Thuở sơ khai, theo thần học và triết học Hy Lạp cổ, đã tồn tại sự hỗn loạn. Các nhà triết học Hy lạp đã tin rằng vũ trụ trật tự của chúng ta đã đƣợc hình thành từ sự hỗn loạn này. Ngƣời Hy Lạp cổ không đƣa ra một định nghĩa rõ ràng về sự hỗn loạn ngay cả khi nó liên quan tới vô cực, sự lộn xộn và không thể tiên đoán. Tuy nhiên, biến đổi hỗn loạn dài hạn đã đƣợc hiểu thấu, bởi vì nhƣ Heraclitus nói, “Tα πανηα ρει,” nghĩa là mọi thứ đều chảy và chảy liên tục, và sự diễn giải duy nhất của điều này đó là vũ trụ đã đƣợc hình thành từ sự hỗn loạn. Nói cách khác, ngƣời Hy Lạp cổ tin vào những gì khoa học hiện đại đã khám phá ra hàng thế kỷ sau đó, sự lộn xộn có thể dẫn tới trật tự trong những điều kiện nhất định và nhƣ vậy ngƣời Hy Lạp cổ đã dạy chúng ta về sự tồn tại của những điểm hút hoặc chu kỳ giới hạn. Loại tiến hóa này đã đƣợc khoa học chứng minh hoàn toàn bởi vì tất cả các quá trình tự nhiên đều có một hƣớng phát triển, đó là sự tăng thêm của entropy hoặc đạt đến trạng thái năng lƣợng tối thiểu. Nếu chúng ta ngoại suy xa hơn nữa, không thể không tin đƣợc rằng vũ trụ hiện tại là một điểm hút của vụ nổ Big Bang. Bởi vì sự trật tự không thể đƣợc tạo ra từ không gì cả, cần tin rằng sự hỗn loạn không có nghĩa là sự thiếu vắng trật tự nhƣng là có trật tự trong sự hỗn loạn. Trật tự trong hỗn loạn là không rõ ràng, mà cũng không phải là những điều kiện ban đầu cần thiết để đạt đến một vài loại trật tự. Sự kết luận tinh tế này kích thích sự quan tâm của các nhà khoa học từ thời cổ đại đến ngày nay. Đây chính xác là những gì các nhà khoa học đang sử dụng, sự tiến triển của sự hỗn loạn, để nghiên cứu nhiều hiện tƣợng và quá trình, bao gồm cả viễn thông, nhƣ chúng ta sẽ thấy trong các chƣơng tiếp theo.
Sự hỗn loạn là biểu hiện dài hạn không tuần hoàn trong một hệ thống tất định mà biểu hiện bằng sự phụ thuộc rất nhạy cảm vào các điều kiện ban đầu.
Ba thành phần của định nghĩa đƣợc làm rõ nhƣ sau:
1. "Biểu hiện dài hạn không tuần hoàn" có nghĩa là qu đạo của hệ thống trong không gian pha không ổn định đến bất kỳ điểm cố định nào (trạng thái ổn định), các qu đạo định kỳ, hoặc các giải pháp gần nhƣ định kỳ khi thời gian hƣớng đến vô cùng. Phần định nghĩa này khác với tính không tuần hoàn do trạng thái động hỗn loạn từ tính không tuần hoàn nhất thời, ví dụ, một hệ thống dao động tuần hoàn đã bị nhiễu loạn trong giây lát.
2. “Hệ thống tất định” có thể không có các tham số ngẫu nhiên (nghĩa là xác suất). Một hiểu nhầm phổ biến là các hệ thống hỗn loạn là các hệ thống đầy nhiễu đƣợc điều khiển bởi các quá trình ngẫu nhiên. Biểu hiện bất thƣờng của các hệ thống hỗn loạn phát sinh từ tính phi tuyến nội tại chứ không phải là nhiễu. 3. "Sự phụ thuộc rất nhạy cảm vào điều kiện ban đầu" yêu cầu các qu đạo có xuất phát từ các điều kiện ban đầu rất gần giống nhau sẽ phân kỳ theo hàm mũ một cách nhanh chóng. Ý nghĩa của điều này sẽ đƣợc làm rõ ràng trong các thảo luận sau.
Mô hình toán học đã phát triển, hiện gọi là hệ thống Lorentz, đã đƣợc sử dụng làm mô hình cho các hệ thống hỗn loạn đáp ứng định nghĩa trên. Hệ thống Lorentz chỉ gồm hệ ba phƣơng trình vi phân bậc nhất thông thƣờng:
) ( 1 2 1 . x x x 2 1 3 1 2 . x rx x x x (2.1) .3 1 2 3 bx x x x
Lorentz đã chọn giá trị tham số ζ = 10, b = 8/3, và r = 28. Với những lựa chọn tham số này, hệ thống Lorentz là hỗn loạn, thể hiện những đặc điểm đƣợc mô tả trong định nghĩa cho sự hỗn loạn.
Thành phần thứ hai của định nghĩa rõ ràng là thỏa mãn bởi hệ thống Lorentz vì không một tham số nào là ngẫu nhiên. Để chứng minh sự không tuần hoàn của hệ
thống, một mô phỏng số của hệ thống Lorentz có thể đƣợc thực hiện. Một đồ thị chuỗi thời gian của biến x1 đƣợc thể hiện trong hình 2.1. Các điều kiện ban đầu có thể đƣợc chọn tùy ý.
Từ quan sát trực tiếp của chuỗi thời gian trong hình 2.1a, có vẻ rất hợp lý để nói rằng biến x1 là không tuần hoàn. Để chắc chắn điều này, hệ thống này không chỉ gần nhƣ tuần hoàn, phổ công suất cho biến x1 đƣợc thể hiện trong hình 2.1b.
Hình 2.1. Cả hai đồ thị đƣợc tạo ra bằng cách sử dụng các phƣơng trình Lorentz và các giá trị tham số σ = 10, b = 8/3, và r = 28. (a) Một chuỗi thời gian
đại diện cho biến Lorentz x1. (b) Một phổ công suất điển hình cho biến x1.
Ký hiệu F trong nhãn của hình 2.1b đại diện cho toán tử biến đổi Fourier. Các phổ công suất là rất rộng với không có biểu hiện tần số cụ thể. Các hành vi bất thƣờng hiển thị cho x1 cũng xảy ra đối với các biến khác, và không giảm đi khi thời gian tăng.
Thành phần thứ ba của định nghĩa cho sự hỗn loạn đòi hỏi phụ thuộc nhạy cảm vào các điều kiện ban đầu. Một lần nữa, các mô phỏng số học chứng minh rằng hệ thống Lorentz đáp ứng điều kiện này. Mô phỏng có thể đƣợc chạy cho hai hệ thống giống nhau, x và y, bắt đầu từ các điều kiện ban đầu rất gần giống nhau. Sự khác biệt duy nhất trong các điều kiện ban đầu của chúng là giữa hai biến, x2 và y2. Cụ thể, y2 (t = 0) = x2 (t = 0) = 10-6. Độ lớn của sự khác biệt giữa hai biến số là một hàm của thời
phát triển theo hàm mũ.
Một khái niệm khác từ lý thuyết hỗn loạn có thể đƣợc chứng minh bằng cách sử dụng mô hình số học bởi vẽ đồ thị x2 thay cho x1. Chúng ta sẽ đạt đƣợc điểm hút lạ nổi tiếng.