Để mô tả và vẽ các mặt cong ta cũng có thể dùng các hàm trộn Bezier và B- Spline tương tự như trong trường hợp đường cong.
Các mảnh Bezier (Bezier surface patches)
Xét đường cong Bezier như là một hàm theo tham số v và có các điểm kiểm soát thay đổi theo u. Ta có công thức :
Lúc này, khi u thay đổi ta sẽ có các điểm kiểm soát thay đổi kéo theo đường cong Bezier cũng thay đổi theo. Sự biến thiên của các đường cong Bezier này trong không gian sẽ tạo ra một mặt cong.
Khi u thay đổi, các điểm Pk(u) sẽ thay đổi trên một đường cong nào đó. Nếu cho các đường cong này chính là các đường cong Bezier, mỗi đường cong dựa trên (M+1) điểm kiểm soát thì :
Lúc này :
(2.6)
(2.7)
Luận văn thạc sĩ khoa học GVHD: TS. Nguyễn Thị Hồng Minh
Học viên: Đặng Thị Bốn Chuyên ngành: C53 ơđiện tử
Ta gọi đây là dạng tích tensor của mảnh Bezier.
Dán các mảnh Bezier lại với nhau
Mục đích là để tạo ra một dạng mặt cong phức tạp gồm nhiều mảnh Bezier kết hợp lại với nhau sao cho trơn tru tại các biên chung.
Khi dán hai mảnh Bezier lại với nhau (mỗi mảnh có một khối đa diện kiểm soát riêng và cùng sử dụng công thức ở trên với u,v biến thiên trong đoạn [0, 1]), vấn đề là làm sao để chúng có thể dán vào nhau một cách trơn tru ?
Hai mảnh sẽ gắn vào nhau ở tất cả các điểm dọc biên chung nếu các đa diện kiểm soát của chúng trùng khớp với nhau ở biên. Điều này có được là do dạng của
đường cong Bezier biên chỉ phụ thuộc vào đa giác kiểm soát nằm ở biên của khối đa diện kiểm soát. Do đó, để dán được ta chỉ cần chọn các đa giác kiểm soát biên cho hai mặt là trùng nhau.
Hình 2.13 - Minh họa hai mảnh Bezier dán lại với nhau
Về tính liên tục tại tiếp tuyến, điều kiện đủ là mỗi cặp cạnh của các khối đa diện tại biên phải là cộng tuyến.
Luận văn thạc sĩ khoa học GVHD: TS. Nguyễn Thị Hồng Minh
Học viên: Đặng Thị Bốn Chuyên ngành: C54 ơđiện tử
Các hàm B-Spline có thể dùng ở dạng tích tensor thay cho dạng đa thức Bernstein đểđạt được tính kiểm soát cao hơn khi thiết kế mặt cong :
Khối đa diện kiểm soát có (M+1)x(L+1) đỉnh và u, v biến thiên từ 0 tới giá trị lớn nhất của nút trong các vector nút tương ứng của chúng.
Thông thường để thiết kế, người ta vẫn dùng các B-Spline cấp 4 (tức là cubic B-Spline) và do việc chọn số điểm kiểm soát không hạn chế (số lượng các điểm không ảnh hưởng đến bậc của đa thức nhưđối với đường cong Bezier) nên người ta có thể tạo ra các dạng mặt cong rất phức tạp. Tất nhiên trước đó, người ta phải chọn ra một đa diện nút (knot polyhedron) để tạo ra mặt cong có dạng mong muốn.