• Nguyên lý Dirichlet thường áp dụng trong nhiều bài chứng minh tồn tại số hoặc biểu thức chia hết cho một số nào đó.
Ví dụ 60. Chứng minh rằng tồn tại số có dạng 20142014· · ·201400· · ·0 chia hết cho 2015.
Lời giải. Lấy 2016 số dạng 2014 ; 20142014 ; .... ; 20142014· · ·2014 (gồm 2016 số 2014).
Lấy 2016 số này chia cho 2015. Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 2015. Giả sử hai số đó là:
M = 20142014· · ·2014 (m số 2014) và N = 20142014· · ·2014 (n số 2014) (m > n > 0)
Ta có M −N = 2014· · ·201400· · ·0 chia hết cho 2015.
Ta có điều phải chứng minh.
• Nguyên lý Dirichlet không chỉ áp dụng trong các bài chứng minh tồn tại mà còn áp dụng được trong một số bài chứng minh chia hết.
Ví dụ 61. Cho a, a+ k, a + 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng k chia hết cho 6.
Lời giải. Do a, a+k, a+ 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên chúng đều là số lẻ và không chia hết cho 3.
+) a và a+k cùng lẻ nên k chia hết cho 2.
+) Ba số a, a+k, a+ 2k đều không chia hết cho 3 nên ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 3.
Do đó ta có k chia hết cho 3.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 62. Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng: abc a3 −b3 b3 −c3 c3−a3 chia hết cho 7.
Lời giải.
+) Nếu trong ba số a, b, c có một số chia hết cho 7 thì mệnh đề đúng. +) Nếu cả ba số a, b, c cùng không chia hết cho 7 thì khi đó:
Ta biết rằng với mỗi số nguyên x bất kỳ không chia hết cho 7, khi chia x3 cho 7 chỉ có thể nhận số dư là 1 hoặc 6.
Do đó, khi chia a3, b3, c3 cho 7, phải có ít nhất hai số có cùng số dư.
Chẳng hạn, là a3 và b3. Khi đó a3−b3 chia hết cho 7 thì ta được tích đã cho
chia hết cho 7.
Ví dụ 63. Cho 5 số nguyên phân biệt tùy ý a1, a2, a3, a4, a5. Chứng minh rằng tích P = Q
1≤i<j≤5
(ai−aj) ... 288 Lời giải. Ta có phân tích 288 = 32.9.
+) Trong bốn số a1, a2, a3, a4 có ít nhất hai số đồng dư modulo 3. Không mất tính tổng quát, giả sử a1 −a2...3.
Lại xét bốn số a2, a3, a4, a5 cũng có hai số có hiệu chia hết cho 3. Vậy P ...9.
+) Trong năm số a1, a2, a3, a4, a5 có ít nhất ba số cùng tính chẵn lẻ. Không mất tính tổng quát, giả sử ba số đó là a1, a2, a3.
Khi đó a4, a5 cũng cùng tính chẵn lẻ.
Ta có a1 −a2, a1 −a3, a2−a3, a4 −a5 là các số chẵn. Hơn nữa a1−a3 = a1−a2+ a2−a3.
Và trong hai hiệu a1−a2, a2−a3 có một hiệu chia hết cho 4 hoặc nếu không thì a1−a3 chia hết cho 4.
Do vậy trong P có ít nhất 4 thừa số chẵn và trong đó có ít nhất một thừa số chia hết cho 4 nên P ...32.
Tóm lại P ...288.
Chương 3
Một số bài toán áp dụng
Chương này trình bày một số bài toán số học áp dụng tính chất chia hết.
1.1. Một số áp dụng trong giải phương trình nghiệm nguyên. 1.2. Tính chất chia hết của các số hạng của dãy số nguyên.
1.3. Một số bài toán tìm số nguyên thỏa mãn điều kiện cho trước. 1.4. Một số bài toán chọn lọc khác liên quan đến chia hết
3.1. Một số áp dụng trong giải phương trình nghiệm nguyên• Một số phương trình bậc nhất dạng ax+by = ccó thể dựa vào tính chất