2 Đa tạp quán tính xấp xỉ đối với hệ phương trình Navier-Stokes
2.3 Đa tạp quán tính xấp xỉ M0
Trong phương pháp xấp xỉ Galerkin thông thường với các vectơ riêng của toán tử Stokes A, không gian tuyến tính Hm sinh bởi m vectơ riêng đầu tiên là một đa tạp quán tính xấp xỉ. Cụ thể, cho hàmΦ trong (2.3) bằng 0ta được xấp xỉ Galerkin thông thường;
dum
dt +νAum+P B(um, um) =P f, um ∈Hm.
Các nhà toán học Foias - Manley - Temam đã giới thiệu đa tạp giải tích hữu hạn chiều M0 =graph(Φ0), với
Φ0(p) = (νA)−1[Qf−QB(p, p)], p∈Hm,
là đa tạp xấp xỉ tập hút toàn cục tốt hơn so với Hm. Cụ thể ta sẽ chứng minh định lí sau đây.
Định lí 2.3.1. Giả sử m đủ lớn sao cho λm+1≥2c2M
ν
2
. Khi đó, mọi nghiệm
u(t) =p(t) +q(t) của (2.4) - (2.5) thỏa mãn: |q(t)| ≤K0λm−1+1L12, (2.16) kq(t)k ≤K1λ− 1 2 m+1L12, (2.17) |Aq(t)| ≤K2L12, (2.18) dq dt(t) ≤K00λ−m1+1L12, (2.19) kq(t)−Φ0(p(t))k ≤K3λ−m1+1L ∀t ≥T∗, (2.20)
trong đó T∗>0 phụ thuộc vào ν, λ1,|f| và R0 khi |u(0)| ≤R0, L= 1 + log λm λ1
, K0, K00, K1, K2 là các hằng số dương phụ thuộc vào ν, λ1,|f|.
Chứng minh. Khi q đủ nhỏ thì B(p, q) và B(q, p) là nhỏ khi so sánh với B(p, p), và B(q, q)là nhỏ so với B(p, q)và B(q, p). Do đó, ta có thể xấp xỉ (2.5) bằng cách thay thế QB(p+q) bởi QB(p). Thời gian giảm dư trong (2.5) cho phần tuyến tính của phương trình có bậc (νA)−1 = (νλ1m)−1 và do đó nhỏ hơn nhiều so với thời gian giảm dư trong (2.4) cho phần tuyến tính của phương trình này,
(νλ1)−1. Vì vậy, sự tiến hóa trong (2.5) là gần như không đổi và điều này dẫn đến thay thế (2.5) bằng phương trình xấp xỉ
νAq+QB(p) = Qf. (2.21)
Với p cho trước, việc giải (2.6) là dễ dàng; kí hiệu q=qm là nghiệm của nó qm = Φ0(p) = (νA)−1[Qf −QB(p)]. (2.22) Đồ thị của hàm Φ0 :P H →QH xác định trong H một đa tạp trơn (giải tích) m chiều M0. Bây giờ ta chỉ ra rằng tất cả các nghiệm của (1.8) (hay (2.4), (2.5)) bị hút vào một lân cân nhỏ của M0.
Bây giờ ta thiết lập một số đánh giá tiên nghiệm với qm tương tự như với q: ta nhớ lại rằng u = p+q là một nghiệm của (1.8) (hoặc (2.4), (2.5)) trong khi qm được định nghĩa theo p bởi (2.22).
Từ (2.22), (1.6) suy ra |νAqm| ≤ |Qf|+|QB(p)| ≤ |Qf|+c3kpk2 1 + log |Ap|2 λ1kpk2 12 ≤ |Qf|+c3M12L12, |Aqm| ≤ 1 ν|Qf|+ c3 ν M 2 1L12. Do đó |qm| ≤κ0mδL12, kqmk ≤κ1mδ12L12, ở đó κ0m = κ1m = 1 νλ1
(Qf +c3M12). Những chặn trên này có cùng bậc với các chặn trên (2.14) của q.
2.3.2 Các đánh giá về khoảng cách của quỹ đạo tới M0
Trong mục này ta sẽ chứng minh quỹ đạo của (1.8) hội tụ đến lân cận của đa tạp quán tính xấp xỉ M0 khi t→ ∞.
Định lí 2.3.2. Với t đủ lớn, t ≥t∗, khoảng cách trong H từ bất kì quỹ đạo nào của (1.8) tới P H có cỡ κL12δ, và tới M0 có cỡ κLδ32. Trong chuẩn của V, các khoảng cách tương ứng có cỡ κL12δ12 và κLδ; các hằng số κ phụ thuộc vào ν, λ1,|f| và t∗ phụ thuộc vào ν, λ1,|f|, R0, với |u(0)| ≤R0.
Chứng minh. Trong khi quỹ đạo u(t) =p(t) +q(t) nằm trong H , thì quĩ đạo liên kết um(t) =p(t) +qm(t) nằm trong M0. Bởi vậy, tại mỗi thời điểm t,
Việc đánh giá khoảng cách u(t) trong H hoặc V đến M0 được qui về việc đánh giá chuẩn trong H hoặc trong V của χm = qm −q.Trừ (2.21) cho (2.5) (ở đó q=qm), ta có
νAχm =QB(p, q) +QB(q, p) +QB(q) +q0. Do đó, như đã làm đối với qm, ta viết
|Aχm| ≤ 1 ν{|B(p, q)|+|B(q, p)|+|B(q)|+|q0|}. Sử dụng (1.7), (1.6), và d dt|u|2+νλ1|u|2 ≤ 1 νλ1|f|2, với t lớn: |Aχm| ≤ c3 ν kpkL12kqk+c2 ν|q|12kqk21kpk12|Ap|, +c2 ν|q|12kqk|Aq|12 +κ00L12δ, ≤ c3κ1 ν M1Lδ 1 2 +c2 ν(κ0κ2) 1 2κ1Lδ+κ00L12δ, ≤κLδ12 +κL12δ12 +κLδ+κL12δ≤κLδ12. Do χm ∈QH ta có kχmk ≤κLδ32, và |χ0m| ≤κLδ32.
Tất cả các chặn trên của chuẩn của χm nhỏ hơn so với chặn trên tương ứng của chuẩn của qm và q bởi thừa số (δL)12. Do đó, với t lớn, quỹ đạo u(t) trở nên gần M0 hơn so với mặt phẳng q = 0, bởi thừa số (Lδ)12. Đó là điều phải chứng minh.
2.3.3 Ví dụ minh họa
Để hiểu rõ sự cải thiện đáng kể đã đạt được khi sử dụng đa tạp quán tính xấp xỉ Φ0 thay cho Hm ta xét ví dụ sau.
Giả sử us = ∞ X k=1 ukwk,
trong đó uk =σk−32(1 + logk)−1 (σ > 0 cho trước).
Ta biết rằng [7] các giá trị riêng của toán tử Stokes thỏa mãn đánh giá sau: c0λ1m ≤λm ≤c1λ1m, m= 1,2, ..., (2.23) với c0, c1 là các hằng số dương chỉ phụ thuộc vào Ω.
Ta có us ∈D(A) và us sẽ là nghiệm dừng của (1.8) với f định nghĩa bởi f =νAus+B(us, us).
Bằng cách chọn σ đủ lớn, ν > 0 cố định, ta có thể thiết lập được số Grashoff G= |f|
ν2λ1
đủ lớn để hệ động lực của (1.8) với f ở trên là không tầm thường. Do (2.23) nên dễ thấy kQnusk ≥cσλ− 1 2 n 1 + logλn λ1 ∀n= 1,2, ... (2.24) Khi us thuộc tập hút toàn cục thì (2.24) làm ước lượng (2.17) tối ưu, với sai khác các số hạng logarit. So sánh giữa (2.17) và (2.20), ta thấy đã cải tiến được đáng kể khi sử dụng Φ0.
Trong luận văn này chúng tôi đã trình bày những nội dung sau:
1. Các kết quả cơ bản về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Navier-Stokes hai chiều trong miền bị chặn.
2. Cách xây dựng các đa tạp quán tính xấp xỉ Hm, M0 và ước lượng khoảng cách từ quỹ đạo bất kì của hệ đến các đa tạp này.
Do khuôn khổ của luận văn và thời gian hạn chế, chúng tôi chưa trình bày được các phương pháp xấp xỉ nghiệm kiểu Galerkin cải biên dựa trên các đa tạp quán tính xấp xỉ. Bạn đọc quan tâm vấn đề này, xin xem các tài liệu [4, 6].
Tài liệu tham khảo
[1] P. Constantin, C. Foias, B. Nicolaenko and R. Temam (1988), Integral Man- ifolds and Inertial Manifolds for Dissipative Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York.
[2] C. Foias, O. Manley and R. Temam (1988), Modelling of the interation of small and large eddies in two dimentional turbulent flows, RAIRO Modél. Math. Anal. Numér. 22, 93-118.
[3] C. Foias, G. R. Sell and R. Temam (1988), Inertial manifolds for nonlinear evolutionary equations, J. Differential Equations, 309-353.
[4] B. García-Archilla, J. Novo and E. Titi (1999), An approximate inertial manifolds approach to postprocessing the Galerkin method for the Navier- Stokes equations, Math. Comp. 68, 893-911.
[5] A.A Ilyin (1993), Lieb-Thirring inequalitices on the N-sphere and in the plane, and some applications, Proc. Lond. Math. Soc. 67, 159-182.
[6] L.G. Margolin, E. Titi and S. Wynne (2003), The postprocessing Galerkin and nonlinear Galerkin methods – a truncation analysis point of view,SIAM J. Numer. Anal. 41, 695-714.
[7] G. Metivier (1978), Valeurs propres d’opérateurs definis par la restriction de systèmes variationels a des sous-espaces, J. Math. Pures Appl. 57, 133-156. [8] R. Temam (1979), Navier-Stokes Equations. Theory and Numerical Analy-
sis, 2ndedition, Amsterdam: North-Holland.
[9] R. Temam (1995),Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Anal- ysis, 2nd edition, SIAM Philadelphia.
[10] R. Temam (1997), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd edition, Springer-Verlag.
[11] E. Titi (1990), On approximate inertial manifolds to the Navier-Stokes equa- tions, J. Math. Anal. Appl. 149, 540-557.