Q. Nếu Q ∈Ass(M )thì P∈ Ass(M ).
2.6 Tính chất (Cn)
Nhắc lại rằng với n là số tự nhiên, vành Noether R được gọi là có tính chất Serre (Sn) nếu depth(RP)≥min(htP, n) với mọi iđêan nguyên tố P ∈Spec(R). Hơn nữa, R là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu R có tính chất (Sn) với mọi n ∈N.
Định nghĩa 2.6.1. Giả sử n ∈ N là số tự nhiên. Ta nói vành Noether R có tính chất (Cn) nếu depth(RP)≥min(htP, n)−1,∀P ∈Spec(R).
Nhận xét 2.6.2. i) Nếu R có tính chất (Cn) thì R có tính chất (Cn−1).
(ii) Nếu R có tính chất (Sn) thì R có tính chất (Cn).
(iii) Nếu R có tính chất (Cn)thì RP có tính chất (Cn),∀P ∈Spec(R).
Định lý 2.6.3. Vành Noether R là hầu Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu R có tính chất (Cn) với mọi n∈N.
Chứng minh. Giả sử R là hầu Cohen-Macaulay và P ∈Spec(R). Khi đó RP là hầu Cohen-Macaulay nên suy radepth(RP)≥ht(P)−1. Nếun≥ht(P)thìmin(ht(P), n) = ht(P). Do đó depth(RP) ≥ min(n,ht(P))−1. Nếu n < ht(P) thì min(n,ht(P)) = n
do đó depth(RP) ≥ ht(P) − 1 > n − 1 = min(ht(P), n) − 1. Ngược lại, giả sử
P ∈Spec(R),ht(P) =l. Khi đó depth(RP)≥min(l,ht(P))−1 = ht(P)−1.
Mệnh đề 2.6.4. Giả sử k ∈N, vành Noether R có tính chất (Ck) nếu và chỉ nếu
RP là hầu Cohen-Macaulay với mọi P ∈Spec(R) với depth(RP)≤k−2.
Chứng minh. Giả sửP ∈Spec(R)sao chomin(k,ht(P))−1≤depth(RP)≤k−2. Nếu
ht(P)≤k thìdepth(RP)≥ht(P)−1. Và nếuht(P)> k, thìk−2>depth(RP)≥k−1. Điều này là mâu thuẫn.
Ngược lại, giả sử P ∈ Spec(R). Nếu depth(RP) ≤ k −2 thì RP là hầu Cohen- Macaulay, do đó ht(P)−1≤depth(RP)≤k−2. Vì vậymin(ht(P), k) = ht(P), trong đó depth(RP)≥min(k,ht(P)). Nếu k−2<depth(RP) thì ht(P)> k−2, nên suy ra
depth(RP)≥min(k,ht(P))−1.
Mệnh đề 2.6.5. Giả sử R là vành Noether, k ∈N và x ∈ R không là ước không. Nếu R/xR có tính chất (Ck) thì R có tính chất (Ck).
Chứng minh. Giả sử Q ∈ Spec(R) sao cho depth(RQ) = n ≤ k − 2. Nếu x ∈ Q
thì depth(R/xR)Q = n −1 ≤ k −3. Khi đó ht(Q/xR) ≤ n−1 + 1 = n nên suy ra
ht(Q)≤n+ 1 = depthRQ+ 1. Nếux /∈Q lấyP ∈min(Q+xR).Khi đó (Q+xR)RP là
P AP-nguyên sơ vàdepth(RP)≤depth(RQ) + 1 =n+ 1. Do đó depth(R/xR)Q =n−1,nên suy ra ht(P/xR)≤n. Do đó ht(P)≤n+ 1 = depth(RP) + 1. nên suy ra ht(P/xR)≤n. Do đó ht(P)≤n+ 1 = depth(RP) + 1.
Kết luận
Luận văn tìm hiểu về vành và môđun hầu Cohen-Macaulay. Luận văn đạt được các kết quả chính sau
- Hệ thống một số kiến thức về dãy chính quy, độ sâu của vành và môđun, vành và môđun Cohen-Macaulay;
- Tìm hiểu định nghĩa và một số tính chất của vành và môđun hầu Cohen- Macaulay;
- Tìm hiểu tính chất của vành và môđun hầu Cohen-Macaulay khi chia cho một phần tử, tính hẩu Cohen-Macaulay của vành đa thức, vành các chuỗi lũy thừa hình thức, qua đồng cấu phẳng, qua địa phương hóa, qua đầy đủ hóa;
- Tìm hiểu điều kiện (Ck) và đặc trưng tính hầu Cohen-Macaulay qua điều kiện (Ck);