2 MỘT SỐ TẬP LỒI ĐẶC BIỆT
2.8 Phần trong tương đối
Định nghĩa 2.19. Phần trong tương đối (relative interior) của tập A ⊂ Rn là phần trong của A trong af f A, ký hiệu là riA.
Các điểm thuộc riAđược gọi là điểm trong tương đối của tậpA.
Nhận xét 2.9.
intA={x∈Rn :∃ >0, x+B ⊂A};
riA={x∈af f A:∃ >0,(x+B)∩af f A⊂A},
trong đó B là hình cầu đơn vị đóng trong Rn.
Định nghĩa 2.20. TậpA\riA được gọi là biên tương đối của A.
TậpA được gọi là mở tương đối (relatively open), nếu riA=A.
Định lý 2.13. Giả sử A là tập lồi trong Rn;x∈riA, y ∈A. Khi đó,
(1−λ)x+λy∈riA (0≤λ <1).
Chứng minh.
Giả sử A là tập lồim-chiều trong Rn. Theo Hệ quả 2.2, tồn tại ánh xạ affine
L={x= (x1, . . . , xm, xm+1, . . . , xn) :xm+1 =· · ·=xn= 0}.
Không gian conLcó thể đồng nhất vớiRm. Vì vậy, để chứng minh định lý ta chỉ cần chứng minh cho trường hợpA là n-chiều. Khi đó, riA=intA.
Lấyλ∈[0,1), ta sẽ chỉ ra tồn tại >0sao cho
(1−λ)x+λy+B ⊂A,
trong đó B là hình cầu đơn vị đóng trong Rn.
Thật vậy, bởi vì y ∈ A, cho nên với mọi > 0, y ∈ A+B. Do x ∈ intA, với
>0đủ nhỏ, ta có
(1−λ)x+λy+B ⊂(1−λ)x+λ(A+B) +B
= (1−λ)[x+(1 +λ)(1−λ)−1B] +λA
⊂(1−λ)A+λA=A.
Hệ quả 2.5. Giả sử A là tập lồi trongRn. Khi đó, riAlồi. Định lý 2.14. Giả sử A là tập lồi trong Rn. Khi đó,
af f(A) =af f A.
Chứng minh.
Hiển nhiên af f(A)⊃af f A.
Mặt khác, A⊂af f A=af f A.
Vì vậy, af f(A) = af f A.
Định lý 2.15. Giả sử A là tập lồi, khác rỗng trong Rn. Khi đó, riA6=∅ và
af f(riA) =af f A.
Hệ quả 2.6. Giả sử A là tập lồi trongRn. Khi đó,
af f(riA) = af f(A).
Hệ quả 2.7. Giả sử A là tập lồi trongRn. Khi đó,
dimA=dim(riA) =dimA.
Định lý 2.16. Giả sử A là tập lồi trong Rn. Khi đó,
riA=A; riA=riA. (2.6)
Chứng minh.
Giả sử dimA = m ≤ n. Không mất tính chất tổng quát ta có thể xem như
O ∈ A. Khi đó, af f A là không gian con và ta có thể đồng nhất af f A với Rm. Áp dụng Mệnh đề 1.5 cho không gianRm ta nhận được (2.6).
Hệ quả 2.8. Giả sử A1, A2 là các tập lồi trong Rn. Khi đó,
A1 =A2 ⇔riA1 =riA2.