2 Đa tạp quán tính xấp xỉ đối với hệ phương trình Navier-Stokes
2.3.3 Ví dụ minh họa
Để hiểu rõ sự cải thiện đáng kể đã đạt được khi sử dụng đa tạp quán tính xấp xỉ Φ0 thay cho Hm ta xét ví dụ sau.
Giả sử us = ∞ X k=1 ukwk,
trong đó uk =σk−32(1 + logk)−1 (σ > 0 cho trước).
Ta biết rằng [7] các giá trị riêng của toán tử Stokes thỏa mãn đánh giá sau: c0λ1m ≤λm ≤c1λ1m, m= 1,2, ..., (2.23) với c0, c1 là các hằng số dương chỉ phụ thuộc vào Ω.
Ta có us ∈D(A) và us sẽ là nghiệm dừng của (1.8) với f định nghĩa bởi f =νAus+B(us, us).
Bằng cách chọn σ đủ lớn, ν > 0 cố định, ta có thể thiết lập được số Grashoff G= |f|
ν2λ1
đủ lớn để hệ động lực của (1.8) với f ở trên là không tầm thường. Do (2.23) nên dễ thấy kQnusk ≥cσλ− 1 2 n 1 + logλn λ1 ∀n= 1,2, ... (2.24) Khi us thuộc tập hút toàn cục thì (2.24) làm ước lượng (2.17) tối ưu, với sai khác các số hạng logarit. So sánh giữa (2.17) và (2.20), ta thấy đã cải tiến được đáng kể khi sử dụng Φ0.
Trong luận văn này chúng tôi đã trình bày những nội dung sau:
1. Các kết quả cơ bản về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Navier-Stokes hai chiều trong miền bị chặn.
2. Cách xây dựng các đa tạp quán tính xấp xỉ Hm, M0 và ước lượng khoảng cách từ quỹ đạo bất kì của hệ đến các đa tạp này.
Do khuôn khổ của luận văn và thời gian hạn chế, chúng tôi chưa trình bày được các phương pháp xấp xỉ nghiệm kiểu Galerkin cải biên dựa trên các đa tạp quán tính xấp xỉ. Bạn đọc quan tâm vấn đề này, xin xem các tài liệu [4, 6].
Tài liệu tham khảo
[1] P. Constantin, C. Foias, B. Nicolaenko and R. Temam (1988), Integral Man- ifolds and Inertial Manifolds for Dissipative Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York.
[2] C. Foias, O. Manley and R. Temam (1988), Modelling of the interation of small and large eddies in two dimentional turbulent flows, RAIRO Modél. Math. Anal. Numér. 22, 93-118.
[3] C. Foias, G. R. Sell and R. Temam (1988), Inertial manifolds for nonlinear evolutionary equations, J. Differential Equations, 309-353.
[4] B. García-Archilla, J. Novo and E. Titi (1999), An approximate inertial manifolds approach to postprocessing the Galerkin method for the Navier- Stokes equations, Math. Comp. 68, 893-911.
[5] A.A Ilyin (1993), Lieb-Thirring inequalitices on the N-sphere and in the plane, and some applications, Proc. Lond. Math. Soc. 67, 159-182.
[6] L.G. Margolin, E. Titi and S. Wynne (2003), The postprocessing Galerkin and nonlinear Galerkin methods – a truncation analysis point of view,SIAM J. Numer. Anal. 41, 695-714.
[7] G. Metivier (1978), Valeurs propres d’opérateurs definis par la restriction de systèmes variationels a des sous-espaces, J. Math. Pures Appl. 57, 133-156. [8] R. Temam (1979), Navier-Stokes Equations. Theory and Numerical Analy-
sis, 2ndedition, Amsterdam: North-Holland.
[9] R. Temam (1995),Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Anal- ysis, 2nd edition, SIAM Philadelphia.
[10] R. Temam (1997), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd edition, Springer-Verlag.
[11] E. Titi (1990), On approximate inertial manifolds to the Navier-Stokes equa- tions, J. Math. Anal. Appl. 149, 540-557.