2. Cho điểm của cán bộ phản biện
2.3.3Trƣờng ngẫu nhiờn Gauss và hàm điều hũa
2.3.3.1 Trƣờng ngẫu nhiờn Gauss
Trong phần này bài toỏn lan truyền nhón đƣợc chớnh thức húa bằng cơ sở xỏc suất. Chiến lƣợc ở đõy là định nghĩa một trƣờng ngẫu nhiờn liờn tục trờn đồ thị.
Trƣớc tiờn chỳng ta định nghĩa một hàm thực trờn tập cỏc nỳt , cú thể õm hoặc lớn hơn 1. Với mong muốn những điểm chƣa gỏn nhón giống nhau (xỏc định bằng trọng số cạnh) sẽ cú cựng nhón. Điều này thỳc đẩy lựa chọn một hàm năng lƣợng bậc 2 :
(2.12)
E đạt giỏ trị nhỏ nhất khi cỏc hàm khụng đổi. Khi quan sỏt một số cỏc dữ liệu đƣợc gỏn nhón, chỳng ta cố định nhận giỏ trị trờn cỏc dữ liệu đƣợc gỏn nhón. Chỳng ta ỏp dụng một phõn bố xỏc suất lờn hàm bằng một trƣờng ngẫu nhiờn Gauss :
(2.13)
Với là tham số “nghịch đảo nhiệt độ” và là một hàm phõn vựng :
(2.14)
Chỳng ta đang quan tõm đến vấn đề suy luận với hoặc giỏ trị kỳ vọng . Phõn bố rất giống với một tiờu chuẩn của trƣờng ngẫu nhiờn Markov với cỏc trạng thỏi rời rạc (the Ising model, or Boltzmann machines (Zhu & Ghahramani, 2002b)). Thực tế sự khỏc biệt duy nhất là việc nới lỏng cho cỏc trạng thỏi cú giỏ trị thực. Tuy nhiờn việc nới lỏng này lại đơn giản húa vấn đề suy luận. Bởi vỡ hàm năng lƣợng bậc hai, và đều là cỏc phõn bố Gauss đa biến. Đõy là lý do đƣợc gọi là trƣờng ngẫu nhiờn Gauss. Phõn phối biờn cũng là phõn bố Gauss đơn biến.
2.3.3.2 Đồ thị Laplace
Chỳng ta làm quen với một đại lƣợng quan trọng trong đồ thị : toỏn tử Laplace . Đặt D là ma trận đƣờng chộo với là bậc của nỳt . Ta cú :
(2.15) Tổ hợp Laplace giỳp viết ngắn gọn hàm năng lƣợng. Chỳng ta cú thể chỉ ra rằng :
(2.16)
Trƣờng ngẫu nhiờn Gauss đƣợc viết là :
(2.17)
2.3.3.3 Hàm điều hũa
Cú thể chỉ ra rằng hàm mà làm cực tiểu húa hàm năng lƣợng :
là một hàm điều hũa. Nú thỏa món trờn cỏc nỳt chƣa gỏn nhón và nhận giỏ trị trờn cỏc nỳt đó gỏn nhón. Chỳng ta sử dụng để biểu diễn hàm điều hũa này. Theo tớnh chất của hàm điều hũa ta cú giỏ trị của tại cỏc nỳt chƣa gỏn nhón :
(2.18)
Vỡ nguyờn lý cực đại của hàm điều hũa (Doyle & Snell, 1984), nờn là
duy nhất và thỏa món .
Để tỡm nghiệm của hàm điều hũa này chỳng ta chia ma trận trọng số (tƣơng tự với ma trận ,…) thành 4 khối :
Nghiệm của với là :
(2.19)
(2.20)
(2.21)
Trong biểu thức (2.21) giống với biểu thức (2.11) với là ma trận quỏ trỡnh chuyển đổi. Bài toỏn lan truyền nhón thực tế đó tớnh toỏn hàm điều hũa.
2.3.3.4 Giải thớch và liờn tƣởng
Cỏc hàm điều hũa cú thể đƣợc xem xột theo một số cỏch cơ bản khỏc
nhau, và những cỏch nhỡn khỏc nhau cung cấp một tập cỏc kỹ thuật phong
phỳ và bổ trợ lẫn nhau cho lý luận về cỏch tiếp cận này đối với vấn (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
đề học bỏn giỏm sỏt.
Bƣớc ngẫu nhiờn : Giả sử cú một bƣớc ngẫu nhiờn trờn đồ thị.Ta bắt đầu từ một nỳt chƣa gỏn nhón, di chuyển tới nỳt lõn cận với xỏc suất sau mỗi bƣớc. Hàm chớnh là xỏc suất để bƣớc ngẫu nhiờn đú xuất phỏt từ nỳt gặp một nỳt đƣợc gỏn nhón 1. Ở đõy cỏc nỳt gỏn nhón đƣợc xem xột nhƣ là một “ranh giới hấp thụ” của bƣớc ngẫu nhiờn.
Hỡnh 2.1 - Hàm điều hũa và bƣớc ngẫu nhiờn trờn đồ thị
Mạng điện tử : Ta cú thể xem xột đồ thị nhƣ một mạng điện tử, cỏc cạnh của đồ thị cú điện trở với độ dẫn điện là , nhƣ vậy điện trở khỏng giữa 2 nỳt là . Chỳng ta nối cỏc nỳt đƣợc gỏn nhón dƣơng với một nguồn vụn, và cỏc nỳt đƣợc gỏn nhón õm với đất. Sau đú hàm chớnh là kết quả điện thế của mạng điện trờn cỏc nỳt chƣa gỏn nhón. Hơn nữa hàm sẽ cực tiểu nhiệt lƣợng thoỏt ra của mạng điện. Năng lƣợng nhiệt đú chớnh là nhƣ trong biểu thức (2.16).