3 Tính chất tôpô của tập nghiệm của bài toán quan hệ biến phân
3.5.1Bài toán bao hàm thức biến phân
Ta phát biểu lại bài toán (VIP) đã được trình bày trong Chương 2, Mục (2.1). Cho A, B, Y và Z là các tập khác rỗng. Giả sử các ánh xạ đa trị S1:A⇒ A, S2 : A ⇒ B, T : A×B ⇒ Y, F :A×B ×Y ⇒Z và G: A×A×Y ⇒ Z. Xét bài toán (VIP)
Tìm x¯∈A sao cho
(1) ¯x∈S1(¯x);
(2) F(¯x, b, y)⊆G(¯x,x, y¯ ) với mọi b∈S2(¯x) và y∈T(¯x, b).
Giả sử các dữ liệu của (VIP) phụ thuộc vào tham số λ ∈ Λ và A, B, Y và Λ
là các không gian tôpô như trong Mục 3.4. Hệ quả sau là kết quả trực tiếp từ Định lí (3.4.2).
Hệ quả 3.5.1. Giả sử Aλ = A, Bλ = B và Yλ = Y là các ánh xạ không phụ thuộc vào λ và các điều kiện sau là đúng:
(1) Kλ là outer-liên tục tại λ0;
(2) S2λ(x) là inner-liên tục tại (λ0, x0) với x0 ∈K;
(3) Tλ(x, b) là inner-liên tục tại (λ0, x0, b0) với x0 ∈K và b0 ∈S2(x0);
(4) F(x, b, y) ⊆ G(x, x, y) nếu tồn tại một lưới λν hội tụ tới λ0, xν ∈ A, bν ∈
Sλν
2 (xν) và yν ∈Tλν(xν, bν) tương ứng hội tụ tới x, b và y sao cho
Fλν(xν, bν, yν)⊆Gλν(xν, xν, yν).
Khi đó, tập nghiệm Σλ của bài toán (V IP) là outer-liên tục tại λ0.
Chứng minh. Áp dụng trực tiếp Định lí (3.4.2).
Tiếp tục với các không gianA, B và Y không bị nhiễu. Hệ quả sau dựa trực tiếp từ Định lí (3.4.4).
Hệ quả 3.5.2. Giả sử các điều kiện sau là đúng:
(1) Kλ là inner-liên tục tại λ0;
(3) Tλ(x, b) là nửa liên tục trên và có giá trị compact tại (λ0, x0, b0) với x0 ∈ K
và b0 ∈S2(x0);
(4) F(x, b, y)*G(x, x, y) nếu tồn tại một lưới λν hội tụ tới λ0, xν ∈A, bν ∈Sλν
2 (xν) và yν ∈Tλν(xν, bν) tương ứng hội tụ tới x, b và y sao cho
Fλν(xν, bν, yν)*Gλν(xν, xν, yν).
Khi đó, tập nghiệm Σλ của bài toán (VIP) là inner-liên tục tại λ0.
Chứng minh. Áp dụng trực tiếp Định lí (3.4.4).
Cùng với bài toán (VIP) ta xét bài toán bổ trợ (VIP∗) như sau: Tìm x¯∈A sao cho
(1) x¯∈S1(¯x);
(2) F(¯x, b, y)⊆intG(¯x,x, y¯ ) với mọi b∈S2(¯x) và y ∈T(¯x, b).
Trong hệ quả tiếp theo, tính ổn định của bài toán bổ trợ này kéo theo tính ổn định của bài toán (VIP).
Hệ quả 3.5.3. Giả sử bài toán (VIP∗) có tập nghiệm Σλ∗ và các điều kiện sau đúng: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(1) Kλ là inner-liên tục tại λ0;
(2) S2λ(x) là usc và có giá trị compact tại (λ0, x0) với x0∈K;
(3) Tλ(x, b) là usc và có giá trị compact tại (λ0, x0, b0) với x0 ∈K và b0∈S2(x0); (4) Σλ ⊆clΣλ∗ với mọi λ;
(5) Với mọi x ∈ K, F(x, b, y) * G(x, x, y), nếu tồn tại một lưới λν hội tụ tới
λ0, bν ∈ Sλν
2 (xν) và yν ∈ Tλν(xν, bν) tương ứng hội tụ tới x, b và y sao cho
Fλν(xν, bν, yν)*Gλν(xν, xν, yν).
Khi đó, Σλ∗ và Σ là inner-liên tục tại λ0.
Chứng minh. Theo Nhận xét (3.4.1), từ điều kiện (2), (3) và (5), với mỗi x∈K tập Ux của bài toán (VIP∗) là đóng tạiλ0. Từ khẳng định (4) của Hệ quả (3.4.1) ánh xạ nghiệmΣλ∗ là inner-liên tục. Lại do điều kiện (4) ánh xạ nghiệm Σλ cũng là inner-liên tục.
Nhận xét 3.5.1. Giả thiết (4) của Hệ quả (3.5.3) có thể được bảo đảm khi Kλ là lồi và các điều kiện sau là đúng:
(a) Với mọi x1 ∈Σλ∗, x2∈Σλ và b∈S2λ((1−t)x1+tx2) với t∈(0,1], Fλ(x1, b, y)⊆intG(x1, x1, y) với mọi y∈Tλ(x1, b),
Fλ(x2, b, y0)⊆G(x2, x2, y0) với mọi y0 ∈Tλ(x2, b);
(b) Với mọib ∈B,ánh xạ Fλ(., b, .)là Gλ−tựa lồi theo Tλ(., b),nghĩa là với mọi x1, x2 ∈Kλ, y1∈Tλ(x1, b) và y2 ∈Tλ(x2, b), các bao hàm thức
Fλ(x1, b, y1)⊆intGλ(x1, x1, y1), Fλ(x2, b, y2)⊆Gλ(x2, x2, y2),
kéo theo Fλ(xt, b, yt) ⊆ intGλ(xt, xt, yt), với mọi xt = (1−t)x+tx0 và yt ∈
Tλ(xt, b) với t∈[0,1).
Thật vậy, nếux1∈Σλ∗ vàx2∈Σλ thì khoảng[x1, x2)⊆Σλ∗ và vì vậyΣλ ⊆intΣλ∗. Nguyên nhân đưa vào bài toán (VIP∗) dưới một số giả thiết liên tục, tính inner-mở của ánh xạΣλ∗ là dễ nhận được hơn tính inner-mở của ánh xạ Σλ.Điều này có thể thấy rõ ràng trong trường hợp khi G là ánh xạ hằng bằng một nón lồi đóng C với phần trong khác rỗng và Fλ(x, b, y)∈intC là một ánh xạ đơn trị liên tục.
Khi đó, từ bao hàm Fλ0(x0, b0, y0)∈intC có thể tìm được một lân cận U của λ0 và V của (x0, b0, y0) sao cho Fλ(x, b, y)∈ intC với mọi λ ∈ U và (x, b, y)∈V. Tuy nhiên điều này sẽ không còn đúng trong trường hợp tổng quát cho bao hàm thức Fλ0(x0, b0, y0)∈C.