Phần 2: PHÂN TÍCH SÁCH GV VÀ SGK HIỆN HÀNH

IV. Tổ chức của luận văn:

2.2 Phần 2: PHÂN TÍCH SÁCH GV VÀ SGK HIỆN HÀNH

Chương trình HÌNH GIẢI TÍCH LỚP 12 (còn gọi là phương pháp tọa độ trong không gian)

Theo SGV, nội dung phương pháp tọa độ trong không gian được giảng dạy với mục tiêu giúp HS:

 Hiểu: Cách xây dựng không gian với hệ tọa độ Oxyz  Biết:

o Xác định tọa độ một điểm trong không gian

o Thực hiện các phép toán về vectơ thông qua hệ tọa độ các vectơ

o Viết PTMP, PTĐT, PTMC.

o Xét vị trí tương đối bằng phương pháp tọa độ.

o Tìm khoảng cách

o Ứng dụng các phép toán về vectơ và tọa độ trong nghiên cứu hình học không gian.

Với mục tiêu đó, SGKHH đã trình bày các nội dung của chương chỉ trong ba bài: hệ tọa độ trong không gian, PTMP và PTĐT trong không gian.

Cách trình bày SGKHH có nhiều thay đổi so với SGKCL và giáo trình đại học. Các nội dung được trình bày chung trong một bài học, không tách riêng ra từng từng bài nhỏ. Chúng tôi tiến hành xem xét từng bài và rút ra các nhận xét:

Tọa độ điểm và vectơ: SGK giới thiệu hệ tọa độ đi kèm một hình vẽ minh họa với điểm

O là gốc tọa độ, các trục , ,Ox Oy Oz, các vectơ , ,  

i j k được thể hiện trên hệ trục tọa độ ấy.

Tọa độ của một điểm: định lí ba vectơ đồng phẳng không được giới thiệu. SGKHH chỉ nêu:

“Trong không gian Oxyz cho một điểm M tùy ý.Vì ba vectơ   , ,

i j k không đồng phẳng nên có một bộ ba ( ; ; )x y z duy nhất sao cho: . = + +     OM xi y j jk ” [9 - Tr. 69]

Kèm theo một hình vẽ minh họa (hình 2.2.1) Nội dung này được trình bày trong giáo trình đại học tuần tự qua các định lí:

Định lí 4/16:

“Điều kiện cần và đủ để ba vectơ phụ thuộc tuyến tính là chúng đồng phẳng”

Từ việc chứng minh định lí 4, giáo trình cũng nêu “Như vậy, trong không gian, ba vectơ không đồng phẳng thì độc lập tuyến tính.”

Định lí 5/17:

“Cho ba vectơ   1, ,2 3

e e e không đồng phẳng. Bất kì một vectơ a nào trong không gian cũng có thể khai triển theo ba vectơ ấy, nghĩa là

1 1 2 2 3 3 = + +     a x e x e x e x y z M O  i  j  k Hình 2.2.1

và sự khai triển ấy là duy nhất.”

Trong đó, sự khai triển duy nhất của vectơ được chứng minh dựa trên nhận xét “trong không gian, ba vectơ không đồng phẳng thì độc lập tuyến tính.”

Cách trình bày các định lí và phần chứng minh có liên quan đến khái niệm phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính. Tuy nhiên, các khái niệm này không được giới thiệu ở chương trình phổ thông. Song, nội dung định lí lại là một vấn đề cần đề cập, là nền tảng cho các kiến thức được đưa ra sau đó nên SGKHH trình bày lại dưới dạng đơn giản hơn, thừa nhận, không chứng minh. Đây cũng là cơ sở để sang bậc đại học, HS dễ dàng tiếp thu những kiến thức liên quan.

Cũng như tọa độ một điểm, tọa độ vectơ được giới thiệu một cách trực tiếp.

Phần biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trình bày định lí về tọa độ của vectơ tổng, vectơ hiệu, tích một số với một vectơ kèm theo một chứng minh dựa vào tọa độ của vectơ.

Sau đó là một hệ quả với đầy đủ các nội dung: tọa độ hai vectơ bằng nhau, tọa độ vectơ-không, tọa độ hai vectơ cùng phương, tọa độ vectơ khi biết điểm gốc, ngọn và cuối cùng là tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng. Tất cả các nột dung được trình bày dưới dạng công thức, không chứng minh và không có hình vẽ minh họa kèm theo.

Đối chiếu với giáo trình đại học, chúng tôi nhận thấy rằng cả hai quyển sách đều trình bày không có hình vẽ. Một thắc mắc được nêu lên “Tại sao các tác giả lại không sử dụng hình vẽ trong các trường hợp này. Và nếu có hình vẽ thì sẽ có lợi ích gì cho việc tiếp thu kiến thức của HS?”

Quay lại với nội dung trong SGKHH, ta thấy có phần chứng minh cho tính chất

1 1 2 2 3 3

( ; ; )

+ = + + +

 

“Theo giả thiết:  = 1+ 2+ 3 ; = 1+ 2+ 3 a a i a j a k b b i b j b k 1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ⇒ + =  + + + + +  a b a b i a b j a b k Vậy  + =( 1+ 1; 2+ 2; 3+ 3) a b a b a b a b ”

Chúng tôi nhận thấy rằng các công thức đã nêu trên đều có thể được chứng minh tương tự, không quá phức tạp. Và nếu đưa hình vẽ vào để minh họa cho các tính chất này, thiết nghĩ phần nào sẽ làm tăng sức ì của tư duy, đồng thời, có thể làm phức tạp thêm vấn đề vốn rất đơn giản này.

Như vậy, có thể thấy, với bản chất tri thức này, lựa chọn không đưa hình vẽ vào trong trường hợp này là hợp lí.

Phần tiếp theo của bài là “tích vô hướng” của hai vectơ. Tích vô hướng đã được HS làm quen trong chương trình hình học 10 bằng định nghĩa:

“Cho hai vectơ a và 

b khác 0

. Tích vô hướng của a và 

b là một số, kí hiệu là  .

a b, được xác định bởi công thức sau:

( ) . = . .cos ,

     

a b a b a b ”

(SGKHH10 Tr.41)

Có lẽ vì vậy, khi chương trình hình học 12 giới thiệu tích vô hướng của hai vectơ trong không gian, các tác giả chỉ trình bày biểu thức tọa độ của tích vô hướng bằng một định lí:

“Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ  =( ;1 2; 3)

a a a a và =( ; ; )1 2 3

b b b b được xác định bởi công thức

1 1 2 2 3 2

. = + +

 

[9 - Tr.65]

Công thức được chứng minh dựa vào các tính chất của vectơ:

1 2 3 1 2 3 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 . ( ).( ) . . . . . . = + + + + = + + + + + + + +                        a b a i a j a k b i b j b k a b i a b i j a b i k a b j i a b j a b j k a b k i a b k j a b k Vì 2 =2 =2=1 i j k và      . = . = . =0 i j j k k i nên  . = 1 1+ 2 2 + 3 2 a b a b a b a b .

Phần chứng minh dựa vào các tính chất về tích vô hướng đã được học ở lớp 10 như:

. = ⇔ ⊥0

   

a b a b; tính phân phối của tích vô hướng, đồng thời sử sụng cả tính chất vừa được giới thiệu ở đầu chương 3 của sách: 2 2 2

1 = = =    i j k và      . = . = . =0 i j j k k i (theo . = ⇔ ⊥0     a b a b).

Đi cùng định lí, SGK nêu các ứng dụng của tích vô hướng gồm độ dài vectơ, khoảng cách hai điểm và góc giữa hai vectơ. Các ứng dụng trên được suy ra trực tiếp từ biểu thức tọa độ của tích vô hướng và cũng không có hình minh họa.

Như đã trình bày ở phần trên, với bản chất tri thức tích vô hướng được giới thiệu, hình vẽ không nhất thiết phải đưa vào. Và nếu có hình vẽ, có thể không giúp ích gì cho việc giới thiệu khái niệm tích vô hướng, lại làm HS lệ thuộc nhiều hơn vào yếu tố trực quan, làm chậm phát triển sự tư duy và tưởng tượng.

Căn cứ vào chương trình phổ thông do bộ giáo dục ban hành, mức độ cần đạt của HS là tính được tích vô hướng của hai vectơ. Về ứng dụng cũng chỉ giới hạn ở việc tính được khoảng cách giữa hai điểm có tọa độ cho trước. Vì vậy, chúng tôi nhận thấy cách trình bày của SGKHH phù hợp với chương trình.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm ( ; ; ) I a b c bán kính r có phương trình là: 2 2 2 2 (x a− ) + −(y b) + −(z c) =r [9 - Tr.66]

Ở đây, SGKHH có đưa ra một hình vẽ minh họa

(hình 2.2.2). Có thể thấy hình vẽ được xem như một công cụ trực quan giúp nhận ra ( )

∈

M S thì =  =

IM IM r .Đây là gợi ý để chứng minh định lí vừa nêu. Đồng thời, tọa độ của điểm M và I cũng được thể hiện trên hình vẽ, giúp HS nhanh chóng tìm tọa độ



IM .

Như vậy, có thể thấy hình vẽ xuất hiện ở đây với vai trò gợi ý hướng giải cho một bài toán chứng minh.

Giả sử không có hình vẽ trong phần chứng minh định lí, tính chất ( )

∈ ⇔ =  =

M S IM IM r có được do sự tưởng tượng trong đầu mỗi HS, chắc hẳn sẽ không “thuận tiện” như việc nhìn vào một hình vẽ có sẵn.

Xem xét bài 2 “Phương trình mặt phẳng”

Theo [2], PTMP gồm các dạng: phương trình tham số, phương trình tổng quát, PTMP qua ba điểm cho trước, PTMP theo đoạn chắn và phương trình pháp dạng của mặt phẳng. Trong khi chương trình Toán trung học phổ thông, phần hình học hình học 12, kiến thức PTMP chỉ yêu cầu giới thiệu phương trình tổng quát. Phương trình tham số và phương trình pháp dạng không được đưa vào. Vì lí do đó, chúng tôi nhận thấy cách trình bày của SGKHH như sau:

Đầu tiên, VTPT của mặt phẳng được giới thiệu.

I(a;b;c) r

Định nghĩa: Cho mặt phẳng ( )α . Nếu vectơ n khác 0

và có giá vuông góc với mặt phẳng ( )α thì 

n được gọi là vectơ pháp tuyến của ( )α .

[9 - Tr.69]

Kèm theo sau định nghĩa là mục chú ý:

“Nếu n là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì k n với k≠0, cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. ”

Điều này cùng ý nghĩa với phát biểu “một mặt phẳng có vô số VTPT, và các vectơ đó cùng phương với nhau”.

Để tìm được VTPT của mặt phẳng, trong nhiều trường hợp, ta phải dùng đến tích có hướng của hai vectơ. Do đó, khái niệm tích có hướng cũng được giới thiệu thông qua một bài toán có kèm hình vẽ và phần chứng minh.

“Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng

( )α và hai vectơ không cùng phương

1 2 3 1 2 3

( ; ; ), ( ; ; )

= =

 

a a a a b b b b có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng ( )α . Chứng minh rằng mặt phẳng ( )α nhận vectơ 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 ( ; ; ) = − − −  n a b a b a b a b a b a b làm vectơ pháp tuyến.” [9 -Tr.70] α a' ' b  a  n  b Hình 2.2.3

Chứng minh được xây dựng dựa vào công thức tích vô hướng của hai vectơ. ( . =0; . =0

   

a n b n )

Sau phần chứng minh, SGKHH giới thiệu tích có hướng:

“Vectơ n xác định như trên được gọi là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ



a và 

b, kí hiệu là   = ∧

n a b hoặc n=  a b , .”

[9 - Tr.70]

Hình vẽ do SGKHH đưa ra đáp ứng được yêu cầu: chỉ ra 

n vuông góc với , 

a b (do



n vuông góc a’, b’ – giá của , 

a b); 

n vuông góc với mặt phẳng ( )α (cách xây dựng 

n

vuông góc với 2 cạnh hình bình hành đại diện cho mặt phẳng). Như vậy, hình vẽ minh họa đã chỉ ra được những yếu tố trực quan cần thể hiện ở nội dung này.

Khái niệm tích có hướng được giới thiệu để thực hiện kiểu nhiệm vụ tìm VTPT của mặt phẳng khi biết hai VTCP, dù SGKHH không hề nhắc đến “VTCP của mặt phẳng”. VTCP ở đây được hiểu một cách ngầm ẩn qua cách gọi “vectơ có giá song song hoặc nằm trong với mặt phẳng” (bài toán trang 70).

Khi tìm hiểu SBT và SGV hiện hành, chúng tôi nhận thấy rằng cả hai sách đều không nhắc đến khái niệm VTCP của mặt phẳng. Các vectơ ấy cũng được đề cập như

“hai vectơ không cùng phương, có giá song song hoặc thuộc mặt phẳng” .

Quay lại với giáo trình đại học, chúng tôi thấy rằng khái niệm VTCP được định nghĩa trong phần phương trình tham số của mặt phẳng. Có lẽ do chương trình quy định chỉ dạy phương trình tổng quát của mặt phẳng nên để tránh nhắc đến phương trình tham số, SGKHH và cả SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000 đều không nêu VTCP.

Sau khi cung cấp các “công cụ cần thiết”, SGKHH định nghĩa phương trình tổng quát của mặt phẳng qua hai bài toán. Định nghĩa được nêu:

Phương trình có dạng Ax+By+Cz+ =D 0, trong đó A B C, , không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. [3 - Tr.72]

Và để dễ dàng vận dụng, SGKHH cũng kèm theo hai nhận xét:

a) Nếu mặt phẳng ( )α có phương trình tổng quát là Ax+By+Cz+ =D 0 thì nó có một vectơ pháp tuyến là =( ; ; )

n A B C .

b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M x y z nhận vectơ 0( ;0 0; 0) =( ; ; )

n A B C khác 0

làm vectơ pháp tuyến là A x( −x0)+B y( −y0)+C z( −z0)=0 [9 - Tr.72]

Từ hai nhận xét trên, HS có thể làm việc theo hai hướng, từ phương trình tổng quát suy ra VTPT; từ VTPT và điểm thuộc suy ra phương trình tổng quát. Nhận xét bcũng có thể xem như công thức mà SGK cung cấp cho kiểu nhiệm vụ viết phương trình tổng quát của mặt phẳng biết một điểm thuộc mặt phẳng và một VTPT của mặt phẳng.

Như một cấu trúc ngầm ẩn, sau phần trình bày lí thuyết, SGKHH đưa ra các ví dụ minh họa cho phần kiến thức ấy.

Cũng như giáo trình đại học và SGKCL, SGKHH giới thiệu các trường hợp riêng của phương trình tổng quát của mặt phẳng. Tuy nhiên, một nét đặc trưng của SGKHH là các hình vẽ minh họa được khai thác triệt để. Với ba nhóm trường hợp riêng, kèm với một trường hợp đặc biệt (PTMP theo đoạn chắn), SGK vẽ 8 hình. Các hình rất cụ thể, trực quan giúp HS hiểu hơn và có một cái nhìn rõ ràng, chính xác hơn trong các trường hợp này. α y x z O Hình 2.2.4

• Khi D=0, mặt phẳng ( )α đi qua gốc tọa độ O.

• Khi một trong ba hệ số bằng 0, mặt phẳng ( )α song song (hoặc chứa) một trong ba trục tọa độ Ox, Oy hay Oz. (xem hình 2.2.4)

• Khi A= =B 0;C ≠0, ( )α song song hoặc trùng với mặt phẳng Oxy. Tương tự với các trường hợp A= =C 0;B≠0 và B= =C 0; A≠0. Mỗi trường hợp đều có một hình vẽ minh họa rất chi tiết. (hình 2.2.5)

0 + + = By Cz D z x y O  i z x y 0 + + = Ax Cz D O  j α 0 + + = Ax By D O z x y α  k Hình 2.2.4 z x y O 0 + = Cz D −D C α z x y O 0 + = Ax D α −D A 0 + = By D z x y O α −D B Hình 2.2.5

• Khi cả A, B, C, Dđều khác 0, SGKHH giới thiệu phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn.Hình vẽ cũng được khai thác trong trường hợp này. (hình 2.2.6)

Như đã nói ở trên, SGKHH không tách riêng mỗi đơn vị kiến thức thành một bài học. Ở đây, các khái niệm, công thức, yếu tố liên quan đến nhau được tác giả đưa vào cùng một đơn vị bài.

Từ các trường hợp riêng, các tác giả SGKHH giới thiệu PTMP theo đoạn chắn. Sách không trình bày theo từng dạng như giáo trình Hình học giải tích của Lê Khắc Bảo mà chỉ đưa chúng vào phần bài tập. Các dạng như viết PTMP qua ba điểm hay các dạng được suy ra từ dạng ban đầu (PTMP trung trực, PTMP qua một đường thẳng, song song với đường thẳng khác, PTĐT qua một điểm, song song/vuông góc một mặt phẳng,…) không trình bày theo cách đưa sẵn công thức để HS áp dụng. Đối với các dạng này, HS phải vận dụng những công thức đã được cung cấp, qua quá trình biến đổi, suy luận để giải. Và trong quá trình tư duy ấy, có lẽ hình vẽ là một công cụ không thể nào không xuất hiệnđể đóng góp vào quá trình tìm tòi lời giải.

Tiếp đến, phần vị trí tương đối của hai mặt phẳng được trình bày dưới tên gọi “Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc” .

z x y O c b a