II.1. Phân tích a-priori bài toán 1 : 1/ Kiến thức liên quan :
- Tam giác đồng dạng
- Hệ thức lƣợng trong tam giác vuông - Hệ thức lƣợng trong đƣờng tròn - Tỉ số lƣợng giác
- Tích vô hƣớng của hai vectơ 2/ Biến didactic :
Biến 1 - Cho độ dài AB, AD hay chỉ cho mối liên hệ giữa độ dài AB và AD. Nếu cho AB, AD thì việc tính toán độ dài các đoạn khác dễ dàng hơn, đồng thời cũng dễ thấy các tỉ số lƣợng giác của các góc hoặc dễ nhận ra các tam giác đồng dạng. Cách chọn này s4 làm giảm khó khăn cho các chiến lƣợc : tỉ số lƣợng giác, tam giác đồng dạng, hệ thức lƣợng trong tam giác, hệ thức lƣợng trong đƣờng tròn...
Biến 2 - Hình thức đặt câu hỏi:
- Giữ nguyên giả thiết bài toán. Yêu cầu chứng minh AC ⊥ BM hay yêu cầu tính ̂ . Cách hỏi trƣớc có thể làm cho chiến lƣợc vectơ dễ xuất hiện hơn. Nếu yêu cầu tính ̂ thì học sinh ít nghĩ đến việc dùng công cụ vectơ để giải vì trong sách hiện hành không có kiểu nhiệm vụ tính số đo một góc bằng công cụ vectơ.
71 - Thay AD = √ AB bởi AD =xAB (x > 0) và yêu cầu tìm x để AC ⊥ BM. Cách đặt câu hỏi này khiến học sinh nghĩ đến phƣơng pháp tổng hợp nhiều hơn là vectơ. Bởi vì thƣờng khi muốn tính toán học sinh ít dùng vectơ.
Biến 3 - Số lời giải :
Nếu yêu cầu học sinh giải nhiều cách thì chúng tôi hy vọng trong số đó có cách giải bằng công cụ vectơ. 3/ Những chiến lƣợc có thể : a. Chiến lƣợc vectơ : = -AB2 + = -AB2 + AB2 = 0 ⇒ AC ⊥ BM b. Chiến lƣợc tỉ số lƣợng giác :
CMR một trong bốn tỉ số lƣợng giác của 2 góc ̂ và ̂ bằng nhau. Chẳng hạn
đpcm.
c. Chiến lƣợc tam giác đồng dạng :
72
Mà nên Vậy AC ⊥ BM.
d. Chiến lƣợc hệ thức lƣợng trong tam giác : C1 : Vẽ hình bình hành ACBE
Mà AB là đƣờng cao AEBM nên BM⊥ BE ⇒ BM⊥BE ⇒ BM ⊥ AC
C2 : Chứng minh BI.BM = AB2
⇒ AI là đƣờng cao của A vuông BAM => AC ⊥ BM. C3 : Chứng minh BI.IM = AI2 :
⇒ BI.IM = AI2 ⇒ AI là đƣờng cao ∆ vuông BAM ∆AC ⊥ BM. C4: Chứng minh
73 (xem C3)
⇒ p
C5 : Chứng minh AB.AM = AI.BM
⇒ AB.AM = AI.BM ⇒ AI ⊥BM ⇒ AC ⊥ BM. C6 : Chứng minh IA2 + IB2 = AB2:
⇒ AIB vuông t i J ⇒ ⊥ e. Chiến lƣợc hệ thức lƣợng trong đƣờng tròn :
74 ⇒ tứ giác MDCI là tứ giác nội tiếp
f. Chiến lƣợc tính chất đƣờng trung tuyến của A vuông :
I là trọng tâm AABD ⇒ DI kéo dài cắt AB tại trung điểm E của AB
⇒ ∆AIB vuông tại I ⇒ BM ⊥ AC. g. Chiến lƣợc vectơ - tọa độ :
Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ : A(0; 0);B(0; 1);C(√ ,1)
h. Chiến lƣợc tọa độ : Chọn hệ trục tọa độ nhƣ ở chiến lƣợc g, ta có : Phƣơng trình đƣờng thẳng AC : có hệ số góc
75 Phƣơng trình đƣờng thẳng BM : có hệ số góc
⇒ k1.k2 = -1 ⇒ AC⊥BM.
II.2. Phân tích a-priori bài toán 2 : 1/ Kiến thức liên quan :
- Học sinh đã học xong toàn bộ chƣơng trình lớp 10. Do đó có thể vận dụng kiến thức của cả chƣơng trình cấp II lẫn chƣơng trình hình học lớp 10 để giải quyết bài toán, trong đó có các kiến thức liên quan đến bài này là :
+ Định lý Thales. + Tam giác đồng dạng.
+ Các phép toán : cộng, trừ vectơ; nhân một vectơ với một số. 2/ Biến Didactic :
Biến 1- Giá trị của k : Bài toán có thể phát biểu tổng quát hơn bằng cách cho
và (k > 1). Nếu cho k là số lẻ thì học sinh nghĩ đến dùng đƣờng trung bình nhiều hơn các công cụ khác bởi vì khi đó nếu lấy E là trung điểm NC và gọi I' là giao điểm của AM và BN thì IN là đƣờng trung bình của ∆AME và ME là đƣờng trung bình của tam giác CBN. Lúc này ta dễ dàng chứng minh đƣợc ⇒ ’ I. Nếu cho k là số chẩn thì việc tính toán phức tạp hơn. Bài toán thực nghiệm này nêu một trƣờng hợp cụ thể ứng với k chẵn là k = 4. Chúng tôi không cho k tổng quát vì sợ bài toán quá khó.
76 Biến 2 - Hình thức đặt câu hỏi:
Đối với bài 2 ngƣời ta có thể cho trƣớc hệ thức BI = BN và yêu cầu chứng minh 3 điểm A, I, M thẳng hàng, cũng có thể gọi I là giao điểm của AM và BN, và yêu cầu tính tỉ số
Chúng tôi đã chọn cách hỏi thứ nhất vì đây là kiểu nhiệm vụ mà các em từng gặp trong năm học và đã giải quyết bằng cách sử dụng vectơ. Việc yêu cầu tính tỉ số dễ hƣớng học sinh đến với tính toán bằng phƣơng pháp tổng hợp hơn là vectơ
Biến 3 - Số lời giải:
Yêu cầu học sinh giải nhiều cách, chúng tôi hy vọng trong số đó có cách giải bằng công cụ vectơ.
3/ Những chiến lƣợc có thể : a. Chiến lƣợc vectơ:
Ta có thể so sánh hai vectơ trong mỗi cặp sau: ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗; ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗,… Nếu xét ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ có thể có hai cách trình bày:
Cl : (cách gián tiếp - Biểu diễn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ qua một hệ vectơ nào đó. Từ đó suy ra mối liên hệ giữa hai vectơ này)
77 (1)
(2)
Từ (l) và (2) ⇒ ⇒ A, I, M thẳng hàng
C2 : (cách trực tiếp – Tính ⃗⃗⃗⃗ theo ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ hay ngƣợc lại)
⇒ A, I, M thẳng hàng. b. Chiến lƣợc Thales - đồng dạng :
C1: Kẻ đƣờng thẳng qua N và // BC cắt AM tại H. Gọi I' là giao điểm của BN và AM. Ta có :
⇒ I' ≡ I ⇒ A, I, M thẳng hàng C2 : Kẻ đƣờng thẳng qua N song song AM cắt MC tại K
78 Có thể CM: ⇒ IM // NK và A, I, M thẳng hàng.
C3 : Kẻ đƣờng thẳng qua M và song song BN cắt AC tại E
♦ Gọi I' là giao điểm của BN và AM. Ta
có:
⇒ I' ≡ I ⇒ đpcm.
C4 : đƣờng thẳng qua M song song AC cắt BN tại F, gọi I' là giao điểm của BN và AM.
Ta có: ⇒ ’
79 C5 : đƣờng thẳng qua B và song song AM cắt AC kéo dài tại T
♦ Gọi I' là giao điểm BN và AM. Ta có:
⇒ I' ≡ I ⇒ đpcm.
Có thể CM ⇒ BI // BJ
Vậy A, I, M thẳng hàng. C6 : Vẽ hình bình hành ABDC. Gọi I' là giao điểm của BN và AM
⇒ I' ≡ I ⇒ đpcm.
C7 : đƣờng thẳng qua C và song song AM cắt BN kéo dài tại E
♦ Gọi F là giao điểm của BN và AM. Ta có:
80 C8 : Kẻ đƣờng thẳng qua A // BC cắt BN tại F
II.3. Phân tích a-priori bài toán 3 : 1/ Kiến thức liên quan :
- Định lý Thales và Tam giác đồng dạng - Vectơ : ♦ định nghĩa vectơ
♦ cộng, trừ vectơ
♦ nhân một số với một vectơ 2/ Biến didactic :
Biến 1 - Hình dạng của hình thang ABCD :
Nếu cho ABCD là hình thang vuông tại A và D có thể làm cho học sinh nghĩ đến dùng phƣơng pháp tọa độ để giải
81 Nếu cho k một giá trị cụ thể thì học sinh sẽ nghĩ đến việc tính toán độ dài các đoạn thẳng và sử dụng phƣơng pháp tổng hợp để giải. Đặc biệt, với giá trị k = 2 thì lời giải bằng phƣơng pháp tổng hợp sẽ rất thuận lợi vì không cần vẽ thêm và lúc này dễ dàng chứng minh AMCN là hình bình hành ⇒ AM // NC.
Ở đây, chúng tôi đã cho một cách tổng quát số k > 1 vì muốn phong tỏa các chiến lƣợc giải bằng phƣơng pháp tổng hợp.
Biến 3 - Số lời giải
Nếu yêu cầu học sinh tìm nhiều lời giải thì có khả năng học sinh sẽ nghĩ đến việc sử dụng công cụ vectơ để giải bài toán
3/ Những chiến lƣợc có thể:
a. Chiến lƣợc vectơ: C1 (Cách trực tiếp : Tính ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C2 (Cách gián tiếp : Tính ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ theo một hệ vectơ nào đó rồi so sánh 2 vectơ này với nhau)
82 (2)
(1) & (2) ⇒
b. Chiến lƣợc Thales - đồng dạng :
Gọi E là trung điểm AD
⇒ ∆AEM ~ ∆NDC ⇒ ̂ ̂ ⇒ AM // NC C2: Kẻ NF // AB (F ∈ DB) ⇒ NF = DC ⇒ DNFC là hình bình hành ⇒ ⇒ AM//NI C3: Dựng hình bình hành ABPD (⇒ C ∈ DP) ⇒ NC // AM
83
C4: CN kéo dài cắt AB tại K và gọi I là giao điểm
của DB và CK
C5 : Lấy E sao cho A là trung điểm DE.
∆NDC ~ ∆EAB ⇒ ̂ ̂ ⇒ EB//NC (1) Mặt khác EB // AM (2) (vì AM là đƣờng trung bình của tam giác DEB)
(1) và (2) ⇒ NC//AM.