2 MỘT SỐ TẬP LỒI ĐẶC BIỆT
2.10 Tập xác định bởi các hàm toàn phương lồi
2.10.1 Hàm lồi
Giả sử X là không gian lồi địa phương, D⊂X, f :D→R∪ {±∞}.
Định nghĩa 2.21. Trên đồ thị (epigraph)của hàmf, ký hiệu làepif, được định nghĩa như sau
epif ={(x, r)∈D×R:f(x)≤r}.
Định nghĩa 2.22. Miền hữu hiệu (effective domain)của hàmf, ký hiệu làdomf,
được định nghĩa như sau
domf ={x∈D :f(x)<+∞}.
Định nghĩa 2.23. Hàm f được gọi làchính thường (proper), nếu domf 6=∅ và
f(x)>−∞(∀x∈D).
Định nghĩa 2.24. Hàmf được gọi là lồi trênD (convex on D), nếuepif là tập lồi trong X×R.Hàm f được gọi là lõm trên D (concave on D), nếu −f là hàm lồi trênD.
Nhận xét 2.10. Nếuf lồi thì domf lồi.
Ví dụ 2.5. Hàm affine f(x) =< x∗, x > +α,(x∗ ∈ X∗, α ∈ R) là hàm lồi trên
X, trong đó X∗ là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X.
Ví dụ 2.6. Hàm chỉ (indicator function) δ(.|A)của tập lồi A⊂X là hàm lồi
δ(.|A) = 0 nếu x∈A, +∞ nếu x /∈A.
Ví dụ 2.7. Giả sửX∗ là không gian liên hợp củaX.Hàm tựa s(.|A)của tập lồi
A⊂X∗ là hàm lồi
s(.|A) = sup x∗∈A
< x∗, x > .
Định lý 2.18. Giả sửDlà tập lồi trong không gianX, hàmf :D →(−∞,+∞].
Khi đó,f lồi trênD khi và chỉ khi
Định lý 2.19. Giả sửf là hàm lồi trênX, µ∈[−∞,+∞]. Khi đó, các tập mức {x:f(x)< µ} và {x:f(x)≤µ} lồi.
Hệ quả 2.9. Giả sử fα là hàm lồi trên X, λα ∈ R(∀α ∈ I), I là tập chỉ số bất kỳ. Khi đó, tập
A={x∈X :fα(x)≤λα, α∈I} là tập lồi.
Định nghĩa 2.25. Hàm f xác định trên X được gọi là thuần nhất dương (posi- tively homogeneous), nếu ∀x∈X,∀λ∈(0,+∞), f(λx) =λf(x).
Định nghĩa 2.26. Hàmf được gọi là đóng, nếu epif đóng trongX×R.
Định lý 2.20. Hàm f đóng khi và chỉ khi tất cả các tập mức có dạng
{x:f(x)≤α}
của f là đóng.
Tính liên tục của hàm lồi
Định lý 2.21. Giả sử f là hàm lồi chính thường trênX. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(i)f bị chăn trên trong một lân cận củax;
(ii) f liên tục tại x; (iii) int(epif)6=∅;
(iv)int(domf)6=∅ và f liên tục trên int(domf).
Đồng thời,
int(epif) = {(x, µ)∈X×R:x∈int(domf), f(x)< µ}.
Bây giờ ta lại giả sử X là không gian lồi địa phương,f :X →R∪ {±∞}.
Định nghĩa 2.27. a) Hàm f được gọi là nửa dưới liên tục tại (lower semicon- tinuous) x∈ X (với f(x)<∞), nếu với mọi > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho:
b) Nếuf(x) = +∞thì f được gọi là nửa liên tục dưới tại x, nếu với mọiN >0, tồn tại lân cận U của xsao cho
f(y)≥N (∀y∈U). (2.8)
c) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới, nếu f nửa liên tục dưới tại mọi x∈X.
Chú ý. Nếu thay (2.7) và (2.8) tương ứng bởi (2.9) và (2.10), ta định nghĩa được
hàm nửa liên tục trên tại x
f(y)≤f(x) + (∀y∈U), (2.9)
(khif(x)<+∞);
f(y)≤ −N (∀y∈U). (2.10)
(khif(x) =−∞).
Mệnh đề 2.4. f đóng khi và chỉ khi nửa liên tục dưới.
Định lý 2.22. Giả sử f là hàm lồi chính thường trênRn. Khi đó,f liên tục trên
ri(domf).
Đạo hàm theo phương
Giả sử f là hàm xác định trên không gian lồi địa phương Hausdorff X,
|f(x)|<+∞.
Định nghĩa 2.28. Đạo hàm của hàm f theo phương d tại x, ký hiệu là f0(x;d), được định nghĩa là giới hạn sau
f0(x;d) := lim λ↓0
f(x+λd)−f(x)
λ
nếu giới hạn này tồn tại (có thể hữu hạn hoặc ±∞).
Dưới vi phân
Giả sử f là hàm lồi trên X.
Định nghĩa 2.29. Phiếm hàm x∗ ∈ X∗ được gọi là dưới gradient (subgradient)
của hàm f tại x∈X, nếu
Định nghĩa 2.30. Tập tất cả dưới gradient của f tại xđược gọi là dưới vi phân (subdifferenttial) của f tại x, ký hiệu là ∂f(x), tức là
∂f(x) = {x∗ ∈X∗ :f(x)−f(x)≥< x∗, x−x >, ∀x∈X}.
Định nghĩa 2.31. Hàmf được gọi là khả dưới vi phân tại x, nếu
∂f(x)6=∅.
2.10.2 Tập xác định bởi các hàm toàn phương lồi Định lý 2.23. Cho hàm toàn phương
f(x) = 1 2x
T
Ax+bTx+c với A∈Rn×n, b∈Rn, c∈R.
Nếu ma trận A nửa xác định dương thìf là hàm lồi.
Định nghĩa 2.32. Tập hợp
M ={x∈Rn×n :fi(x) =xTAix+biTx+ci ≤0;
Ai ∈Rn×n, bi ∈Rn, ci ∈R, i= 1, . . . , m} được gọi là tập xác định bởi các hàm toàn phương.
Ví dụ 2.8. a) M ={x1, x2, x3)∈R3 :x21+x22+x23−2≤0}. M là hình cầu tâmO(0,0,0), bán kính√ 2. b) M ={(x1, x2)∈R2 :x2 1−3≤0}. M là tập hợp{(x1, x2)∈R2 :−√3≤x1 ≤√3}.
Nhận xét 2.11. a) Nếu các Ai nửa xác định dương, i= 1, . . . , m thì M là tập xác định bởi các hàm toàn phương lồi, do đó M là tập lồi.
b) Nếu các Ai = 0, i = 1, . . . , m thì M trở thành tập lồi đa diện. Do đó, tập lồi đa diện là trường hợp đặc biệt của tập xác định bởi các hàm toàn phương lồi.
Chương 3
ỨNG DỤNG TÍNH LỒI VÀO BÀI TOÁN CỰC TRỊ
3.1 Bài toán lồi với ràng buộc đẳng thức
Giả sử X là không gian lồi địa phương, hàm f xác định trên X, tập Q⊂X.
Xét bài toán
(P) min{f(x) :x∈Q}.
Định nghĩa 3.1. a) Điểm x ∈ Q được gọi là cực tiểu địa phương của bài toán
(P), nếu tồn tại lân cận U của x sao cho
f(x)≤f(x) (∀x∈Q∩U).
b) Điểm x∈Qđược gọi là cực tiểu toàn cục của (P), nếu
f(x)≤f(x) (∀x∈Q).
c) Điểm x∈Q được gọi là điểm chấp nhận được của (P).
Bài toán không có ràng buộc
Giả sử X là không gian lồi địa phương, f là hàm lồi trên X. Xét bài toán
Mệnh đề 3.1. Để x ∈ X là nghiệm của bài toán (P1), điều kiện cần và đủ là 0∈∂f(x). Chứng minh. x là nghiệm của (P1)⇔f(x)≤f(x) (∀x∈X) ⇔0 =<0, x−x >≤f(x)−f(x) (∀x∈X) ⇔0∈∂f(x).
Bài toán với ràng buộc đẳng thức
Giả sử f là hàm lồi trên X, C là đa tạp tuyến tính song song với không gian con M trong X. Xét bài toán
(P2) min{f(x) :x∈C}.
Định lý 3.1. a) Giả sửf liên tục tại một điểm của C,xlà nghiệm của bài toán
(P2). Khi đó,
∂f(x)∩M⊥6=∅. (3.1)
b) Giả sử (3.1) đúng tạix∈C. Khi đó, x là nghiệm của bài toán(P2).
Định lý 3.2. Cho X là không gian Banach, x∗i ∈X∗, αi ∈R,
(i= 1, . . . , m)và
C={x∈X :< xi∗, x >=αi, i= 1, . . . , m}.
Giả sử f là hàm lồi trên X và liên tục tại một điểm của M. Khi đó, x đạt cực tiểu của hàm f trên C khi và chỉ khi tồn tại λi ∈R(i= 1, . . . , m) sao cho
3.2 Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức
Giả sử X là không gian lồi địa phương Hausdorff, f0, . . . , fm là các hàm hữu hạn trên X, tập A⊂X. Xét bài toán
(P3) minf0(x) fi(x)≤0, i= 1, . . . , m (1) x∈A. (2)
Hàm số sau đây được gọi là hàm Lagrange của bài toán(P3)
L(x;λ0, . . . , λm) = m X i=1 λifi(x). Định lý 3.3. (Định lý Kuhn - Tucker)
Giả sử hàm f0, . . . , fm và tậpA lồi, xlà điểm chấp nhận được của bài toán (P3)
(tức là thỏa mãn (1),(2)). Khi đó,
a) Nếu x là nghiệm của bài toán (P3), thì tồn tại λi ≥0(i= 0,1, . . . , m) không đồng thời bằng 0 sao cho:
L(x;λ0, . . . , λm) = min
x∈AL(x;λ0, . . . , λm); (3.2)
λifi(x) = 0 (i= 1, . . . , m). (3.3) Hơn nữa, nếu điều kiện Slater sau đây thỏa mãn
∃x0 ∈A:fi(x0)<0 (i= 1, . . . , m),
thì λ0 >0 và có thể xem như λ0 = 1.
b)Nếu (3.2), (3.3) thỏa mãn với λ0 = 1 thì x là nghiệm của bài toán(P3).
Chú ý. Điều kiện (3.2) được gọi là điều kiện Kuhn - Tucker; λ0, . . . , λm được gọi là các nhân tử Lagrange.
3.3 Bài toán quy hoạch toàn phương
Xét bài toán quy hoạch toàn phương có dạng
(QP) min f(x) = 1 2x TQx+qTx x∈C={x∈Rn:g(x) = 1 2x TQix+qiTx+bi ≤0, i= 1, . . . , m}
trong đó Q, Q1, . . . , Qm là các ma trận thực đối xứng; xT là ma trận chuyển đơn vị của x; q, q1, . . . , qm ∈Rn; b1, . . . , bm ∈R.
Sự tồn tại nghiệm
Năm 1956, Frank và Wolfe đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán
(QP) cho từng trường hợpQ1, . . . , Qm là các ma trận không.
Định lý 3.4. (Định lý Frank - Wolfe) Xét bài toán (QP1) min f(x) = 1 2x TQx+qTx x∈C1 ={x∈Rn:qiTx+bi ≤0, i= 1, . . . , m} .
Nếu θ = inf{f(x) : x ∈ C1} là một số thực hữu hạn thì bài toán (QP1) có nghiệm.
Năm 1999, Luo và Zhang đã mở rộng Định lý Frank - Wolfe cho trường hợp
Q1 nửa xác định dương (tứcxTQ1x≥0,∀x∈Rn) và Q2, . . . , Qm là các ma trận không. Định lý 3.5. (Định lý Frank - Wolfe mở rộng) Xét bài toán (QP2) min f(x) = 1 2x TQx+qTx x∈C2 ={x∈Rn : 1 2x TQ1x+q1Tx+c1 ≤0; qiTx+ci ≤0, i= 2, . . . , m} trong đó Q1 nửa xác định dương.
Nếu θ = inf{f(x) : x ∈ C2} là một số thực hữu hạn thì bài toán (QP2) có nghiệm.
Điều kiện cực trị
Năm 1971, Majthay đã đưa ra điều kiện cần và đủ cho nghiệm địa phương của bài toán (QP1) và năm 1980 Contesse đã hoàn thành chứng minh chi tiết cho định lý này.
Định lý 3.6. (Đinh lý Majthay - Contesse)
Điều kiện cần và đủ cho x là nghiệm địa phương của bài toán (QP1) là tồn tại
λ∈Rm sao cho: i) Hệ Qx+q+ m X i=1 λi(Qix+qi) = 0 qiTx+ci ≤0, i= 1, . . . , m λi ≥0, i= 1, . . . , m λi(qiTx+ci) = 0, i= 1, . . . , m thỏa mãn.
ii) Nếu v ∈Rn\0 thỏa mãn qiTv = 0,∀i∈I1 vàqiTv ≤0,∀i∈I2, với
I1 ={i:qiTx−bi = 0;λi >0};
I2 ={i:qiTx−bi = 0;λi = 0} thì xTQv ≥0.
Mới đây, trong [1] và [6] các tác giả đã mở rộng các kết quả của Định lý Majthay - Contess cho bài toán (QP) và chứng minh chi tiết cho định lý này.
Định lý 3.7. ([1],[6]).
Xét bài toán (QP) với I(x) ={i: gi(x) = 0} và x∈C. Giả sử với mọi i∈ I(x), gi là hàm tựa lồi trên một tập lồi D⊃C. Nếu hai điều kiện dưới đây thỏa mãn: i)(Qx+q)Tv ≥0,∀v ∈T1(x) ={u∈Rn:< Qix+qi >T u≤0,∀i∈I(x)};
ii)vTQv ≥0,∀v ∈T1(x)∩< Qx+q >⊥
KẾT LUẬN
Trong khóa luận, em trình bày các vấn đề liên quan đến tập lồi, một số tập lồi đặc biệt và ứng dụng tính lồi vào bài toán cực trị.
Sau quá trình nghiên cứu, em đã tìm hiểu thêm được nhiều kiến thức mới, đúc rút cho mình được một số kiến thức cơ bản về vấn đề đã nghiên cứu. Em cũng hy vọng những điều em trình bày trong khóa luận này có thể giúp cho việc nghiên cứu các vấn đề khác có liên quan của hình học được thuận lợi hơn.
Vì thời gian và kiến thức có hạn nên trong khóa luận còn nhiều thiếu sót khó tránh khỏi. Mong quý thầy cô và các bạn góp ý để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Tài liệu tham khảo
[1] J.M. Borwein,Necessary and sufficienet conditions for quadratic minimality, Nummerical Functionnal Analysis and Optimization , 5(1982), pp 127 - 140. [2] F.H.Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley - Interscience,
NewYork, 1983.
[3] A.D.Ioffe, V.M.Tikhomirov, Lý thuyết các bài toán cực trị, Nauka, Moskva, 1974 (tiếng Nga).
[4] G.M.Lee, N.N.Tam, N.D.Yen,Quadratic Programming and affine variational inequality, Springer - Verlag, New York, 2005.
[5] Đỗ Văn Lưu,Lý thuyết các điều kiện tối ưu, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội 1999.
[6] T.V.Nghi, On optimallity condition of the local minimizer in quadratic pro- gram, manuscipt.
[7] R.T.Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970.