sau đây:
1. Vm, u ’e A , Vữ e A : u » u ’ => u.a « u \a
2. V(w,<7) e LI, \/q ' c ạ , Vvi, v2 e Lin(q ’) : U.V\ » u.v2
được gọi là quan hệ tương đ ư ơ n g vết cục bộ trên A .
Tính chất thứ nhất đảm bảo rằng các kết quả cua việc thực hiện thêm cùng một hành động sau khi đã thực hiện hai dãy hành động tuần tự tương đương thì phải giống nhau. Yêu cầu này dường như là tất yêu đối với nhiều hệ thống. Tính chất thứ hai đòi hỏi kết quà thực hiện mọi cách tuần tự các hành động trong cùng một bước tương tranh khi lịch sử cho phép thì phải như nhau.
Mỗi lớp tương đương [m]« , u e a* của quan hệ tương đương vết cục bộ
được gọi là một nửa vết. Một tập các nửa vết được gọi là một ngôn ngữ nưa
vết, , , ,
Đe đoán nhận được các nưa vêt ta cần xác định rõ hơn cấu trúc cua quan hệ tương đương vết cục bộ sính bởi quan hệ độc lập cục bộ. Với cặp
(u q) 6 LI ta hiểu ràng q là tập các hành động độc lập, còn u la lịch sư của hệ
thông, Lịch sử này đảm bảo cho tất cả các hành động trong bước q được thực hiện một cách đồng thời. Két quả sau đây sẽ chỉ ra cẩu trúc của quan hệ tương đương vết cục bộ.
Định lý 2: Giả sử A là một bảng chữ cái và L I là quan hệ độc lập cục bộ trên
A. Quan hệ tương đương vết cục bộ » là bao đóng phản xạ bắc cầu của quan
hệ ~ dưới đây:
Vw, V gA* :
u ~ V <=> 3{u\,q) e L I ,3 a , p e A*, 3u2, u3 e Lin(<7 ’) với q ’ c:q
sao cho: u — CC.U\.U2.Ị3 và V = a.u\.ui.p. Chứng m ình: Quan hệ ~ được minh họa như hình vẽ dưới đây:
____ ... »1 ~7 V" p
V <7 '
V l i j 7
Ket quả của định lý trên được suy trực tiếp từ Định nghĩa 3 và tính chất của bao đóng phản xạ bắc cầu. □
Hệ quả 3 : Giả sử t là một nửa vết trên bảng chữ cái A \ ầ u , v là hai từ bất kỳ thủộc t.
1. \u\ = Ịvj;
2. Va G A : #a(u) = #a(v).
Chứng minh: Suy từ định nghĩa của quan hệ ~ trong Dịnh lý 2.
Hai từ u, V trên bảng chữ cái A có quan hệ tương đương « với nhau phải có độ dài bằng nhau và số lần xuất hiện của mỗi chữ cái trong hai từ là giống nhau. Do vây, kết quả thực hiện của hai quá trình tuần tự tương ứng với hai từ này là như nhau. Các tuyến tính hoá của một nửa vết cho ta tất cả các cách
thực hiện tuần tự quá trình tương ứng với nửa vết này.
Trở lại Ví dụ 2 ở trên, quan hệ độc lập cục bộ trên hệ này được xác định như sau:
L ỉ= { ( k , M ) I u G A \ V v g P r e fix (w ): #s(v) > #b(v)}.
Nửa vét [556]« = {ssb, sb s}. Nó không chứa từ bss. Dây chính là điểm
khác biệt giữa nửa vêt và vêt.
Ọuan hệ ~ sinh bới quan hệ độc lập cục bộ L I trên báng chữ cái A được xây dựng như trong Định lý 2 chí ra sự ‘giông nhau' của các từ trên bảng chữ
hoán vị một từ con của nó khi lịch sử cho phép. Quan hệ ~ đảm bảo rằng mọi tập con của một tập độc lập là độc lập. Đối với một tập độc lập, ta có thể thực hiện trước một phần của nó, phần còn lại vẫn độc lập. Hom nừa, hai từ ‘giống nhau’ phải dẫn tới cùng các bước độc lập. Những đòi hỏi này có thể đưa vào quan hệ độc lập cục bộ để làm đầy đủ nó.
Định nghĩa 4: Quan hệ độc lập cục bộ L I trên bảng chữ cái A được gọi là đầy đủ nêu :
1. (u,q) e L I A q ’ c q => (u,q ’) € L I;
2. (ụ,q) e L I A q ’ Q q A v e L in Ịq') => (u.v, q \ q ’) e L ỉ ;
3. (u,p) e L I A (u.W].v,q) e L I => (u.w2.v,q) G L I với W\,W2 e L in (p ).
Một quan hệ độc lập cục bộ luôn luôn có thể bổ sung để trở thành đầy
đủ. Định nghĩa 4 ở trên chỉ cho ta biết cần phải bổ sung những cặp quan hệ
nào.
Ký hiệu CLI là quan hệ độc lập cục bộ được làm đầy đủ từ quan hệ độc
lập cục bộ LI. Dễ dàng thấy rằng, quan hệ độc lập đầy đủ L I là hữu hạn khi và chỉ khi quan hệ độc lập đầy đủ CLI là hữu hạn. Song một câu hoi đặt ra: Liệu
hai quan hệ độc lập này có xác định cho ta cùng một tập các nưa vết hay
không? Kèt quả sau đây khẳng định điều đó.
Định lý 4: Quan hệ độc lập cục bộ L I và quan hệ độc lập cục bộ đầy đu của
nó CLI sinh ra cùng tập các nửa vết.
Chứng minh'. Ta chỉ cẩn chỉ ra rằng quan hệ ~u sinh bởi L I và quan hệ ~CLI
sinh bởi C U như định nghĩa trong Định lý 2 là trùng nhau. Thật vậy, theo Định nghĩa 4 thi L I cz CLI. Suy ra, ~L1 G ~CLh
Ta chứng minh điều ngược lại. Giả sử răng u ~cu V .
Khi đó, Ba, p 6 A \ 3 ( uuq) G C L I, 3u2, «3 e Lin(q') với q ’ C q sao cho:
ư = a.u\.u2.p và V = a.u\.u).p.
Vì {u\ q) e CLI nên theo cách làm đầy đủ quan hệ độc lập LI, luôn tồn
tại (uuq ”) e L Ỉ sao cho q C q Suy ra: q ’ c q C q
Thế thì: /?, u2, «3 6 ả\ S(uuq ”) e U , 3u2, Ui e Lin(q ’) với q' C q " sao cho: u = a.u\.u2.p và V = a . U ị . U ĩ Ạ Điều này có nghĩa là: u ~ L I V .
Vậy thì hai quan hệ ~LI và ~CL! là như nhau; nên chúng sinh ra cùng
một quan hệ tương đương vết cục bộ w trén A .
2.3. M ối quan hệ giữa vết và nửa vết
Giả sử Ạ = (Ẩ. I) là một bang chữ cái tương tranh.
Khi đó, quan hệ tương đương vết — tạo ra các vết - các lớp tương đương của quan hệ này. Quan hệ độc lập I là một quan hệ đối xứng và không phản xạ. Ta định nghĩa vùng của quan hệ / như sau:
Định nghĩa5: Tập con Bc A được gọi là một vùng của quan hệ / nếu và chỉ nếu: