Ví dụ 57. Chứng minh rằng số S = n2+ 3n−38 không chia hết cho 49, với mọi số tự nhiên n.
Lời giải. Giả sử có số tự nhiên n để S chia hết cho 49. Thế thì (n−2)2 = S −7 (n−6) chia hết cho 7.
Suy ra n−2 chia hết cho 7. Hay n= 7t+ 2, t ∈ Z .
Nhưng khi đó S = 49t2+ 49t−28 lại không chia hết cho 49. Mâu thuẫn chứng tỏ điều giả sử là sai.
Vậy bài toán được chứng minh.
• Chúng ta cũng có thể giải như sau: Ta có A = (n+ 5) (n−2)−28.
Giả sử A...49 thì A...7 suy ra (n+ 5) (n−2)...7. Nhưng (n+ 5)−(n−2) = 7
nên suy ra (n+ 5) và (n−2) cùng chia hết cho 7. Khi đó (n+ 5) (n−2)...7 và A...49 nên suy ra 28...49. Điều vô lý này chứng tỏ giả sử A...49 là sai.
Vậy A không chia hết cho 49.
Ví dụ 58. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m, số A = m2 + 3m + 5
không chia hết cho 121. Lời giải.
Cách 1: Phân tích (m−4)2 = A−11 (m−1)
và lý luận tương tự như ví dụ trên. Cách 2: Ta có A = (m−4) (m+ 7) + 33.
Giả sử A ... 121 thì A ... 11
suy ra (m−4) (m+ 7) chia hết cho 11. Nhưng (m+ 7)−(m−4) = 11
nên m−4 và m+ 7 phải cùng chia hết cho 11. Khi đó ra (m−4) (m+ 7) ... 121.
Lại do A ... 121, suy ra 33 ... 121 (vô lý).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 59. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, 1) A = 9n3 + 9n2 + 3n−16 không chia hết cho 243. 2) B = 4n3 −6n2+ 3n+ 37 không chia hết cho 125.
Lời giải. Thực hiện tương tự các ví dụ trên bằng cách phân tích như sau: 1) Ta có 3A = (3n+ 1)3−49.
2) Ta có 2B = (2n−1)3+ 75.
• Về phương pháp chứng minh phản chứng, chúng ta đã thường áp dụng trong nhiều bài toán khác ở trên.
Để chứng minh chia hết, chúng ta còn áp dụng nguyên lý Dirichlet. Sau đây và một số ví dụ: