II. NỘI SUY
1. Công thứcnội suy Lagrange:
Xét đa thức:
PM(x) = a0 + a1x + a2x2 + …. aMxM
Đa thức PM(x) nội suy bộ dữ liệu {(xi,fi), i = ̅̅̅̅̅} nếu các điều kiện nội suy: PM(x0) = a0 + a1x0 + a2x02 + …. aMx0M = f0
PM(x1) = a0 + a1x1 + a2x12 + …. aMx1M = f1
……….
PM(xN) = a0 + a1xN + a2xN2 + …. aMxNM = fN Dạng ma trận của điều kiện nội suy:
Giả thiết là x0,x1, . . ., xN là phân biệt, vậy theo lý thuyết giải hệ phương trình ta có:
HV: NGUYỄN ĐĂNG ĐỨC CNTT 2012 -2014 27
- N = M: hệ phương trình có nghiệm duy nhất - M<N : có thể chọn bộ dữ liệu để nó vô nghiệm - M>N : nếu hệ có nghiệm thì nó vô số nghiệm
Khi N = M ma trận hệ số của hệ phương trình là ma trận Vandermonde:
Định thức của VN là:
Do đó det(VN) ≠ 0( nghĩa là VN không suy biến) khi và chỉ khi các nút dữ liệu x0,x1, . . ., xN là khác nhau từng đôi( nghĩa là xi ≠ xj với i ≠j) từ đó ta có:
Định lý( Tính duy nhất của đa thức nội suy) : Nếu các nút dữ liệu x0,x1, . . ., xN là khác nhau từng đôi thì tồn tại duy nhất đa thức nội suy PN(x) bậc không quá N nội suy bộ dữ liệu {(xi,fi), i = ̅̅̅̅̅}.
Việc giải trực tiếp hệ phương trình nội suy bằng phép khử Gauss chẳng hạn cần đòi hỏi nhiều tính toán O(N3). Thêm nữa của hệ số x có thể rất cao nên độ sai số càng lớn do hiệu ứng làm tròn số, thậm chí còn tràn số. Ta có thể dùng công thức Lagrange để tính hằng số của đa thức nội suy mà không cần giải hệ phương trình tuyến tính.
Xét bộ dữ liệu {(xi,fi), i = ̅̅̅̅̅} dạng Lagrange của đa thức nội suy đối với bộ dữ liệu là đa thức sau:
HV: NGUYỄN ĐĂNG ĐỨC CNTT 2012 -2014 28
Trong đó Vi(x), i = 0,1,…, N là các đa thức thỏa mãn điều kiện:
Họ các đa thức { Vi(x), i = 0,1,…, N} được gọi là đa thức cơ sở. Khi đó dễ dàng kiểm tra được rằng:
PN(xi) = fi, i = 0,1,…,N nghĩa là pN(x) là đa thức nội suy bộ dữ liệu đã cho.
Một trong những lớp đa thức cơ sở có thể xây dựng theo công thức sau:
Ta có thể tóm tắt lại công thức trên như sau:
HV: NGUYỄN ĐĂNG ĐỨC CNTT 2012 -2014 29