Đối với các phần tử logic nhị phân 1 và 0 được biểu diễn bằng các mức điện thếđiện tử tương ứng là +1 và -1. Biến d được sử dụng để biểu diễn bit dữ liệu được phát, mỗi khi xuất hiện , nó xem như là điện thế hoặc phần tử logic. Đôi khi theo một cách định dạng là tiện lợi hơn định dạng khác ; chúng ta có thể nhận ra sự khác nhau trong từng hoàn cảnh . Bít nhị phân 0 ( hay mức điện thế -1) là phần tử không trong phép cộng. Đối với việc phát tín hiệu qua kênh AWGN , Hình (3.1) chỉ ra hàm pdf có điều kiện, ám chỉ như là hàm hợp lệ (likelihood funtions). Hàm bên phải p(x | d=+1) chỉ rõ hàm pdf của biến ngẫu nhiên x với điều kiện d=+1 đang được phát. Hàm bên trái p(x | d=-1) giảI thích tương tự ,là hàm pdf của biến ngẫu nhiên x với điều kiện d=- 1 đang được phát. Hoành độ biểu diễn toàn bộ miền giá trị có thể của thống kê kiểm tra x được tạo tại bộ nhận. Trên hình (3.1) , với giá trị quy định xk được biết, ởđây chỉ số chỉ ra khoảng thời gian quan sát thứ k. Một đường thẳng từ xk cắt hai hàm hợp lệ sinh ra 2 giá trị hợp lệ =p(xl1 k | dk=+1) và =p(xl2 k | dk=-1). Vai trò của quyết định cứng được biết gọi là hợp lệ tối đa, lựa chọn dữ liệu dk= +1 hay dk = -1 kết hợp với giá trị lớn trong hai giá trị bị chặn hay tương ứng. Đối với mỗi bít dữ liệu ở thời điểm k, điều này tương đương việc giải mã d
1
l l2
k=+1 nếu xk nằm ở bên phải của đương quyết định đặt tên là γ0, ngược lại là giải mã dk=-1.
Hình 3.2: Hàm hợp lệ
Nguyên tắc quyết định tương tự, được gọi là tối đa hậu nghiệm ( maximum a posteriori -MAP) , có thểđược xem như là nguyên tắc tối thiểu xác suất lỗi (minimum – probability – of- error rule) , đánh giá tới xác suất tiền nghiệm của dữ liệu. Biểu thức tổng quát cho nguyên tắc MAP trong thuật ngữ APPs là :
(3.3)
Phương trình (3.2) cho thấy chúng ta có thể lựa chọn các giả thiết H1, (d =+1) nếu APP, P(d=+1 | x) lớn hơn APP ,P(d=-1 | x). Ngược lại , lựa chọn giả thiết H2, (d=- 1). Sử dụng định lý Bayes vào phương trình (3.1) , APPs trong phương trình (3.3) có thểđược thay thế bởi các biểu thức tương đương , sinh ra:
(3.4)
Ở đây , pdf p(x) xuất hiện ở cả 2 vế của bất phương trình (3.1) nên đã bị khử. Phương trình (3.4) được biểu diễn trong thuật ngữ vể tỷ số, tạo ra gọi là kiểm tra tỷ số hợp lệ ( loglikelihood ratio test ) như sau:
Hay :
(3.5)