5. Phƣơng pháp nghiên cứu
2.2.Đầu vào đến trạng thái ổn định
21
x f(t, x, u) (2.19)
Với f: V: 0, x D xD0Rn liên tục từng phần trong t và Lipschitz cục bộ trong x và u, và DRn và miền xác định bao gồm gốc tọa độ x = 0, và Du Rn là miền xác định bao gồm u = 0. Đầu vào u(t) là hàm liên tục từng phần, và bị giới hạn bởi t với ∀ t >0. Giả sử rằng hệ thống tự do
x f(t, x, u) (2.20)
Có điểm cân bằng ổn định tiệm cận đều tại điểm x = 0. Bằng cách xem hệ thống (2.19) nhƣ là nhiễu của hệ thống tự do (2.20). Chúng ta có thể áp dụng kỹ thuật của phần trƣớc để bân tích ứng sử “ đầu vào đến trạng thái” của (2.19) Bất đẳng thức này làm rõ các định nghĩa của “ đầu vào đến trạng thái ổn định” (ISS)
Định nghĩa 2.12. Hệ thống (2.19) đƣợc gọi là “đầu vào đến trạng thái ổn định” cục
bộ nếu nó tồn tại hàm lớp KL: β và một hàm lớp K: γ và hằng số k1 và k2 dƣơng sao cho bất kỳ trạng thái ban đầu nào x0 với x t( )0 k1 và bất kỳ đầu vào u(t) với
0 2
supt t u t( ) k sup nghiệm x(t) tồn tại và thỏa mãn: 0 0 0 0 x(t) (x(t ), t t ) (sup sup ( )) t t t t u (2.21) 0 0 t t
. Nó đƣợc gọi là “đầu vào đến trạng thái ổn định” nếuDR Dn, u Rm và bất phƣơng trình (2.21) là đƣợc thỏa mãi với bất kỳ trạng thái ban đầu x(t0) và bất kỳ đầu vào bị giới hạn u(t).
Bất đẳng thức (2.21) đảmbảo rằng một đầu vào bị giới hạn u(t), trạng thái x(t) sẽ bị giới hạn. Hơn nữa, khi t tăng, trạng thái x(t) sẽ là giới hạn cuối với rằng buộc cuối cùng, cái đó là hàm lớp K của
0
supt t u t( ) . Bất đẳng thức (2.21) đƣợc sử dụng để hiện thị nếu u(t) không hôi tụ khi , t→ ∞ hoặc x(t) không hội tụ khi t→ ∞ Với u(t) = 0, (2.21) giảm đến
0 0
( ) ( ),
22
“đầu vào đến trạng thái ổn định” cục bộ đƣợc coi là hệ thống tự do (2.20) là ổn định tiệm cận đều, Trong khi “đầu vào đến trạng thái ổn định” đƣợc coi là ổn định tiệm cậnđều toàn cục.
Định lý sau đây theo quan điểm Lyapunov giống nhƣ đƣa ra một điều kiện đủ cho“đầu vào đến trạng thái ổn định”.
Định lý 2.5.Với D x Rn| x r D, u u Rm| u và f : 0, xD Dx u Rn
là liên tục từng phần trong t và cục bộ Lipschitz trong x và u. Với V : 0, xR là hàm khả vi liên tục nhƣ sau: 1( )x V(t, )x 2( )x (2.22) V V f t x( , ) 3( ),x x u 0 t x (2.23) Với ∀ (t, x, u) ∈ 0,xD Dx u, 1(.),2(.),3(.),4(.) và ρ là các hàm lớp K, Do đó hệ thống (2.19) “đầu vào đến trạng thái ổn định” cục bộ với 1
1 2 o o , và 1 1 2 1 k r và 1 2 min ,1
k k u . Hơn nữa nếu DR Dn, u Rm và α1 là hàm lớp K∞, khi đó hệ thống (2.19) là “đầu vào đến trạng thái ổn định”.
2.3. Kết luận
Nội dung Chƣơng II tìm hiểu và tổng hợp một số kiến thức cơ sở cần thiết nhƣ: lý thuyết ổn định Lyapunov với các định nghĩa và định lý cơ bản; sự ổn định của hệ thống có nhiễu, lý thuyết này sẽ đƣợc ứng dụng cho hệ thống động lực học môi trƣờng và phân tích tính ổn định của hệ thống.
23
CHƢƠNG III: ĐỘNG LỰC HỌC HỆ THỐNG TELEOPERRATION – MOBILE ROBOT