Sử dụng các công thức tổ hợp

Trong nhiều bài toán, những công thức và đẳng thức tổ hợp là một công cụ hiệu quả để tìm ra lời giải. Ở mục này, ta sẽ làm rõ điều đó và phân tích tác dụng của số Cn2, thông qua một số bài toán điển hình.

Bài toán 2.5.1. (Liên Xô 1965) Trong một cuộc hội thảo có 40 cuộc họp, mỗi cuộc

họp có 10 thành viên. Cho biết hai thành viên bất kì chỉ cùng dự họp với nhau tối đa một lần. Chứng minh rằng cuộc hội thảo có nhiều hơn 60 thành viên.

46

Lời giải

Giả sử cuộc hội thảo có n thành viên. Do đó có Cn2 cách chọn hai thành viên. Ta có 2

10

C cách chọn hai thành viên từ một cuộc họp. Do hai thành viên chỉ cùng dự họp với nhau tối đa một lần nên Cn2  40C102 , tương đương với n n(  1) 3600 hay n60. Ta có điều cần chứng minh.

Bình luận: Nếu đổi giả thiết thành hai thành viên bất kì cùng đi dự họp với nhau ít

nhất một lần thì cuộc hội thảo có nhiều nhất 60 thành viên. Tổng quát lên với cuộc họp có m thành viên thì: 2 2 ( 1) ( 1) . 2 2 n m n n m m C kC  k    

Như vậy qua ví dụ trên, chúng ta đã thấy được vai trò của số Cn2 trong việc tìm ra lời giải của bài toán. Ta tiếp tục tìm hiểu một bài toán sau:

Bài toán 2.5.2. Một hội nghị sử dụng 4 ngôn ngữ chính thức. Biết hai đại biểu bất

kì luôn có một ngôn ngữ mà cả hai đều biết. Chứng minh rằng có một ngôn ngữ được biết bởi ít nhất 60% đại biểu.

Lời giải

Nếu có một người nào đó chỉ biết một ngôn ngữ thì theo giả thiết ta suy ra được tất cả những người còn lại đều biết ngôn ngữ đó và kết luận của bài toán là hiển nhiên.

Giả sử tất cả đại biểu đều biết ít nhất 2 ngôn ngữ. Gọi số đại biểu là n và tập

, , ,

A B C D lần lượt là tập những người biết các ngôn ngữ I II III IV, , , . Số cặp những người biết ngôn ngữ I II III IV, , , là C C C C2A, B2, C2, 2D. Do một người biết ít nhất 2 ngôn ngữ, cho nên ta có bất đẳng thức sau:

2 2 2 2 2. .n2

A B C D

C C C C  C

Bất đẳng thức này tương đương với

 1  1  1  1 2 ( 1) A A B B  C C  D D   n n 2 2 2 2 1 1 1 1 2 ( 1) 1. 2 2 2 2 A B C D n n                                               

47

Không mất tính tổng quát, ta giả sử A là tập nhiều phần tử nhất trong các tập

, , , A B C D. Khi đó, ta có   2 2 1 1 2 2 1 . 2 4 A n n              

Từ bất đẳng thức này dễ dàng chứng minh được 6 10

A  n, với n 2. Vậy trong mọi trường hợp, ta có điều phải chứng minh.

Bài toán 2.5.3. Giả sử X là một tập n phần tử. Tìm số cặp không thứ tự A B,    với ,

A B là những tập con của X thỏa mãn AB, AB X, (A B, 

  và B A,  là (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

trùng nhau và được đếm là một cặp).

Lời giải

Giả sử A có r phần tử, 0 r n, khi đó có Cnr cách chọn các tập A. Ứng với tập A thì tập B phải chứa n r phần tử còn lại của X và một số phần tử của

A. Khi đó B X A\ C (C là tập con của A). Như vậy số cách chọn B bằng số cách chọn tập con C của tập A gồm r phần tử bằng

0 1 ... r 2r

r r r

C C  C  . Theo quy tắc nhân thì số cách chọn cặp A B, 

  ứng với mỗi r bằng Cnr.2r. Suy ra số cặp phần tử phải tìm (A có thể bằng B) bằng 0 2 (1 2) 3 . n r r n n n r C     

Trong số cách chọn này chỉ có duy nhất một trường hợp ABX. Suy ra số cặp thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3n 1.

Bài toán 2.5.4. Xét một lưới ô vuông (n n )trên hệ trục tọa độ. Xuất phát từ điểm (0, 0) ta đi trên các cạnh ô vuông sang phải và lên trên đến điểm ( , )n n . Hỏi có bao

48

Lời giải

Để đi từ (0, 0) đến điểm ( , )n n ta cần đi ngang phải n lần và đi lên trên n

lần (mỗi lần đi một đoạn bằng 1 là độ dài của cạnh ô vuông). Mỗi lần đi ngang ta gán số 0 và đi lên ta gán số 1. Như vậy mỗi đường đi tương ứng 1-1 với bộ 2n số trong đó có đúng n số 0 và n số 1. Để có một bộ số như vậy ta chỉ cần chọn ra n

vị trí trong 2n vị trí để đặt số 0 và còn lại số 1. Số cách chọn ra n vị trí trong 2n vị trí bằng 2n

n

C .

Vậy có tất cả 2n n

C đường đi từ (0, 0) đến điểm ( , )n n .