Các quy luật tăng trưởng theo đường chạy cuối cùng cho họ các từ Dyck, các từ Schr¨oder và các quy luật tăng trưởng đường chạy cuối cùng thứ 2 cho các từ Motzkin có thể được thực hiện trực tiếp bởi các thuật toán sinh CAT. Thực chất, các thuật toán sinh ở đây là các thuật toán đệ qui thực hiện trực tiếp từ các quy luật tăng trưởng tương ứng cho mỗi lớp các từ.
Như vậy, vòng lặp chính trong mỗi lời gọi đệ qui là cho việc xử lý đường chạy cuối cùng của từ hiện tại. Theo quy luật tăng trưởng trên, nếu chiều dài của đường chạy cuối cùng của một từ đưa ra làpthì nó có ít nhất p+ 1từ kế tiếp, điều đó có nghĩa là mỗi lời gọi có bậc ít nhất là 2. Vì vậy, nó thỏa mãn yêu cầu của một thuật toán CAT.
Tuy nhiên, quy luật tăng trưởng theo đường chạy cuối cùng của các từ nhị phân mật độ cố định đại diệnC(k, n)không đưa ra một thuật toán CAT trong trường hợp chung. Kết quả thử nghiệm dưới đây, khi trọng số k tỷ lệ với độ dài n, chúng ta có thể thấy quy luật tăng trưởng này có thể được thực hiện bởi một thuật toán CAT.
Liên quan tới các quy luật tăng trưởng đường chạy cuối cùng đầu tiên của các từ Motzkin, xem kết quả thử nghiệm trong bảng dưới đây, chúng ta thấy rằng tỷ lệ của số lượng của các lời gọi đệ qui với số lượng các đối tượng được sinh ra giảm dần về khoảng 1.50. Vì vậy, chúng ta hy vọng chứng minh được thuật toán cho các lớp từ thỏa mãn CAT.
Một số kết quả thử nghiệm cho một số lớp từ: Các kết quả thử nghiệm của quy tắc đường chạy cuối cùng cho các số nhị phân mật độ cố địnhC(k, n) được minh họa trong bảng dưới. Các chỉ số dòng đầu tiên các giá trị độ dàin; các chỉ số cột đầu tiên các giá trị của trọng số
các đối tượng được sinh ra tương ứng. . .. n 20 15 10 .. k . .. 1 10.5 8 5.5 .. 2 7 5.33 3.67 .. 3 5.25 4 2.75 .. 4 4.2 3.2 2.2 .. 5 3.5 2.67 1.83 .. 6 3 2.29 1.57 .. 7 2.62 2 1.38 .. 10 1.91 1.45 1 .. .. .. .. .. ..
Bảng 4.1 : Các kết quả thử nghiệm của thuật toán cho luật đường chạy cuối cùng cho các số nhị
phân mật độ cố địnhC(k, n) n 4 5 6 8 11 13 16 17 21 22 23 ... P calls P objects 1.75 1.76 1.73 1.67 1.61 1.59 1.58 1.57 1.56 1.55 1.55 ... Bảng 4.2: Các kết quả thử nghiệm của thuật toán cho luật đường chạy cuối cùng thứ nhất của các từ Motzkin
Các thuật toán sinh trên được thực hiện rất nhanh và đặc tính CAT. Điều này có nghĩa là tổng số các phép tính toán chia cho tổng số lượng đối tượng được sinh ra luôn biến đổi trong một hằng số, tức là, chỉ có một lượng không đổi các phép tính toán được thực hiện trên từng đối tượng có thể phán đoán được. Qua các kết quả thử nghiệm của các thuật toán với quy luật đường đường chạy cuối cùng cho các lớp từ, ta thấy tỷ lệ tổng số các phép tính toán với tổng số lượng đối tượng giảm dần. Các từ được sinh ra một cách đầy đủ không bị bỏ sót trong thời gian cho phép.
n 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 . . . P
calls
P
objects 1.33 1.363 1.33 1.30 1.284 1.271 1.26 1.254 1.249 1.24 . . . Bảng 4.3 : Các kết quả thử nghiệm của thuật toán với quy luật đường chạy cuối cùng cho các từ
Schr¨oder n 4 6 8 12 16 18 20 22 . . . P calls P objects 1.333 1.40 1.40 1.379 1.366 1.361 1.358 1.356 . . .
Bảng 4.4 : Các kết quả thử nghiệm của thuật toán với quy luật đường chạy cuối cùng cho các từ Grand Dyck
KẾT LUẬN
Luận văn "Phương pháp sinh toàn bộ một số đối tượng tổ hợp" đã đạt được những kết quả sau:
- Nghiên cứu một số đối tượng tổ hợp quan trọng: Dyck, Motzkin, Schr¨oder và các hướng mở rộng của chúng.
- Nghiên cứu phương pháp sinh ECO cho các đối tượng trên và đưa ra phương pháp sinh các đối tượng tổ hợp một cách có hiệu quả dựa vào quy luật tăng trưởng cho đường chạy cuối cùng của mỗi đối tượng tổ hợp.
- Đưa ra giải thuật sinh các đối tượng tổ hợp và cài đặt, biểu diễn một số đối tượng tổ hợp trên đồ thị.
- Phân tích đánh giá độ phức tạp cho các giải thuật sinh các đối tượng tổ hợp.
Qua các kết quả thử nghiệm của các thuật toán với quy luật đường đường chạy cuối cùng cho các lớp từ, ta thấy tỷ lệ tổng số các phép tính toán với tổng số lượng đối tượng giảm dần. Các từ được sinh ra một cách đầy đủ không bị bỏ sót trong thời gian cho phép. Vấn đề sinh toàn bộ các đối tượng tổ hợp cũng như việc nghiên cứu các đối tượng này được rất nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm. Vì vậy, tôi cho rằng: Đây là bước khởi điểm để tôi tiếp tục nghiên cứu và đề xuất được các phương pháp sinh cho các đối tượng này một cách có hiệu quả và nghiên cứu ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực.
Tài liệu tham khảo
[1] A. Bernini, I. Fanti, and L. Ferrari (2007) "An exhaustive generation algorithm for Catalan objects and others", PU.M.A.
[2] Phan Thuan DO, Vincent VAJNOVSZKI, (2007), "CAT generation of Dyck words and relatives", CGCS2007, Marseille - Luminy, France.
[3] E. Barcucci, A. Del Lungo, E. Pergola, and R. Pinzani (1999) "ECO: a methodology for the enumeration of combinatorial objects", Journal of Difference Equations and Appli- cations, (5:435–490).
[4] E. Barcucci, E. Pergola, R. Pinzani, and S. Rinaldi (2000), "ECO-systems for Dyck and Schr¨oder paths", PU.M.A., 11:401 – 407.
[5] Enrica Duchi, Jean-Marc Fedou, Simone Rinaldi () "From object grammars to ECO systems".
[6] Luca Ferrari,(2008), "Journal Article: Some combinatorics related to central binomial co- efficients: Grand-Dyck paths, coloured noncrossing partitions and signed pattern avoid- ing permutations", http://arxiv.org.
[7] L. Ferrari, E. Pergola, R. Pinzani, and S. Rinaldi (2003), "Jumping succession rules and their generating functions", Discrete Math, (271:29–50).
[8] Philippe Duchon (1998), "On the enumeration and generation of generalized Dyck words".
[9] S. Bacchelli, E. Barcucci, E. Grazzini, and E. Pergola (2004), "Exhaustive generation of combinatorial objects by ECO", Acta Informatica, (40:585 –602).
[10] Nguyễn Tô Thành, Nguyễn Đức Nghĩa (1994),Toán rời rạc, ĐHBK Hà Nội.
[11] Frank Ruskey (2003) "Combinatorial genration", Working Version (1j-CSC 425/520) no comments printed, pseudo-code version.
[13] V. Vajnovszki (2008), "Simple Gray codes constructed by ECO method",JMIT, Mons, Belgique.
PHỤ LỤC: MỘT SỐ HÌNH ẢNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH SINH
Hình 4.1 : Chương trình chính sinh một số đối tượng tổ hợp
Hình 4.3 : Chương trình sinh lớp từ Dyckk- phân m- màu
Hình 4.5 : Chương trình sinh lớp từ Motzkin