7. Cấu trúc đề tài nghiên cứu khoa học
2.1.2.Một số bài toán về cấu tạo phân số
Ví dụ 1: Cho phân số 11
14. Tìm một phân số bằng phân số đã cho, biết rằng mẫu số của phân số đó hơn tử số 1995 đơn vị
* Phân tích.
- Từ phân số 11
14 ta vẽ sơ đồ biểu diễn phân số này để thấy đƣợc tỉ số giữa tử số và mẫu số của nó có nghĩa là nếu ta chia mẫu số thành 14 phần bằng nhau thì tử số sẽ là 11 phần nhƣ thế, và hiệu số phần bằng nhau là 14 -11= 3 (phần)
- Phân số bằng phân số đã cho có mẫu số lớn hơn tử số 1995 đơn vị. Khi đó bài toán đã có dạng tìm hai số biết hiệu và tỷ số, giải đƣợc bằng phƣơng pháp chia tỷ lệ.
- Giải bài toán đó ta tìm đƣợc tử số hoặc mẫu số của phân số mới:
+ Nếu ta tìm tử số trƣớc thì khi tìm mẫu số ta chỉ việc lấy tử số mới vừa tìm đƣợc cộng thêm 1995 đơn vị.
+ Nếu ta tìm mẫu số trƣớc thì ta chỉ việc lấy mẫu số vừa tìm đƣợc trừ đi 1995 đơn vị là ra tử số mới của phân số cần tìm.
Từ sự phân tích ta có thể trình bày lời giải của bài toán nhƣ sau: * Lời giải.
-Theo đầu bài ta có sơ đồ sau: Tử số: Mẫu số:
1995
14 phần 11 phần
Tử số của phân số cần tìm là
1995 : ( 14 – 11 ) x 11 = 7315 Mẫu số của phân số cần tìm là
7315 + 1995 = 9310 Kết luận: Vậy phân số cần tìm là 7315
9310
Ví dụ 2: Cho phân số 3
7 . Cộng thêm cả tử và mẫu của phân số đó với một số tự nhiên ta đƣợc một phân số mới bằng phân số 7
9 . Tìm số tự nhiên đó? * Phân tích.
- Khi ta cộng vào cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tử và mẫu số của phân số đó không thay đổi (theo lưu ý 7).
- Ở bài toán này chƣa cho trực tiếp hiệu của tử số và mẫu số, từ phân số 3
7
đã cho ta luôn tìm đƣợc hiệu của tử số và mẫu số bằng 7 – 3 = 4. - Phân số mới nhận đƣợc bằng 7
9 có nghĩa là nếu ta chia mẫu số thành 9 phần bằng nhau thì tử số sẽ là 7 phần nhƣ thế và hiệu giữa mẫu số và tử số là 4.
Ta đã đƣa bài toán về dạng tìm hai số biết hiệu và tỷ số, giải đƣợc bằng phƣơng pháp chia tỷ lệ.
- Giải bài toán đó ta tìm đƣợc tử số hoặc mẫu số của phân số mới, rồi so sánh với tử số hoặc mẫu số của phân số đã cho để tìm số tự nhiên đã cộng vào.
Từ sự phân tích ta có thể trình bày lời giải của bài toán nhƣ sau: * Lời giải.
Hiệu giữa mẫu và tử số của phân số ban đầu là 7 – 3 = 4
Khi ta cộng vào cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tử và mẫu số của phân số đó không thay đổi.
Ta có sơ đồ biểu diễn tử số và mẫu số của phân số mới: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hiệu số phần bằng nhau là 9 – 7 = 2 (phần) Tử số của phân số mới là
4 : 2 7 = 14
Vậy số tự nhiên cần tìm là 14 – 3 = 11
Đáp số: 11 * Lƣu ý.
- Sau khi vẽ sơ đồ, ta có thể ghép hai bƣớc tính để có thể tìm tử số của phân số mới.
Tử số của phân số mới là 4: (9 –7) 7 = 14
- Hoặc ta có thể tìm mẫu số của phân số mới rồi tìm số tự nhiên bằng cách so sánh mẫu số của hai phân số đó:
Mẫu số của phân số mới là 4: (9 –7) 9 = 18
Số tự nhiên cần tìm là 18 – 7 = 11
Đáp số : 11
Ví dụ 3: Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu của phân số 11
29 với cùng một số tự nhiên ta đƣợc một phân số mới bằng 1999
2002. Tìm số tự nhiên đó? * Phân tích.
- Khi ta cộng vào cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tử và mẫu số của phân số đó không thay đổi (theo lưu ý 7)
Tử số : ::Sosố Sô: Mẫu số: 4 1 9 4
- Từ phân số 11
29 đã cho ta luôn tìm đƣợc hiệu đó bằng 29 −11 = 18.
- Phân số mới nhận đƣợc bằng 1999
2002 có nghĩa là nếu ta chia mẫu số thành 2002 phần bằng nhau thì tử số sẽ là 1999 phần nhƣ thế, và hiệu giữa mẫu số và tử số là 18.
Ta có bài toán dạng tìm hai số biết hiệu và tỉ số, giải đƣợc bằng phƣơng pháp chia tỷ lệ.
- Giải bài toán đó ta tìm đƣợc tử số hoặc mẫu số của phân số mới, rồi so sánh với tử số hoặc mẫu số của phân số đã cho để tìm số tự nhiên đã cộng vào.
Từ sự phân tích ta có thể trình bày lời giải của bài toán nhƣ sau: * Lời giải.
Hiệu của mẫu số và tử số của phân số đã cho là: 29 – 11 = 18
Khi ta cộng vào cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tử và mẫu số của phân số đó không thay đổi
Ta có sơ đồ biểu diễn tử số và mẫu số của phân số mới:
Tử số của phân số mới là:
18 : (2002 – 1999)1999 = 11994 (đơn vị) Số tự nhiên cần tìm là:
11994 – 11 = 11983
Đáp số: 11983 * Lƣu ý.
- Sau khi vẽ sơ đồ ta có thể tìm : Tử số của phân số mới là 18 : (2002 – 1999)1999 = 11994 Tử số: Mẫu số: 1999 phần 18 2002 phần (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Hoặc ta có thể tìm số tự nhiên bằng cách so sánh mẫu số của hai phân số đó: Mẫu số của phân số mới là
18 : (2002 – 1999)2002 = 12012 Số tự nhiên cần tìm là
12012 – 29 =11983
Đáp số : 11983
Ví dụ 4: Khi bớt đi ở cả tử số và mẫu của phân số 271
151với cùng một số tự nhiên ta nhận đƣợc một phân số bằng 7
3. Tìm số tự nhiên đó? * Phân tích.
- Nếu ta trừ cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi (theo lưu ý 8)
- Hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số đã cho là 271 – 151 = 120. - Phân số mới nhận đƣợc bằng 7
3 có nghĩa là nếu ta chia tử số thành 7 phần bằng nhau thì mẫu số sẽ là 3 phần nhƣ thế và hiệu giữa tử số và mẫu số là 120.
Ta có bài toán dạng tìm hai số biết hiệu và tỷ số, giải đƣợc bằng phƣơng pháp chia tỷ lệ.
- Giải bài toán đó ta tìm đƣợc tử số hoặc mẫu số của phân số mới, rồi so sánh với tử số hoặc mẫu số của phân số đã cho để tìm số tự nhiên đã trừ đi.
Từ sự phân tích ta có thể trình bày lời giải của bài toán nhƣ sau: * Lời giải.
Hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số 271
151là: 271 – 151 = 120 (đơn vị)
Nếu ta trừ cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi.
Ta có sơ đồ biểu diễn tử số và mẫu số của phân số mới Tử số:
Mẫu số:
Mẫu số của phân số mới là: 120 : (7 – 3) 3 = 90 (đơn vị) Số tự nhiên cần tìm là: 151– 90 = 61 Đáp số : 61 * Lƣu ý.
- Sau khi vẽ sơ đồ ta có thể tìm : Tử số của phân số mới là 120 : (7 – 3) 7 = 210
- Hoặc ta có thể tìm mẫu số của phân số mới sau đó tìm số tự nhiên bằng cách so sánh mẫu số của hai phân số đó:
Số tự nhiên cần tìm là 271 – 210 = 61
Đáp số : 61
Ví dụ 5: Khi cộng thêm vào tử số và bớt đi ở mẫu số của phân số 43
67 với cùng một số tự nhiên, ta nhận đƣợc một phân số bằng 6
5 . Tìm số tự nhiên đó. * Phân tích.
- Nếu ta cộng thêm vào tử số đồng thời bớt đi ở mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi (theo lưu ý 9)
- Từ phân số 43
67 đã cho ta luôn tìm đƣợc tổng giữa tử số và mẫu số bằng 43 + 67 = 110
- Phân số mới nhận đƣợc bằng 6 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
5 nếu ta chia mẫu số thành 5 phần bằng nhau thì tử số sẽ là 6 phần nhƣ thế, và tổng giữa tử số và mẫu số là 110.
Ta có bài toán dạng tìm hai số biết tổng và tỷ số, giải đƣợc bằng phƣơng pháp chia tỷ lệ.
- Giải bài toán đó ta tìm đƣợc tử số hoặc mẫu số của phân số mới, rồi so sánh với tử số hoặc mẫu số của phân số đã cho để tìm số tự nhiên cần tìm.
* Lời giải.
Tổng của tử và mẫu của phân số đã cho là: 43 + 67 = 110 (đơn vị)
Nếu ta cộng thêm vào tử đồng thời bớt đi ở mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi
(theo lưu ý 9) Ta có sơ đồ biểu diễn tử số và mẫu số của phân số mới:
Tử số : Mẫu số :
Tử số của phân số mới là:
110 : (6 +5) × 6 = 60 (đơn vị) Số tự nhiên cần tìm là:
60 – 43 = 17
Đáp số: 17
Ví dụ 6: Khi bớt đi ở tử đồng thời cộng thêm vào mẫu của phân số 151
49 với cùng một số tự nhiên ta đƣợc một phân số bằng 13
7 Tìm số tự nhiên đó. * Phân tích.
- Nếu ta bớt đi ở tử số đồng thời thêm vào mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi (theo lƣu ý 10)
- Từ phân số 151
49 đã cho ta luôn tìm đƣợc tổng giữa tử số và mẫu số bằng 151 + 49 = 200
- Phân số mới nhận đƣợc bằng 13
7 nếu ta chia mẫu số thành 7 phần bằng nhau thì tử số sẽ là 13 phần nhƣ thế, và tổng của tử số và mẫu số là 200.
Ta có bài toán dạng tìm hai số biết tổng và tỷ số.
- Giải bài toán đó ta tìm đƣợc tử số hoặc mẫu số của phân số mới, rồi so sánh với tử số hoặc mẫu số của phân số đã cho để tìm số tự nhiên cần tìm.
Từ sự phân tích ta có thể trình bày lời giải của bài toán nhƣ sau: * Lời giải.
Tổng của tử số và mẫu số của phân số đã cho là: 151 + 49 = 200
- Nếu ta bớt đi ở tử số đồng thời thêm vào mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi (theo lƣu ý 10)
- Ta có sơ đồ biểu diễn tử số và mẫu số của phân số mới:
Mẫu số của phân số mới là: 200 : ( 13+ 7) × 7 = 70
Số tự nhiên cần tìm là: 70 – 49 = 21
Đáp số: 21
Ví dụ 7: Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn hơn 1 bằng 180. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Khi chia cả tử và mẫu của phân số đó cho 3, ta đƣợc một phân số tối giản. Tìm phân số đó.
* Phân tích.
- Từ dữ kiện “tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn hơn 1 và bằng 180” thì để giải bài toán ta dùng phƣơng pháp thử chọn.
- Đầu tiên ta đi tìm các cặp số mà có tích bằng 180, sau đó ta tìm các phân số có điều kiện “ phân số đó lớn hơn 1” để chọn ra các cặp số phù hợp.
- Khi đó ta có thể đi lập bảng biểu diễn các phân số mà ta vừa chọn đƣợc kết hợp với điều kiện cuối cùng “khi chia cả tử số và mẫu số của phân số đó cho 3, ta đƣợc một phân số tối giản”. Từ bảng đó ta dễ dàng nhìn ra các phân số thỏa mãn đề bài. 200 Tử số: Mẫu số: 13 phần 7 phần
Từ sự phân tích ta có thể trình bày lời giải của bài toán nhƣ sau: * Lời giải Giải - Số 180 có thể phân tích thành các cặp số sau: (1và 180), (2 và 90), (3 và 60),( 4 và 45), (5 và 16),( 6 và 30), (9 và 20), (10 và 18),( 12 và 15.)
- Các phân số lớn hơn 1 có tích của tử số và mẫu số bằng 180 là: 180 ; 90 ; 60 ; 45 ; 36 ; 30 ; 20 ;18 ;15 1 2 3 4 5 6 9 10 12 Ta có bảng sau : a b a :3 b:3 Kết luận 180 1 180 : 3 1: 3 Loại 90 2 90 : 3 2 : 3 Loại 60 3 60 : 3 3 : 3 Chọn 45 4 45 : 3 4 : 3 Loại 36 5 36 : 3 5 : 3 Loại 30 6 30 : 3 6 : 3 Loại 20 9 20 : 3 9 : 3 Loại 18 10 18 : 3 10 : 3 Loại 15 12 15 : 3 12 : 3 Chọn
Các phân số phù hợp với điều kiện đầu bài là 60
3 ; 15
Nhận xét : Đối với những dạng toán về cấu tạo phân số này chúng ta thường áp dụng phương pháp chia tỷ lệ để giải. Với những bài toán khi cộng thêm hay bớt đi ở cả tử số và mẫu số với cùng một số tự nhiên thì các em cần chú ý khi vẽ sơ đồ, những bài khi số phần bằng nhau là những số lớn, ta không thể biểu diễn mỗi phần bằng nhau tương ứng với một đoạn thẳng mà phải ghi số phần bằng nhau ứng với mỗi đoạn thẳng trên sơ đồ.