1. Định nghĩa các thuật ngữ: cơ sở dữ liệu, hệ quản trị cơ sở dữ liệu, hệ cơ sở dữ
10.3. Định nghĩa suy dẫn theo quan hệ
Cho F là một tập các phụ thuộc hàm trên tập thuộc tính U, f là một phụ thuộc hàm trên U, (f có thể không thuộc F), nói rằng f được suy dẫn từ tập F theo quan hệ và kí hiệuF╞f, nếu và chỉ nếu với mọi quan hệ R trên U, nếu R thỏa mãn F thì R cũng thỏa mãm f.
Ký hiệuF* là tập tất cả các phụ thuộc hàm được suy dẫn được từ tập F theo quan hệ.
F*={f:XY | X,YU, F╞f}
Nếu phụ thuộc hàm f không thỏa suy dẫn được từ tập phụ thuộc hàm F theo quan hệ thì ta ký hiệuF!╞f.
Tính chất củaF*:
Cho F và G là hai tập phụ thuộc hàm trên tập thuộc tính U khi đó ta có:
1. Tính phản xạ: Với∀f∈F thì F╞f từ đây ta suy raF⊆F*.
2. Tính đơn điệu:Nếu F⊆G thì F*⊆ G*.
3. Tính lũy đẳng:Với mọi tập phụ thuộc hàm F thì ta luôn có (F*)*=F*.
Chứng minh:
1. Lấy f là một phụ thuộc hàm bất kì thuộc F ta cần chứng minh f∈ F*. Thật vậy do f ∈ F nên nếu R(F) thì R(f) do vậy theo định ngĩa về suy dẫn theo quan hệ thì f∈F* (đpcm).
2. Lấy f là một phụ thuộc hàm bất kì thuộc F* tacần chứng minh f∈G* nếu F
⊆G. Thật vậy:
- Nếu R(G) thì R(F) do F ⊆G (1). - R(f) do f∈F* (2).
Từ (1) và (2) suy ra R(G) và R(f) hay f∈G* (đpcm).
3. Để chứng minh (F*)* =F* ta cần chứng minh (F*)*⊆F* (a) và F*⊆(F*)* (b)
Chứng minh (b) Theo tính chất 1thì F⊆F*đồng thời theo tính chất đơn điệu thì F*⊆(F*)* vậy (b) được chứng minh.
Chứng minh (a) để chứng minh (1) ta lấy một phụ thuộc f bất kì của(F*)* ta cần chứng minh f ∈F*. Thật vậy do f∈(F*)* nên F*╞f tức là nểu R là một quan hệ bất kỳ mà R(F*) thì R(f) (1).
Mặt khác theo tính chất phản xạ thì F⊆F* (2) Từ (1) và (2) suy ra R(F) (3)
Từ (1) và (3) suy ra F╞f hay f∈F* vậy (a) được chứng minh. Từ (a) và (b) suy ra tính chất(3)được chứng minh.