b. Xỏc định giỏ trị tốc độ tới hạn VKR
2.2.2.2 Các giả thiết và điều kiện biên
Nếu bề mặt cánh đ−ợc thay thế bằng một lớp xoáy nào đó, thì ngoài bề mặt đó ra là sự chảy không xoáy - có nghĩa là có thế. Nh− vậy, hàm ch−a biết có thể là thế vận tốc nhiễu động φ, áp suất p và mật độ ρ.
Xét bài toán tuyến tính về chuyển động của cánh, cần thoả mãn các ph−ơng trình sau:
Với môi tr−ờng không nén, ph−ơng trình liên tục (thoả mãn ph−ơng trình Laplace) có dạng:
∂2φ/∂x2 + ∂2φ/∂y2 + ∂2φ/∂z2 = 0 (2.2.2) Liên quan giữa áp suất nhiễu động và vận tốc nhiễu động có thể tìm qua
Γ+= h Y Y Uo α Uo α l Γ Γ Γ U W ε
p’ = ρ∞U0Wx (2.2.3) Trong bài toán này, giả thiết các thông số động học không thứ nguyên không phụ thuộc thời gian và nhỏ so với một:
α, β, ωx = Ωxb/U0, ωy = Ωyb/U0, ωz = Ωzb/U0, (2.2.4) trong đó: Ωx , Ωy , Ωz là tốc độ quay của cánh theo các trục t−ơng ứng.
Các vận tốc nhiễu động cũng rất nhỏ (nhiễu động nhỏ):
Wx = ∂φ/∂x; Wy = ∂φ/∂y; Wz = ∂φ/∂z. (2.2.5) Để thoả mãn ph−ơng trình liên tục, c−ờng độ các xoáy tự do đ−ợc biểu diễn qua c−ờng độ của các xoáy liên kết trên cơ sở l−u số vận tốc không đổi.
Bài toán sẽ có lời giải duy nhất khi thoả mãn điều kiện Trapl−gin - Giucopxki [15] về vận tốc giới hạn ở mép sau cánh.
Điều kiện biên của bài toán là yêu cầu về chảy bao đều đặn trên bề mặt cánh, có nghĩa là vận tốc t−ơng đối của dòng trên bề mặt cánh chỉ theo ph−ơng tiếp tuyến với bề mặt cánh, còn theo ph−ơng pháp tuyến thì vận tốc t−ơng đối bằng không.
Có thể biểu diễn điều kiện biên qua biểu thức: Won = 0.
Gọi n = i.cos(n,x) + j.cos(n,y) + k.cos(n,z) là véc tơ đơn vị pháp tuyến ngoài của mặt cánh. Khi đó thành phần pháp tuyến của vận tốc nhiễu động W sẽ là:
Wn = Wxcos(n,x) + Wycos(n,y) + Wzcos(n,z) (2.2.6) Vận tốc mang W* - là vận tốc của cánh tại điểm có toạ độ (x0, y0, z0), bán kính cực r0, sẽ có giá trị là:
W* = U0 + Ω x r0 (2.2.7)
Điều kiện chảy bao có thể viết d−ới dạng: Wn = W*
n, hay sử dụng các đẳng thức (2.2.6) và (2.2.7) nhận đ−ợc biểu thức:
Wxcos(n,x) + Wycos(n,y) + Wzcos(n,z) = U0xcos(n,x) + U0ycos(n,y) + U0zcos(n,z) + cos(n,x)(Ωyz0 - Ωzy0)+ cos(n,y) (Ωzx0 - Ωxz0)
+ cos(n,z) (Ωxy0 - Ωyx0) (2.2.8) Sử dụng quan hệ (2.2.4) và (2.2.5) thay vào (2.2.8) và chia 2 vế cho U0 có: [Wxcos(n,x) + Wycos(n,y) + Wzcos(n,z)]/U0 = cosα.cosβ.cos(n,x) - sinα.cosβ.cos(n,y) +sinβ.cos(n,z) + cos(n,x)(ω yz0/b - ωzy0/b) + cos(n,y) (ωzx0/b - ωxz0/b) + cos(n,z) (ωxy0/b - ωyx0/b) (2.2.9)
Đây là điều kiện biên tổng quát nhất.
Nếu cánh chỉ là một tấm phẳng, ta nhận đ−ợc:
cos(n,x) = 0; cos(n,y) = 1; cos(n,z) = 0; sinα≈α; cosβ≈ 1. Khi này điều kiện biên tuyến tính với α, ωx và ωz có dạng:
Wy/U0 = - α - ωxz0/b + ωzx0/b (2.2.10)