X Y là một ánh xạ liên tục thì ánh xạcảm sinh của f được kí hiệu là f:C Y C X được xác định theo công thức f g g f
với mọi g C Y .
Ở đây, chúng ta sẽ xét ánh xạ cảm sinh f khi cả hai C Y và C X
đã được trang bị tôpô giả compăc-mở.
3.1.2. Ánh xạ hầu lên
Một ánh xạ :f X Y được gọi là ánh xạ hầu lên nếu f X là tập trù mật trong Y, ở đó X là một tập khác rỗng bất kì và Y là một không gian tôpô.
3.1.3. Định lí
Gọi f X: Ylà một ánh xạ liên tục giữa hai không gian X vàY Khi . đó
i f : Cps Y Cps X là ánh xạ liên tục;
ii f : C Y C X là ánh xạ một-một nếu và chỉ nếu f là ánh xạ hầu lên;
Chứng minh i Giả sử g C ps Y . Gọi f g A, , là một lân cận thuộc cơ sởđịa phương của f g trong Cps X . Ta chứng minh f g f A, , f g A, , . Lấy h f g f A, , ta có h f g0 với g y g y0 , y f A . Mà h x f g x f g0 x f g x , x A. Hay * 0 , . h x f g x g y g y y f A Suy ra f g f A, , f g A, , .
ii và iii xem Định lí 2.2.6 trong [22].
Bây giờ, chúng ta sẽ phát biểu phần đảo của Định lí 3.1.3 iii với một số hạn chế trên X và .Y Để làm rõ những hạn chế này, chúng ta cần những
định nghĩa sau đây.
3.1.4. S4- không gian
Một không gian X được gọi là S4không gian nếu với mỗi tập con compăc đếm được của X là đóng trong .X Hay tương đương, X là
4
S không gian nếu với mỗi tập con không đóng A của X chứa một dãy xn có điểm tụ không thuộc .A
Một S4 không gian cũng được gọi là Cđóng. Lớp S4không gian bao gồm không gian các dãy. Đặc biệt, không gian thỏa mãn tiên đề đếm
được thứ nhất và không gian Fréchet là những S4 không gian (xem [6] và [20]).
3.1.5. Không gian p-isocompăc yếu
Một không gian X được gọi là p-isocompăc yếu nếu với mỗi tập con
đóng giả compăc của X là compăc đếm được.
3.1.6. Chú ý
Không gian là giả compăc nhưng nó không là p-isocompăc yếu. Không gian 0,1 các tự số đếm được cho trong ví dụ mục 2.2.8.3 không là isocompăc và do đó, nó cũng không là p-isocompăc. Nhưng vì
0,1 là compăc đếm được nên hiển nhiên nó là p-isocompăc yếu. Thật vậy, không gian compăc đếm được, cũng như không gian chuẩn tắc là những không gian p-isocompăc yếu.
3.1.7. Không gian chuẩn tắc hàm
Cho trước A và B là hai tập đóng rời nhau trong không gian .X Khi
đó X được gọi là chuẩn tắc hàm nếu tồn tại một hàm liên tục :f X R sao cho f A f B .
3.1.8. Nhận xét
Hiển nhiên, một không gian chuẩn tắc là một không gian chuẩn tắc hàm. Nhưng điều ngược lại thì không đúng. Không gian Tychonoff plank là chuẩn tắc hàm nhưng không là chuẩn tắc (xem [16] và [15]).
Một không gian chuẩn tắc hàm compăc đếm được là chuẩn tắc và mỗi tập con đóng giả compăc trong không gian chuẩn tắc hàm là Cnhúng (xem [7], [8] và [9]).
Sử dụng những định nghĩa vừa nêu ta phát biểu định lí sau.
3.1.9. Định lí
Cho X là một không gian p-isocompăc yếu và Y là một S4 không gian, chuẩn tắc hàm. Nếu f X: Y là ánh xạ một-một liên tục thì
: ps
f C Y C X là ánh xạ hầu lên.
Chứng minh
Chúng ta cần chỉ ra rằng f C Y là trù mật trong Cps X .
Lấy g C X và g A, , là một lân cận thuộc cơ sở địa phương của
g trong Cps X , ở đó A là tập con đóng giả compăc của X và 0.
Vì X là p-isocompăc yếu nên A là tập compăc đếm được trong .X Do
f là ánh xạ một-một và Y là một S4 không gian nên fA :A f A là một phép đồng phôi. Suy ra 1
A
g f f A R là liên tục.
Chú ý rằng f A là tập đóng compăc đếm được trong không gian chuẩn tắc hàm .Y Vì thế f A là một Cnhúng trong Y và do đó tồn tại h C Y sao cho 1 . A f A h g f Đặt h f ta có f h f C Y và g trên .A Do đó g A, , f C Y .
Suy ra f là ánh xạ hầu lên.
3.1.10. Ánh xạ p-phủ
Cho A là một tập con giả compăc bất kì của .Y Một ánh xạ liên tục :
f X Y được gọi là pphủ nếu tồn tại một tập con giả compăc C trong
X sao cho A f C .
3.1.11. Định lí
Cho f X: Y là một ánh xạ liên tục giữa hai không gian X và Y .
Nếu f:Cps Y Cps X là một phép nhúng thì f là một ánh xạ pphủ.
Chứng minh
Gọi A là một tập con giả compăc của ,Y ta có f 0 , ,1Y A là một lân cận mở của hàm hằng 0X thuộc f C ps Y .
Chọn một tập giả compăc C của X và 0 sao cho 0X 0 , ,X C f C ps Y f 0 , ,1 .Y A Ta cần chứng minh A f C . Giả sử có y A f C \ . Khi đó tồn tại một hàm liên tục g Y: 0,1 sao cho g y 1 và g f C 0. Do g f C 0 nên 0 , ,X ps f g C f C Y f 0 , ,1 .Y A
Mà f là đơn ánh nên g 0 , ,1 .Y A Nhưng y A kéo theo g y 1.
Do đó dẫn đến điều mâu thuẫn nên A f C . Suy ra f là một ánh xạ pphủ. Ngược lại, chúng ta có kết quả sau. 3.1.12. Định lí Giả sử rằng với mỗi tập con giả compăc của Y là đóng. Nếu ánh xạ liên tục f X: Y là pphủ thì f:Cps Y Cps X là một phép nhúng. Chứng minh
Vì với mỗi a Y sẽ tồn tại một tập giả compăc C của X sao cho a f C nên f sẽ là ánh xạ lên. Do đó, theo Định lí 3.1.3 ii thì f là ánh xạ một-một.
Chúng ta cần chỉ ra rằng f:Cps Y f C ps Y là một ánh xạ mở. Gọi g A, , là tập mở thuộc cơ sở trong Cps Y , ở đó A là một tập giả
compăc trong Y và 0.
Lấy h f g A, , . Vì thế tồn tại h1 g A, , sao cho f h 1 h. Vì g A, , là mở trong Cps Y nên tồn tại một tập giả compăc B
trong Y và 0 sao cho h B1, , g A, , . Do f là ánh xạ pphủ nên tồn tại một tập giả compăc C trong X sao cho B f C .
Chọn l C Y sao cho f l h C, , f C ps Y .
Vì B f C nên với mỗi b B sẽ tồn tại c C sao cho b f c . Do f l h C, , nên 1 1 l b h b l f c h f c f l c h c . Vì thế l h B1, , , tức là f l f h B1, , .