3 Tính chất tôpô của tập nghiệm của bài toán quan hệ biến phân
3.2 Tính bị chặn của tập nghiệm
Định nghĩa 3.2.1. Giả sử A là tập con của không gian định chuẩn. Quan hệ R được gọi là bức theo biến thứ nhất nếu với mọi dãy {xk} ⊂K mà xk→ ∞, tồn tại k0 ∈ N sao cho với mọi k ≥ k0 thì quan hệ R(xk, bk, yk) không đúng với bk ∈S2(xk) và yk ∈T(xk, bk) nào đó.
Nhận xét 3.2.1. Ta có các nhận xét sau:
1. Nếu S1(a) bị chặn, thì K bị chặn và vì vậy R là bức. 2. Quan hệ R được xác định bởi
R={(x, b, y)∈A×B×Y :f(x, b, y)≤0} ⊆A×B×Y,
trong đóf là một hàm thực trên không gian tíchA×B×Y.Khi đóR là bức theo biến thứ nhất nếu f bức theo biến x, nghĩa là lim
kxk→∞f(x, b, y) = +∞ với mọib và y. Thật vậy, khi kxk → ∞ thì do f bức theo biến x, nên lim
kxk→∞f(x, b, y) = +∞, tức là với mọi M ≥ 0 sao cho kxk ≥M, tồn tại N > 0 thì f(x, b, y)> N. Vì vậy, f(x, b, y)≤0 không thỏa mãn, tức là R không đúng.
Mệnh đề 3.2.1. Giả sử A là một tập con không bị chặn của một không gian định chuẩn. Tập nghiệm Σ bị chặn nếu R là bức theo biến thứ nhất.
Chứng minh. Sử dụng các giả thiết và công thức (3.1) ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 3.2.1. Bài toán bất đẳng thức biến phân Stampacchia: Tìm ¯a∈A sao cho hf(¯a), x−¯ai ≥0 với mọi x∈A,
trong đóA là tập con lồi của không gian Hilbert thực H và f là một toán tử từ H vào chính nó. Rõ ràng, bài toán này là một dạng của bài toán (VR) khi ta đặt B =A, Y =H, S1(x) =A =S2(x), T(x, b) =b với mọi x, b ∈A và quan hệ R được xác định như sau:
Khi đó R là bức theo biến thứ nhất. Vì vậy, tập nghiệm Σ bị chặn. Mặt khác, xét bài toán Minty (xem Ví dụ (3.1.1)), nếu mọi véctơ f(y), y ∈A là dương chặt trên một nón lùi xa của A không chứa gốc thì R bức và vì vậy tập nghiệm Σ
cũng bị chặn.