Trong một số bài toán đếm, để có kết quả chính xác chúng ta cần mô tả phần tử đếm, sau đó sắp xếp nhờ hoán vị. Khi đó có hai bước chính cần thực hiện.
1. Mô tả phấn tử đếm 2. Hoán vị
Bài toán 2.4.1. Xét những số gồm chín chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn
chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu các chữ số được xếp tùy ý?
Lời giải
Gọi số cần lập có dạng n a a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8 9, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn lại là 2, 3, 4 và 5.
Như vậy với chín vị trí, ta có C95 cách chọn ra năm vị trí và xếp năm chữ số 1. Khi đó còn lại bốn vị trí, xếp bốn chữ số 2, 3, 4, 5 có P4 4 ! cách xếp.
Vậy có tất cả C95.4 ! 3024 số thỏa mãn yêu cần bài toán.
Bài toán 2.4.2. (Đề thi tuyển sinh ĐHSP Hà nội - 2000) Có thể lập được bao nhiêu
số có tám chữ số, trong đó có các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, thỏa mãn chữ số 1 và 6 có mặt đúng hai lần, còn các chữ số khác xuất hiện đúng một lần?
45
Lời giải
Gọi số cần lập có dạng n a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8, trong đó chữ số 1 và 6 có mặt đúng hai lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần.
Với tám vị trí, ta có C82 cách chọn hai vị trí và xếp hai chữ số 1, có C62 cách chọn hai vị trí trong 6 vị trí còn lại xếp hai chữ số 6. Sau cùng ta có P4 4 ! cách xếp bốn chữ số 2, 3, 4, 5 vào bốn vị trí còn lại.
Vậy có tất cả 2 2
8. 6.4 ! 10080
C C số thỏa mãn yêu cầu.
Bài toán 2.4.3. Cho tập A1, 2, 3, 4, 5 có bao nhiêu số gồm 6 chữ số trong đó có 3 chữ số a, 2 chữ số b, 1 chữ số c với a A b, A c, A và a b c, , khác nhau?
Lời giải
Trước hết, ta có C53 cách lấy ra 3 phần tử phân biệt của tập A. Sau khi lấy ra 3 chữ số phân biệt từ tập A, có 3 cách chỉ định số nào xuất hiện 3 lần, có 2 cách chỉ định một trong hai số còn lại xuất hiện 2 lần, còn lại là số chỉ xuất hiện 1 lần. Suy ra có C53.3.2 cách chọn ra số xuất hiện 3 lần là số nào, số xuất hiện 2 lần là số nào và số xuất hiện 1 lần là số nào (ví dụ như (3, 3, 3,2,2, 4)).
Hoán vị các bộ số nhận được ta thu được 3 5 6! .3.2. 3600 3!2! C
số thỏa mãn yêu cầu bài toán.