Định nghĩa 1.5. Cho một số nguyên n > 1. Phi hàm Euler là số các số nguyên nằm trong khoảng 1...n và nguyên tố cùng nhau với n. Ký hiệu: ( )n .( )n có tính chất:
- Phi hàm Euler ( )n là cấp của *n.
- Nếu p là số nguyên tố thì nhóm *p có cấp là p – 1 tức ( )n p 1.
- Nếu có hai số nguyên tố p, q khác nhau và n pq thì ( )n (p1)(q1).
- Nếu n được phân tích thành tích các thừa số nguyên tố 1 2 1a 2a ... ak.
k
n p p p Trong đó
i
p là các số nguyên tố và ai là các số nguyên dương thì phi hàm Euler của
n được tính như sau ( 1 1) ( 2 1) ( 1)
1 1 2 2
( ) ( 1) a ( 1) a ...( 1) ak
k k
n p p p p p p
.
Một phần tử g *n có cấp m, nếu m là số nguyên dương bé nhất sao cho gm 1 trong *n. Theo Định lýLagrange thì ( )n chia hết cho m. Vì vậy, với mọi b *n ta luôn có b( )n 1 (mod )n . Nếu p là số nguyên tố thì do ( )n p 1, với mọi b *p ta
29
luôn có bp11 (mod )p (*). Nếu b có cấp p-1, tức p-1 là số mũ bé nhất thỏa mã (*) thì các phần tử b b, 2, ...,bp1 đều khác nhau và theo modulo p chúng lập thành nhóm *p. Theo khái niệm đại số, ta nói *n là một nhóm Cyclic và b là phần tử sinh hay còn gọi là phần tử nguyên thủy.
Trong lý thuyết số, phần tử nguyên thủy có tính chất sau:
- Với mọi số nguyên tố p, *p là nhóm Cyclic và có (p1) phần tử nguyên thủy. - Nếu g là phần tử nguyên thủy theo modulop, thì khi đó gi(mod )p với mọi i mà
gcd( , ( ))i n 1 , cũng là phần tử nguyên thủy theo modulop.
- Nếu 1 2
1 2
1 ... s
s
p p p p là dạng khai triển chính tắc của p1 và nếu 1 1 1 1 (mod ),..., s 1 (mod ) p p p p a p a p
, thì a là phần tử sinh theo modulop *p. - Nhóm *n có phần tử nguyên thủy khi và chỉ khi n2, 4, pk hay 2pk khi p là số
nguyên tố lẻ và k1. Nếu n là số nguyên tố thì chắc chắn *n có phần tử nguyên thủy.
Định lý 1.3 (Định lý Euler). Nếu a *n. Tức gcd( a, n )1 thì a( n ) 1(mod n ). Nếu r s (mod ( n )) thì ar a (mod n ).s