Chúng tơi tiến hành thực nghiệm trên 72 học sinh lớp 12 (2 lớp) tại Trường THPT Phú Quốc. Kết quả thu được như sau:
Bài tốn 1
Bảng 3.1. Thống kê các chiến lược giải bài tốn 1 của học sinh
Chiến lược quan sát được Số lượng Tổng Tỉ lệ Chiến lược “đưa về cùng số mũ” - Scsm
94,4 % Scsm.1: Sử dụng quy tắc hành động: ( ) ( ) f a = f b ⇔ =a b. 53 68 Scsm.2: Đưa về dạng f a( )= f b( ) rồi so sánh a và b. 15 Chiến lược “lấy căn hai vế” - Scăn
1,4 %
Scăn.1: Sử dụng quy tắc hành động:
n n
a = ⇔ =b a b 1
1
Scăn.2: Đưa về dạng an =b rồi lấy căn bậc n
hai vế. 0
Chiến lược “logarit hĩa” - Slgr 0 0 0 %
Chiến lược “hằng đẳng thức” - Shđt 3 3 4,2 %
Tổng 72 72 100 %
Nhận xét
Cĩ 68/72 học sinh (94,4%) dùng chiến lược Scsm trong đĩ cĩ 53/72 học sinh (73,6%) dùng chiến lược Scsm.1 – áp dụng quy tắc hành động f a( )= f b( )⇔ =a b
trong đĩ f x( ) là hàm số lũy thừa.
Các bài giải điển hình cho chiến lược Scsm.1:
HS1: ( ) 4 1 ( ) 4 4 4 3 2 3 2 2 3 2 2 3 4 16 3 − − − − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = x x x x x .
Vậy phương trình cĩ nghiệm là 4
3
=
HS2: ( )4 4 1 1 4 3 2 2 2 3 3 2 = ⇔ − = ⇔ = − x x x . HS3: ( )4 4 4 3 2 2 3 2 2 3 − = ⇔ − = ⇔ = x x x . HS4: Ta cĩ: ( ) 4 ( ) 4 4 4 1 3 2 3 2 2 2 − − − − = ⇔ − = x x (*).
Ta thấy (*) cĩ phần mũ giống nhau nên ta giải phần cơ số.
Ta cĩ: 3 2 2 3 4 4
3
− = ⇔ = ⇔ =
x x x .
Vậy phương trình cĩ nghiệm bằng 4
3. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Trong 53 học sinh sử dụng chiến lược Scsm.1 cĩ 47 bài giải được trình bày giống với HS1. Quan niệm hàm số lũy thừa là hàm số đơn điệu thể hiện rõ ở bài giải của HS4 “Ta thấy (*) cĩ phần mũ giống nhau nên ta giải phần cơ số”. Kết quả thực nghiệm cho thấy học sinh quan niệm aα =bα thì a = b.
Cĩ rất ít học sinh sử dụng các chiến lược cịn lại (1/72 học sinh (1,4%) dùng chiến lược Scăn; 3/72 học sinh (4,2%) dùng chiến lược Shđt; khơng cĩ học sinh nào dùng chiến lược Slgr). Điều này phản ảnh sự tác động mạnh mẽ của biến V2.
Kết quả trên phản ánh đúng với phân tích tiên nghiệm của chúng tơi và cho thấy sự tồn tại sai lầm của học sinh khi sử dụng quy tắc hành động R1 trong kiểu nhiệm vụ “giải phương trình”.
Bài tốn 2
Bảng 3.2. Thống kê các chiến lược giải bài tốn 2 của học sinh
Chiến lược quan sát được Số lượng Tổng Tỉ lệ Chiến lược “đưa về cùng số mũ” - Scsm
26,4 % Scsm.1: Sử dụng quy tắc hành động: ( ) ( ) f a < f b ⇔ <a b. 12 19 Scsm.2: Đưa về dạng f a( )< f b( ) rồi so sánh a và b. 7
Scăn.1: Sử dụng quy tắc hành động:
n n
a < ⇔ <b a b 5
19
Scăn.2: Đưa về dạng an <b rồi lấy căn bậc n
hai vế. 14
Chiến lược “logarit hĩa” - Slgr 13 13 18,1 %
Chiến lược “hằng đẳng thức” - Shđt 4 4 5,5 %
Chiến lược khác 3 3 4,2 %
Khơng làm bài 14 14 19,4 %
Tổng 72 72 100 %
Nhận xét
Cĩ 19/72 học sinh (26,4%) dùng chiến lược Scsm trong đĩ cĩ 12/72 học sinh (16,7%) dùng chiến lược Scsm.1 - Sử dụng quy tắc hành động: f a( )< f b( ) ⇔ <a b
trong đĩ f x( ) là hàm số lũy thừa.
Bài giải điển hình cho chiến lược Scsm.1:
HS5: ( ) ( ) ( )6 6 6 6 6 6 2 4 5 4 2 5 4 2 5 4 2 5 + − < ⇔ − < ⇔ − < ⇔ < x x x x .
Các bài giải sử dụng chiến lược Scsm.1 đều trình bày giống với bài giải của HS5.
Do sự lựa chọn giá trị của biến V2: b khơng cĩ dạng aα (a ∈ℚ), đã cĩ nhiều tác động đến sự lựa chọn chiến lược của học sinh. Cĩ 19/72 học sinh (26,4%) dùng chiến lược Scăn; 32/72 học sinh (44,4%) sử dụng chiến lược Slgr và Shđt.
Cĩ 14/72 học sinh (19,4%) khơng trình bày bài giải của mình, nhưng khi quan sát bài làm trên giấy nháp của các em, chúng tơi nhận thấy chiến lược mà các em nhắm đến là Slgr và Shđt. Tuy nhiên, do sự khĩ khăn mà các chiến lược này mang lại nên khơng tìm được nghiệm của bất phương trình, vì vậy mà các em khơng trình bày trên bài làm của mình.
Trong 19 học sinh dùng chiến lược Scsm cĩ đến 12 học sinh dùng chiến lược Scsm.1 (63,2%). Sự quan tâm của chúng tơi trong bài tốn này là ứng xử của học sinh đối với bất phương trình dạng f a( )< f b( ) (với f x( ) là hàm số lũy thừa), vì vậy kết
quả này một phần chứng tỏ sự tồn tại sai lầm của học sinh khi sử dụng quy tắc hành động R2 trong kiểu nhiệm vụ “giải bất phương trình”.
Như vậy, với kết quả thực nghiệm từ bài tốn 1 và bài tốn 2 chúng tơi đã kiểm chứng được giả thuyết H2.
Bài tốn 3 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bảng 3.3. Thống kê các chiến lược giải bài tốn 3 của học sinh
Chiến lược quan sát được Số lượng Tổng Tỉ lệ Chiến lược “đưa về dạng lũy thừa” - Slt
94,4 %
Slt.1: Chuyển từ cách viết căn sang cách viết lũy thừa mà khơng quan tâm đến điều kiện của cơ số.
68
68
Slt.2: Chuyển từ cách viết căn sang cách viết
lũy thừa cĩ xem xét đến điều kiện của cơ số. 0 Chiến lược “đổi biến số” - Sđbs
4,2 %
Sđbs.1: Đổi biến số để hợp thức cách viết biểu
thức chứa căn dưới dạng lũy thừa. 0
3
S đbs.2: Đổi biến số để khử biểu thức chứa căn trong tích phân ban đầu (khơng quan tâm đến cận tích phân).
1
S đbs.3: Đổi biến số để khử biểu thức chứa căn trong tích phân ban đầu (cĩ quan tâm đến cận tích phân). 0 S đbs.4: Kết hợp S đbs.1 và S đbs.2. 2 Chiến lược khác 1 1 1,4 % Tổng 72 72 100 % Nhận xét
Kết quả thực nghiệm cho thấy hầu hết học sinh sử dụng chiến lược Slt.1 (cĩ 68/72 học sinh, chiếm tỉ lệ 94,4%).
HS6: ( ) ( ) 1 1 1 2 1 5 2 8 5 3 2 3 3 3 3 3 8 8 8 8 3 3 4569 1 1 8 5 40 − − − − − − − = − = − = − = − = − ∫ ∫ ∫ I x x dx x x dx x x dx x x . HS7: ( ) ( ) 1 1 1 2 1 5 2 8 5 3 2 3 3 3 3 3 8 8 8 8 3 3 1 1 8 5 − − − − − − − = − = − = − = − ∫ ∫ ∫ I x x dx x x dx x x dx x x ( )8 ( )5 ( )8 ( )5 3 3 3 3 3 3 3 3 4569 1 1 8 8 8 5 8 5 40 = − − − − − − − = − .
Trong 68 bài giải dùng chiến lược Slt.1 cĩ 61 bài trình bày giống với bài giải của HS6, 7 bài trình bày giống với bài giải của HS7. Đối với bài giải của HS6, em chỉ quan tâm đến việc tìm nguyên hàm của hàm số 3 2 ( )
1
−
x x mà khơng quan tâm đến việc tính giá trị biểu thức
1 8 5 3 3 8 3 3 8 5 − − x x . Kết quả 4569 40 − cĩ được nhờ sử dụng máy tính bỏ túi. Đối với bài giải của HS7, mặc dù viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, em cũng khơng quan tâm đến điều kiện của cơ số. Như vậy học sinh này quan niệm lũy thừa với số mũ hữu tỉ của một số âm tồn tại, vì tính được giá trị của nĩ bằng máy tính.
Cĩ 3/72 học sinh (4,2%) dùng chiến lược Sđbs trong đĩ cĩ 2/72 học sinh (2,8%) sử dụng chiến lược Sđbs.4. Tuy nhiên các em vẫn mắc sai lầm khi tính tích phân 1 3 2 2 8 − − = ∫ I x dx bằng chiến lược Slt.1.
Cĩ 1/72 học sinh (1,4%) dùng chiến lược khác. Học sinh này dùng phương pháp tích phân từng phần như sau:
( ) ( ) 1 1 2 3 2 3 8 8 1 1 I − x x dx − x x dx − − = ∫ − = ∫ − . Đặt 2 5 3 3 1 3 5 u dx u x v x dv x dx = = − ⇒ = = …
Tuy cĩ sự khác nhau trong cách tiếp cận cách tính tích phân I nhưng học sinh này vẫn mắc sai lầm khi viết 3 x2 thành
2 3
x mà khơng quan tâm đến điều kiện 8; 1
Như vậy cĩ 71/72 học sinh (98,6%) mắc sai lầm khi chuyển từ hàm số căn sang hàm lũy thừa để tính tích phân. Kết quả này chứng tỏ sự tồn tại quy tắc hợp đồng didactic R ở hầu hết các học sinh.
Qua kết quả thực nghiệm, chúng tơi đã kiểm chứng được các giả thuyết đã đặt ra. Mặc dù đối tượng thực nghiệm chỉ thu hẹp trên các học sinh học sách nâng cao, nhưng do sự tương đồng của hai bộ sách (kết quả phân tích SGK) chúng tơi tin rằng kết quả mẫu thực nghiệm này là đáng tin cậy, cĩ thể đại diện cho một tổng thể học sinh, kể cả học sinh học sách chuẩn. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
KẾT LUẬN
Các nghiên cứu ở chương 1, 2, 3 cho phép chúng tơi tìm ra câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu được đặt ra trước đĩ. Sau đây là những kết quả chính đã đạt được:
1.Phân tích chương 1 cho thấy: Lũy thừa với số mũ nguyên dương n
a chính là kí hiệu cho tích của n thừa số
a. Tính chất của nĩ đều được suy ra từ tính chất của phép nhân trên tập số thực. Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm được mở rộng từ lũy thừa với số mũ nguyên dương sao cho bảo tồn các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Cĩ hai cách xây dựng lũy thừa với số mũ khơng nguyên (hữu tỉ và vơ tỉ).
Cách 1: lũy thừa với số mũ khơng nguyên được xây dựng theo hướng mở rộng số mũ (từ số mũ nguyên đến số mũ khơng nguyên) sao cho bảo tồn các tính chất cĩ được từ lũy thừa với số mũ nguyên. Theo cách tiếp cận này, lũy thừa với số mũ hữu tỉ cĩ hai cách định nghĩa khác nhau:
Định nghĩa 1: = 1 m m n n a a với m
n là phân số tối giản và a1n tồn tại. Theo định nghĩa này, lũy thừa với số mũ hữu tỉ định nghĩa cho mọi số thực a miễn là phân số m
n tối giản và căn bậc ncủa atồn tại.
Định nghĩa 2: mn = n m
a a với a >0. Theo định nghĩa này, khi số mũ là số hữu tỉ thì cơ số phải dương.
Lũy thừa với số mũ vơ tỉ α
a là giới hạn của dãy số ( )xn
a , trong đĩ ( )xn là dãy số hữu tỉ cĩ giới hạn là α.
Cách 2:lũy thừa với số mũ khơng nguyên aαchính là giá trị của hàm số expαtại a. Hàm số lũy thừa y=xα được định nghĩa thơng qua hàm số mũ cơ số e:
* ln
, ( ) x
x + pα x xα eα
∀ ∈ = = .
2. Phân tích chương 2, chúng tơi tìm thấy được sự lựa chọn của thể chế khi trình bày các khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa. Khái niệm lũy thừa được thể
chế trình bày theo hướng mở rộng số mũ, từ số mũ nguyên dương (bậc THCS) đến số mũ nguyên âm, số mũ hữu tỉ, số mũ hữu tỉ (bậc THPT). Sự mở rộng này luơn tuân thủ nguyên tắc: bảo tồn tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Hàm số lũy thừa được thể chế trình bày dựa trên kết quả của mở rộng khái niệm lũy thừa, các tính chất của nĩ đều được suy ra từ tính chất lũy thừa của một số. Vai trị của hàm số lũy thừa bị mờ nhạt trong chương trình phổ thơng.
Phân tích quan hệ thể chế cho phép chúng tơi đưa ra các giả thuyết về sự tồn tại quy tắc hợp đồng didactic, các quy tắc hành động khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ gắn liền với lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa:
Quy tắc hợp đồng R: “Học sinh khơng cĩ trách nhiệm kiểm tra tính hợp thức của biểu thức dưới dấu căn khi viết một biểu thức chứa căn dưới dạng lũy thừa” gắn với kiểu nhiệm vụ “Rút gọn biểu thức”, hoặc “Tìm nguyên hàm của hàm số dạng
( + )m
n ax b ”.
Các quy tắc hành động R1: “ f a( )= f b( )⇔ =a b, với f x( ) là hàm số lũy thừa”; R2: “ f a( )< f b( )⇔ <a b, với f x( ) là hàm số lũy thừa” gắn với kiểu nhiệm vụ “giải phương trình, bất phương trình chứa hàm số lũy thừa”.
3. Kết quả chương 3 cho thấy được sự tồn tại các giả thuyết mà chúng tơi đã đặt ra, đặc biệt là quy tắc hợp đồng didactic R.
Kết quả của luận văn cho thấy: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Lũy thừa chỉ được hiểu đúng nghĩa đen của nĩ “nhân chồng lên” khi số mũ là số nguyên dương. Khi số mũ khơng phải nguyên dương, lũy thừa chỉ được hiểu bằng một biểu thức hình thức. Điều này đặt ra cho chúng tơi câu hỏi: cĩ thể thiết kế một tình huống dạy học để mang lại nghĩa “nhân chồng lên” của lũy thừa hay khơng?
Sự tồn tại biểu thức lũy thừa với số mũ hữu tỉ của một số âm trong các thể chế khác nhau đã dẫn đến sai lầm ở hầu hết các học sinh khi viết một biểu thức chứa căn dưới dạng lũy thừa mà khơng kiểm tra điều kiện của cơ số. Khắc phục sai lầm này ở học sinh là điều cần thiết.
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng (2008), Giải tích 12 Nâng cao, Nxb Giáo dục.
2. Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng (2008), Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục. 3. Jean - Marie Monier (2009), Giải tích 1,Giải tích 2, Nxb Giáo dục Việt Nam. 4. Lê Thị Hồi Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố cơ bản của didactic tốn,
Nxb Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh.
5. Nguyễn Đình Trí (1999), Tốn học cao cấp, Tập 2: Phép tính giải tích một biến số, Nxb Giáo dục.
6. Nguyễn Hữu Lợi (2008), Khái niệm hàm số mũ ở trường trung học phổ thơng,
Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, Trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh.
7. Phan Đức Chính, Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận (2002),
Tốn 6 Tập 1, Nxb Giáo dục.
8. Phan Đức Chính, Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận (2002),
Sách giáo viên Tốn 6, Tập 1, Nxb Giáo dục.
9. Phan Đức Chính, Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận (2003),
Tốn 7 Tập 1, Nxb Giáo dục.
10.Phan Đức Chính, Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận (2003),
Sách giáo viên Tốn 7 Tập 1, Nxb Giáo dục.
11.Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất (2008), Giải tích 12, Nxb Giáo dục.
12.Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất (2008), Sách giáo viên Giải tích 12, Nxb Giáo dục.
Tiếng Anh
1. Alvin K.Bettinger, John A.Englund, Algebra and Trigonometry. 2. Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite series.
Phụ lục 1. Phiếu bài tập thực nghiệm trên học sinh (lớp 12)
Các em thân mến!
Phiếu này gồm 3 bài tốn. Các em cĩ 30 phút để trình bày lời giải ngay phía dưới bài tập đã cho. Lời giải khơng nhằm để đánh giá các em mà để gĩp phần cải thiện việc dạy và học Tốn. Xin cám ơn sự tham gia của các em.
Họ và tên học sinh:………Lớp
Bài 1. Giải phương trình: (3 2) 4 1 16
x− − = .
... ...
Bài 2. Giải bất phương trình ( )6 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
5x−4 <2. ... ... Bài 3. Tính tích phân: 13 2 ( ) 8 1 I − x x dx − = ∫ − . ... ... NHÁP Ở ĐÂY
Phụ lục 2. Một số bài làm của học sinh HS1
HS2
HS3
HS5
HS6