2.6.1. Định nghĩa M - tôpô
Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu. M là một họ các tập con của F có tính chất
i) Mọi Me M là ơ(E,F)- bị chặn
ii) Mọi MJ,M2EM, tồn tại M3E M và X > 0 sao cho Mj ƯM2c= ^M3
Với mọi M e M, đặt pM(x) = sup|y(x)|. Ta có họ các nửa chuẩn
yeM
,M e M } là hệ cơ bản các nửa chuẩn của một tôpô trên E, là hệ cơ bản các nửa chuẩn của một tôpô lồi địa phương tM trên E gọi là M- tôpô xác định bởi họ M.
Với mọi M e M ta có : |x E E :pM(x) < 1} = M°.
2.6.2. Bổ đề
Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu, t là một tôpô trên E Khi đó, tồn tại họ các tập con M của F có tính chất i), ii), iii) sao cho t = tM khi và chỉ khi tôpô t có tính chất sau:
1) t mạnh hơn ơ(E,F)
2) t có một hệ cơ bản các lân cận Ư của 0 E E gồm các tập tuyệt đối lồi, ơ(E, F) - đóng.
Mọi tôpô của hệ đối ngẫu trên E đếu có tính chất 1), 2). Nếu F = (E,t) thì t = tM với M = |ư°: u là lân cận trong (E, t)Ị.
Chứng minh
Neu t = XM thì do iii), t có tính chất 1). Tính chất 2) được suy ra từ tập: ỊxeE:pM(x)<lỊ= J ỊxEE:|y(x)|<lj là tập tuyệt đối lồi và ơ(E,F)-
yeM
Ngược lại, giả sử t có tính chất 1), 2). Do 1) ta có FcE' = (E,t) . Đặt M =Ịu°I F:ưEĩOị, pôla lấy theo hệ đối ngẫu (E,F) . Theo bổ đề 2.4.6 ta có: sup |y(x)|<sup|y(x)| = ||x||u,VxEE nênhọ có tính chất i).
yeU°riF yeU°
Ta có: FcE'và E' = u{xu° :X >0,Ue u}
và U{XM:X>0,Me Jí} = uỊx(U° I F):X>0,U<í Oí] =E'I F = F => M thỏa mãn iii).
Vậy họ M có tính chất i), ii), iii), và tôpô t lt tồn tại. Với mọi ư E U, theo ii) và định lí song pôla ta có:
U=Ũ(8(E,F)) = (U°I F)°= |x G E :|y(x)| < l,Vy s u° I F} = Ịx e E :pu„I F(x) < lỊ
từ đó t = t „ .
Cuối cùng, t là một tôpô bất kỳ của hệ đối ngẫu (E,F) thì theo định lý 2.2.5, t mạnh hơn ơ(E,F). Theo bổ đề 1.6.2 ta có t có một hệ cơ bản các
lân
cận đóng, tuyệt đối lồi, theo định lí song pôla, bổ đề 2.2.7, các tập này ơ(E,F)- đóng. Vậy t có tính chất 1), 2).
2.6.3. Định lý (Alaoglu-Bourbaki)
Với mọi lân cận u của một không gian lồi địa phuơng E, pôla ư° của ư là tập tuyệt đối lồi và ơ(E',E)- compăc.
Chứng minh
Đặt D = IX E K: |A,| < lỊ, D là tập compăc trong K. Theo định lý Tikhonov , Dư là không gian compăc. Định nghĩa :
J:U°^DM(y) = (y(x))xeu.
Do u là tập hút nên J đơn ánh, hơn nữa {pM}M ^ là một hệ cơ bản các nửa chuẩn của G(E',E) . Với mỗi M e <u(ư),8 > Ovà y E ư°, ta có:
J:ỊƯ°,Ơ(E',E)| 0)^J(Ư°) là phép đồng phôi. Vì Dưcompăc nên ta chỉ cần chứng minh j(ư°) đóng trong Dư.
Ta có: yeDulà thuộc j(ư°j <^>y có thể mở rộng thành phiếm hàm tuyến tính trên E. Do đó j(u°) = |y E Du : Xy(u) + py(v) + yy(w) = Ovới mọi
(À, ,P,Y) E K3, (U,V,W) E Ư3 thỏa mãn À . U + pv + yw = 0j.
Vì y a y(x) là liên tục nên tính đóng của j(ư° ] được chứng minh.
2.6.4. Định nghĩa tôpô Mackey
Cho t là một tôpô của hệ đối ngẫu(E,F) trên E. ĩí là một hệ cơ bản các lân cận tuyệt đối lồi của (E,t). Khi đó theo bổ đề 2.4.6, II .|| = p 0, với mọi . Vì u° là tuyệt đối lồi và do định lý Alaoglu - Bourbaki 2.6.3 nó là
ơ(F,E)- compăc nên t = tít với M là một họ các tập tuyệt đối lồi và ơ(F,E)- compăc của F.
Trong hệ đối ngẫu (E,F) tùy ý xét họ: M= {M c= F: M tuyệt đối lồi và ơ(F,E)-compăc }. Khi đó, họ M có tính chất i), ii), iii). Thật vậy : mọi tập compăc yếu đều bị chặn yếu nên có i). Vì tổng của hai tập compăc yếu là
compăc yếu và mọi Mi,M2e M, Mj ƯM2 c= M] + M2EM nên có ii). Mọi :|^|<1}E^Í nên có iii).
Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu, M - tôpô trên E xác định bởi họ M tất cả các tập con tuyệt đối lồi, ơ(F,E)- compăc cuả F gọi là tôpô Mackey, kỷ hiệu
2.6.5. Bổ đề
Chứng minh
Theo 2.6.4, T(E,F) mạnh hơn mọi tôpô của hệ đối ngẫu. Do đó, ta chỉ cần chứng minh x(E,F) cũng là một tôpô của hệ đối ngẫu.
Coi M nhu là họ các tập con của E* và xét hệ đối ngẫu (E,E*Ị. Theo định lý 1.6.7, y E E*thuộc (E,t H) nếu và chỉ nếu tồn tại M E M, c > 0 sao cho |y|^cpM- Vì: M° = j X eE:sup|y(x)| <li = Ịx eE:pM(x)<lỊ nên theo bổ đề
1 yeM )
1.6.5 ta có PMHMIM0* VÌ vậy yE(E,ttí) nếu và chỉ nếu tồn tại
M E M,x > 0 sao cho y E ^M00(pôla lấy theo hệ (E,E*)).
Theo định lý song pôla ta có :
(E,t „)' = UỊMVT :l>0,Me M =u|xr(M)“ :X 0,M e^tỊ (1) trong đó r(M)ơ là bao tuyệt đối lồi và đóng của M trong G(E*,E) .
Vì Ơ(E\E)| =ơ(F,E)nên ta có r(M)a với mọi tập M tuyệt đối lồi và ơ(F,E)- compăc trong F. Do (1) và iii) ta có:
) = U{mi>0,MgJÍt}=F. Vậy T(E,F) là tôpô của hệ đối ngẫu (E,F).
Do ơ(E,F) là tôpô yếu nhất của hệ đối ngẫu (E,F) và bổ đề 2.6.5 ta có
2.6.6. Định lý (Định lý Mackey-Arens)
Một tôpô lồi địa phương t trên E là tôpô của hệ đối ngẫu (E,F) nếu và chỉ nếu ơ(E,F)ctcx(E,F).
2.6.7. Nhận xét
Cho t là tôpô bất kỳ của hệ đối ngẫu (E,F). A là tập con tuyệt đối lồi của E. Theo định lý song pôla, bao đóng của A theo tôpô t trùng với bao đóng của A theo tôpô ơ(E,F).
Trong phần ánh xạ liên hợp ta đã chỉ ra một ánh xạ tuyến tính liên tục cũng là liên tục yếu, trong điều kiện nhất định ta cũng có điều ngược lại đó là
2.6.8. Mệnh đề
Nếu E, F là những không gian lồi địa phương và nếu E có đối ngẫu E'và có tôpô T(E,E') thì mọi ánh xạ tuyến tính liên tục yếu của E vào F cũng là liên tục.
Chứng minh
Giả sử V là một lân cận đóng và tuyệt đối lồi trong F. Khi đó, theo định lý Alaoglu - Bourbaki 2.6.3, v°là ơ(F',F)- compăc. Vì liên họp của A* của ánh xạ tuyến tính liên tục yếu A là liên tục yếu (nênt'(v°) làơ(E',E)-
compăc. Vì vậy, pôla của nó trong E là một r(E',E)lân cận.
Mà ta có: ỊA^V0)) = A_1ỊV00) = A_1(v), bởi vì V là đóng và tuyệt đối lồi. Vậy A là liên tục.