Trong phần này, ta sẽ trình bày lóp không gian chứa đối ngẫu của các không gian Frechet, các (DF) - không gian. Ta kí hiệu $(E)để chỉ họ các tập tuyệt đối lồi, bị chặn trong không gian lồi địa phương E, còn %(E)là họ các
lân cận tuyệt đối lồi của 0 e E.
Ta sẽ xây dựng dãy số dương {an} và dãy {u„} các lân cận tuyệt E sao cho: a„B„ C-W » » 3 (1) a B d u. (2) UI Bn <z w n n (3) Chú ý
Điều kiện 2) có thể thay bởi điều kiện sau : 2') Mọi hợp đếm đuợc các tập bị chặn trong E' là đồng liên tục.
3.3.2. Mệnh đề
Giả sử E là (DF) - không gian {JBn} là hệ cơ sở tăng của $(E). Khi đó, với mọi dãy {ưn} chứa trong u(E), tập : w = I (Bn + ưn) là một
neN
lân cận của 0 e E.
Chứng minh
Với mỗi n e , chọn Vn e ĩi (E) với: Vn + Vn cz ưn. Khi đó : V=I (B,+U,)cw
neN
CỐ định n e N. Ta có: I VkcỊ (Bk+Ưk)nên J (Bk+Vk)làmột
l<k<n l<k<n l<k<n
lân cận của 0 e E, do đó, 3r > 0 sao cho: rBn c J (Bk + Vk) nên:
l<k<n
rBn cBk+Vk với 1 < k < n. Hơn nữa ta có: Bn c= Bk + Vk, Vk > n Lấy ô = min(l,r)thì ôBn cBk + Vk,VkeN.
k) = V
ke¥
Vậy, V hút mọi tập B => V hút mọi tập bị chặn trong E. Mà VcW nên w cũng hút mọi tập bị chặn của E, do đó, w là một lân cận của 0 e E.
3.3.3. Mệnh đề
Giả sử E là một (DF) - không gian. Khi đó, với mọi dãy {ưn} c= ĨL(E), tồn tại các số rn > 0, n > 1 sao cho:
Đặc biệt, đối với mọi dãy {ưn} N c= ĨL(E), tồn tại Weĩí(E) được hút bởi mọi Ưn.
Chứng minh
Giả sử {B } là một hệ cơ sở tăng các tập bị chặn trong E. Ta chọn r 0
sao cho Bn + ưn < rnUn .Thế thì, theo mênh đề 3.3.1., tâp W = I (B1+U1)stt(E).
neN
3.3.4. Định lý
Giả sử E là một (DF)-không gian và {B } là một hệ cơ sở đối với $(E). Khi đó: Một tập tuyệt đối lồi w trong E thuộc E)nếu giao của nóChứng minh
xảy ra với mọi n và k.
Giả sử anvà ưnđã được xác định với n<mvà (1),(2), (3) được thỏa mãn đối với mọi n,k<m. Từ giả thiết có lân cận u của không với
Chọn am+1 sao cho : am+lBm+l c^u và amtlBm+1 C^B„+1 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
k h i đ ó am„ Bm +1c I ( Bm +, n u ) c i w Vậy (1) đúng cho m+1.
Hơn nữa, ta có thể chọn am+1 đủ bé để (2) đúng với n = m +1 và với mọi k < m.
Đặt B(m+1)=rí JaiBi
VneN J
Gọi V là lân cận tuyệt đối lồi của 0 e Esao cho Um+1 = ỊB^1'* + vj thỏa mãn (3) tức là ưm+11 Bn c= w. Thì từ anBn c= B(m+1^ c= Um+1, (2) được thỏa
mãn cho mọi n < m +1 và k = m +1. Ta cần chứng minh: (2B(m+1) + 2v)l Bm+1 c= w.
Đặt M = Bm+11 (E \ w) ta sẽ chứng minh với V được chọn đủ nhỏ ta có: (2B(m+1)+2v)l M = 0 hay 2VI (M + 2B(m+1)) = 0
Vì B<m+1) c - w nên - w + 2B<m'*1, c w
3 3
Từ WI M = 0=>-W + 2B(m+l* I M = 0 nên NI t\y = 0.
3 3
Do tập 3N bị chặn nên có k e ¥ sao cho 3NcBk.
Bởi giả thiết ta có w I Bk là lân cận của 0 trong Bk. Từ 3NI w = 0 nên 0 không là điểm dính của 3N trong Bk. Vậy 0 không là điểm dính của N => 2VI N = 0.
Như vậy, ta đã xây dựng được dãy số dương {ocn} và {ưn} N thỏa
Đặt ư = I u . Từ (2) ta có ư hấp thụ mọi tập bị chặn và do đó ư là lân
ne¥
cận của 0 e E. Từ (3) ta có ư I Bn c= w Vn e N do đó : . Suy ra w là lân cận của Oe E.
ne¥
3.3.5. Định lý
Neu s là ánh xạ tuyến tính từ một (DF)- không gian E vào không gian lồi địa phương F thì s liên tục nếu và chỉ nếu s liên tục trên mọi tập bị chặn của E.
Chứng minh
Thật vậy, điều kiện cần là hiển nhiên. Ta sẽ chúng minh điều kiện đủ. Giả sử s liên tục trên mọi tập bị chặn của E, và {B } là hệ cơ sở
các
tập bị chặn của E. Gọi V là lân cận tuyệt đối lồi của 0 e F. Khi đós-1 (v)
là
tuyệt đối lồi và S"'(V)nB là lân cận của không trong Bn. Theo định lý
3.3.4, s_1(v) là lân cận của 0 e E.
Vậy s liên tục.
3.3.6. Mệnh đề
00 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
hấp thụ mọi tập bị chặn của E. Khi đó :
v° =( Y _____________I vn =njvn ơ E ,E 1
bị hấp thụ bởi pôla của các tập bị chặn của E.
P(E',E)- bị chặn. Vì v° => u v„° =M nên M cũng là P(E',E)-
ne
Do M là đồng liên tục có nghĩa là tồn tại lân cận tuyệt đối lồi, đóng ư của E sao cho McU°. Nhưng Ư° là tuyệt đối lồi và G(E,E)- đóng nên
, vậy ư = ư00 c= V00 = V nên V là lân cận của 0 e E. Vậy E là (DF) - không gian.
3.3.7. Mệnh đề
Một không gian lồi địa phuong có một hệ cơ sở đếm được các tập bị chặn là một (DF)- không gian nếu nó tựa thùng.
Chứng minh
Giả sử {Vn} là dãy các lân cận tuyệt đối lồi, đóng trong E sao cho hấp thụ mọi tập bị chặn của E. Khi đó, V là một thùng hấp thụ mọi
ne¥
tập bị chặn của E nên V là lân cận của 0 e E. Vậy E là một (DF)- không gian.
3.4. Đặc trưng đối ngẫu của không gian Frechet (F - không gian)
và (DF)
- không gian
3.4.1. Định nghĩa
chặn trong E', gồm những đĩa Banach. Đặc biệt, E' có một hệ cơ sở đếm được những tập bị chặn.
Chứng minh
Theo định lí Alaoglu- Bourbaki 2.6.3, Ư° là những tập tuyệt đối lồi, hơn nữa, theo hệ quả 2.7.6 ư° là một đĩa Banach. Theo định lí Banach- Mackey, ư° là bị chặn trong E'.
Neu B là một tập con bị chặn tùy ý của E', thế thì B° là một lân cận của điểm không trong không gian tựa thùng E. Do đó, tồn tại một so ne và
c= B° suy ra B c -ư°.
3.4.3. Bổ đề
Cho E là một không gian lồi địa phương khả mêtric và {Vn} Nlà một dãy các lân cận tuyệt đối lồi của 0 E E'. Neu J V hút mọi tập bị chặn thì
ne¥
T Vn là lân cân của 0 E E'.
X n ne¥
Chứng minh
Lấy{Un} Nlà một hệ cơ sở những lân cận tuyệt đối lồi trong E. Neu Bn =u° thì Bnlà ơ(E',E)- compăc (theo định lý Alaoglu- Bourbaki 2.6.3) và theo bố đề 3.4.3, {B Ị là một hệ cơ bản các tập bị chặn trong E'.
Với mỗi n e ¥ , chọn tập bị chặn Mn trong E với Wn = M° C= Vn, thế thì Wn là một lân cận tuyệt đối lồi, ơ(E',E)- đóng và là lân cận của không trong E\ Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng Wn => Wn+1, Vn e ¥ . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Từ V là tập hấp thụ mọi tập bị chặn, nên với mỗi k > 1, tồn tại £k > Osao cho:
Bây giờ, lấy n e ¥ bất kì cho trước, thì bao đóng theo tôpô
00
G* = ơ(E',E) của các tập njekBk được chứa trong Wn. Vì các tập Bk là ơ* -
k=n
compăc nên tập rUskBk cũng là một tập G*-compăc (Định lý Banach -
k=l
Vì tổng của một tập đóng và một tập compăc là đóng nên ta có:
---<7 --- 00 00 00 rU£kBk <=rUEkBk +rUekBk cV +w„ k=l k=l k=n ---ơ 1 _ 00 Định nghĩa w = — rUskBk , từ đó ta có: W c ị l ( V + W , ) c Ị l (Vn+vn) = v ^ ne¥ ^ ne¥
Vì w là tập tuyệt đối lồi và <3* - đóng, theo định lí song pôla ta có Vì W=>-£kBt,Vke¥ , suy ra w° <= — B" = — Ut,Vke¥
2 £k sk
Do w° bị chặn trong E'=>w00 là lân cận của không trong E\ Mà cV nên V là lân cận của không trong E'.
3.4.4. Bổ đề
Neu E là một không gian lồi địa phưong khả mêtric thì E' là không gian đầy đủ.
Chứng minh
hàm tuyến tính y trên E sao cho y(x) =limys(x) bị chặn địa phưong trên E.
6
Ta sẽ chúng minh y liên tục.
Giả sử {Un} là cơ sở lân cận trong E sao cho Un => Ưn+1 ,với mọi n. Neu y không liên tục thì có lân cận VcK sao cho y-1(V) không phải là lân cận trong E. Vậy tồn tại các xn E Unvới y(xn) ỢL nV, khi đó rõ ràng {xnỊ là tập bị chặn còn {y(xn)Ị lại không bị chặn,điều này mâu thuẫn. Do đó y là liên tục. Vậy ys —» y e E' .Nên E' là không gian đầy đủ.
Từ 3 bổ đề trên ta có kết quả sau
3.4.5. Mệnh đề
Neu E là không gian lồi địa phương khả mêtric thì E' là (DF) - không gian, đầy đủ.
Chứng minh:
Theo các bổ đề 3.4.2 và 3.4.3 ta có E'là một (DF)- không gian, hơn nữa, theo hệ quả 3.4.4 E' là đầy đủ, nên ta có điều phải chứng minh.
Chú ý
Ta thấy rằng mọi không gian lồi địa phương tựa thùng có một hệ cơ sở đếm được những tập bị chặn là một (DF)- không gian nên mọi không gian định chuẩn là một (DF)- không gian.
3.4.6. Hệ quả
Neu E là một không gian Frechet hay F- không gian thì E' là một (DF)- không gian.
1J ne n->00
3.4.7. Mệnh đề (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Với mọi (DF)- không gian E, không gian E' là một không gian Frechet.
Chứng minh
Theo giả thiết, E có một hệ cơ sở đếm được {Bk}k gồm những tập bị chặn. Do đó, 11*1] với ||y||k = sup(|y(x)|: X E Bk), y E E' là một hệ cơ bản các nửa chuẩn với tôpô p(E',E).
Nếu {yn} là một p(E',E)- dãy Cauchy thì {yn(x)}là một dãy Cauchy
X E E, do đó, nó hội tụ.
Bởi vì y: XI—> limy (x), X E E là môt dang tuyến tính. Đe chứng minh tính liên tục của y, ta đặt:
V „ = { x e E : | y „ ( x ) < l | Ị , V n e v à V = I v„
ne¥
Vì mọi dãy Cauchy là bị chặn, chúng ta có sup||y II = ck <00, với mỗi
neN
¥ . Điều này suy ra Bk c= CkV, Vk E ¥ .
Do đó, V hút mọi tập bị chặn, nên V là lân cận của không trong E. (x)| < l,Vn E ¥ và Vx E V suy ra |y(x)| < l,Vx E V, tức là yeE'. Vì
{y ) hôi tu đều trên Bk đến y với mỗi k E ¥ nên ta có y = lim y trong E'.
Vậy E'đầy đủ hơn nữa theo định lý 1.2.2 E' khả mêtric nên E' là một không gian Frechet.
3.4.8. Hệ quả
Với mọi không gian Frechet E, không gian E"cũng là một không gian Frechet và E có thể coi như là một không gian con đóng của E".
Chứng minh
Theo hệ quả 3.4.6, E' là một (DF)- không gian. Do đó, E"là một không gian Frechet, phép nhúng chính tắc: J: E —» E" là một đẳng cấu giữa E và J(E).
Do E là một không gian tựa thùng, do đó, J(E) là đầy đủ và bởi vậy là đóng trong E".
3.4.9. Mệnh đề
Giả sử E là một F- không gian còn F là (DF)- không gian. Khi đó:
a) Mọi ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F là bị chặn trên một lân cận của OeE.
b) Mọi ánh xạ tuyến tính liên tục từ F vào E là bị chặn trên một lân cận của 0 e F.
Chứng minh
Giả sử {ưn} là hệ cơ sở lân cận tuyệt đối lồi và giảm của 0 E Ecòn {JBn} là hệ cơ sở các tập tuyệt đối lồi và bị chặn trong F.
a) Giả sử: Ô:E—»F là ánh xạ tuyến tính liên tục. Ta sẽ chứng minh có n E sao cho 8(ưn) c nBn.
Giả sử nguợc lại, tồn tại dãy ỊxnỊcE,xn eưn, với mọi n mà ô(xn) Ể nBn, Vn E ¥ . Nhu vậy {xn} hội tụ đến 0 trong E nhung dãy (ô(xn))
không bị chặn trong F, mâu thuẫn với tính liên tục của ô.
b) Giả sử ô: F —» E là ánh xạ tuyến tính liên tục từ F vào E.
Với mỗi n > 1, đặt Vn = ô-1 (ưn) thì Vn là lân cận của 0 e F. Theo mệnh > 0 sao cho w = J r 5(u ) là lân cận của 0 E E. Khi đó: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
n=l
00 00
S(W)cI r„s(un)cl rnun.
n=1 n=l
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày một cách tưong đối đầy đủ lý thuyết đối ngẫu trên các không gian lồi địa phuơng tống quát, đồng thời luận văn cũng nêu ra những kết quả quan trọng trong một số lớp không gian lồi địa phuơng như không gian thùng, không gian phản xạ, (DF)- không gian và đặc biệt là những tính chất đặc trưng đối ngẫu của không gian Frechet và (DF)- không gian.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhung luận văn không tránh khỏi nhũng sai sót. Mong rằng các quý thầy và các bạn có những góp ý để luận văn được hoàn thiện hon.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Đậu Thế Cấp (2009), Giải tích hàm, Nxb Giáo Dục.
2. Đậu Thế Cấp (2008), Không gian vectơ tỏpỏ, (Tài liệu cho lớp cao học giải tích KI7 Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh).
3. Hoàng Tụy (2000), Hàm thực và Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội.
4. Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm và Giải tích hàm (Tập 2), Nxb Giáo Dục.
Tiếng Anh
5. A.p. Robertson and W.J. Robertson (1964), Topologiccal Vector Spaces,
Cambridge Press.
6. H. Schaeíòr (1971), Topological Vector Spaces, spinger - Verlag.