Q. Nếu Q ∈Ass(M )thì P∈ Ass(M ).
2.4 Tính hầu Cohen-Macaulay của vành đa thức và vành các chuỗi lũy thừa hình thức
vành các chuỗi lũy thừa hình thức
Bổ đề 2.4.1. Cho R là vành giao hoán Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh,
x ∈ J(R) căn Jacobson của R, x là phần tử R-chính quy và M-chính quy. Nếu
Chứng minh. Lấy Q ∈ Supp(M)∩Max(R). Vì x ∈ J(R) nếu x ∈ Q. Ta có Q/(x) ∈ Supp(M/xM)∩Max(R/xR). vì M/xM là R/(x)-môđun hầu Cohen-Macaulay nên
dim(M/xM)≤1 + depth(Q/x, M/xM).
Theo [7, Định lý 156] ta códimMQ ≤1 + depth(Q, M). Do đó, theo suy ra M là hầu Cohen-Macaulay.
Định lý 2.4.2. ChoRlà vành giao hoán Noether. Khi đó Rlà hầu Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu R[[X1, .., Xn]] là hầu Cohen-Macaulay, với mọi n≥1.
Chứng minh. Ta có Xn là R[[X1, .., Xn−1]]-chính quy và
R[[X1, ..., Xn−1]]∼=R[[X
1, .., Xn]]/(Xn).
Giả sử R[[X1, .., Xn]] là hầu Cohen-Macaulay nên theo trên và Bổ đề 2.3.6 ta cóR[[X1, .., Xn−1]] là hầu Cohen-Macaulay. Nếu R là hầu Cohen-Macaulay thì theo đẳng cấu trên R ∼= R[X
1]/(X1) hầu Cohen-Macaulay. Lại theo Bổ đề 2.4.1 ta có
R[[X1]] là hầu Cohen-Macaulay. Cứ tiếp tục quá trình trên ta có R[[X1, .., Xn]] là hầu Cohen-Macaulay.
Định lý 2.4.3. Cho (R,m) là vành địa phương chiều n + 1. Giả sử R không là Cohen-Macaulay. Khi đó R là hầu Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu với mọi hệ tham số {x1, .., xn+1} tồn tại chỉ số j,1≤j ≤n+ 1 thỏa mãn {x1, ...,xbj, ..., xn+1} là dãy chính quy.
Chứng minh. Giả sử R là hầu Cohen-Macaulay. Nếu P ∈ Ass(R) thì theo Bổ đề 2.3.7 ta có htP ≤1 .
Giả sử {x1, ...., xn+1}, n ≥ 1 là hệ tham số. Tồn tại xi,1 ≤ i ≤ n+ 1 là phần tử R-chính quy. Ta có thể giả sử x1 là phần tử R-chính quy. Do đó, R/(x1) là hầu Cohen-Macaulay. Hơn nữa, {x2, ..., xn+1} là hệ tham số của R/(x1). Do đó sau khi thay đổi chỉ số ta có {x2, ...,xbj, ..., xn} là dãy chính quy của R/(x1). Suy ra
Định lý 2.4.4. Giả sử φ : R → S là đồng cấu phẳng. Giả sử P S 6= S với mọi
P ∈Spec(R) và φ∗ : Spec(S)→Spec(R) là toàn ánh.
(i) Nếu S là hầu Cohen-Macaulay thì R và vành thớ S⊗R k(P)(= SP/P SP) là vành hầu Cohen-Macaulay với mọi P ∈Spec(R).
(ii) Nếu R là hầu Cohen-Macaulay và S⊗R k(P) là Cohen-Macaulay mọi P ∈ Spec(R) thì S là hầu Cohen-Macaulay.
Chứng minh. Với mọi P ∈ Spec(R), với mọi iđêan nguyên tố trong S⊗Rk(P), tồn tại duy nhất Q ∈ Spec(S) sao cho Q∩R = P và QS⊗R k(P) tương ứng cho bởi iđêan nguyên tố trong S⊗Rk(P). Hơn nữa, ta có
dimSQ = dimRP + dimSQ⊗Rk(P),
và
depth(QSQ, SQ) = depth(P RP, RP) + depth(QSQ⊗Rk(P), SQ⊗Rk(P)).
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Định lý 2.4.5. Vành R là hầu Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu R[X1, ..., Xn] là hầu Cohen-Macaulay.
Chứng minh. Với mọi P ∈Spec(R), vành thớ R[X]⊗Rk(P) không là vành đa thức trên trườngk(P). Do đó R[X]⊗Rk(P) là Cohen-Macaulay. Theo Định lý 2.4.4 định lý được chứng minh.