2 Mët sè v§n · v· lþ thuy¸t èi ng¨u
2.5 p döng t½nh to¡n d÷îi vi ph¥n
Cho X, Y l c¡c khæng gian Banach, f : X →R v g : Y → R l c¡c h m lçi, ch½nh th÷íng, A : X →Y l to¡n tû tuy¸n t½nh. X²t h m
F(x) := f(x) +g(Ax),
vîi mi·n húu hi»u
domF := {x ∈ domf |Ax ∈ domg}.
X²t b i to¡n tèi ÷u
(P00) min
(B i to¡n n y l tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n (2.5) vîi g ≡ F, A ≡ G.) H m Lagrange cõa b i to¡n n y l
L(x, y∗) = f(x) +hy∗, Axi = f(x) +hA∗y∗, xi, suy ra inf x∈XL(x, y∗) = −sup x∈X {−f(x) +h−A∗y∗, xi} = −f∗(−A∗y∗).
V¼ vªy b i to¡n èi ng¨u cõa b i to¡n (2.10) l
(D00) max
y∗∈Y∗{−f∗(−A∗y∗)−g∗(y∗)}.
H m gi¡ trà tèi ÷u t÷ìng ùng vîi b i to¡n (2.10) l
v = inf
x∈X{f(x) +g(Ax)}.
Ta câ
domv = {x ∈ domf | Ax∈ domg}
= domg −A(domf).
i·u ki»n ch½nh quy 0 ∈ int(domv) ÷ñc vi¸t l¤i th nh
0 ∈ int{A(domf)−domg}. (2.11) ành lþ 2.5. Cho X, Y l c¡c khæng gian Banach, c¡c h m f : X → R
v g : Y → R l c¡c h m lçi, ch½nh th÷íng, l.s.c., A : X → Y l to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc v F(x) =f(x) + g(Ax). Gi£ sû r¬ng i·u ki»n ch½nh quy (2.11) thäa m¢n. Khi â, vîi b§t k¼ x0 ∈ domF, ta câ
∂F(x0) = ∂f(x0) +A∗[∂g(Ax0)].
Trong tr÷íng hñp X = Y, ¡nh x¤ tuy¸n t½nh Al ¡nh x¤ çng nh§t, ta câ k¸t qu£ sau
ành lþ 2.6. Cho X l khæng gian Banach, h m f, g : X →R l c¡c h m lçi, l.s.c., ch½nh th÷íng. N¸u i·u ki»n ch½nh quy
0 ∈ int{domf −domg} (2.12) ÷ñc thäa m¢n th¼ vîi b§t k¼ x0 ∈ (domf)∩domg, ta câ
∂(f +g)(x0) =∂f(x0) +∂g(x0). (2.13) ành lþ 2.6 ch½nh l quy tc º t½nh to¡n d÷îi vi ph¥n cõa têng hai h m lçi, nûa li¶n töc d÷îi, ch½nh th÷íng.
Sau ¥y ta x²t mët sè v½ dö minh håa º th§y vai trá cõa c¡c gi£ thi¸t trong ành lþ 2.6. ¦u ti¶n l mët v½ dö ch¿ ra sü c¦n thi¸t cõa i·u ki»n ch½nh quy (2.12).
V½ dö 2.2. L§y X = Y = R, f ÷ñc x¡c ành bði f(x) = 0 n¸u x = 0
v f(x) = +∞ n¸u x 6= 0. Cho g ÷ñc cho bði g(y) = −√y n¸u y ≥ 0 v
g(y) = +∞ n¸u y < 0. Khi â g(Ax) =g(x) = −√x if x ≥0, +∞ if x < 0.
Ta câ A(domf) = domf = {0}, domg = [0,+∞). Suy ra
0∈/ int(A(domf)−domg).
Hìn núa F(x) =f(x) +g(Ax) = 0 if x = 0, +∞ if x 6= 0.
Chån x¯:= 0 ∈ domF, ta câ ∂F(¯x) = R trong khi â
Ti¸p theo, v½ dö sau ¥y chùng tä r¬ng gi£ thi¸t v· t½nh l.s.c. cõa f
v g khæng thº bä qua trong ành lþ 2.6.
V½ dö 2.3. Cho X l khæng gian Banach væ h¤n chi·u. Khi â luæn tçn t¤i phi¸m h m tuy¸n t½nh khæng li¶n töc f : X → R. °t g := −f, ta
câ domf = domg = X, v¼ vªy i·u ki»n ch½nh quy (2.12) thäa m¢n.
V¼ f v g l c¡c phi¸m h m tuy¸n t½nh khæng li¶n töc, n¶n chóng khæng l.s.c. Mët m°t ta câ, ∂f(x) = ∂g(x) = ∅ vîi b§t k¼ x ∈ X. M°t kh¡c, v¼
K¸t luªn
Trong luªn v«n n y, chóng tæi nghi¶n cùu quy tc º t½nh to¡n d÷îi vi ph¥n cõa têng hai h m lçi, ch½nh th÷íng, nûa li¶n töc d÷îi b¬ng c¡ch ¡p döng l÷ñc ç èi ng¨u. Cö thº, chóng tæi sû döng c¡c cæng cö cõa lþ thuy¸t èi ng¨u º nghi¶n cùu cæng thùc t½nh d÷îi vi ph¥n cõa têng hai h m lçi, ch½nh th÷íng, nûa li¶n töc d÷îi sû döng nhúng i·u ki»n ch½nh quy th½ch hñp. C¡c k¸t qu£ ð ¥y ÷ñc x²t tr¶n c¡c khæng gian Banach. Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n ÷ñc dàch, têng hñp v tr¼nh b y chi ti¸t theo c¡c nëi dung t÷ìng ùng cõa möc 2.5 Duality Theory trong cuèn s¡ch chuy¶n kh£o [3].
T i li»u tham kh£o
Ti¸ng Vi»t
[1] é V«n L÷u, Phan Huy Kh£i, Gi£i t½ch lçi, Nh xu§t b£n Khoa håc Kÿ thuªt, H Nëi (2000)
[2] Huýnh Th¸ Phòng, Cì sð gi£i t½ch lçi, Nh xu§t b£n Gi¡o döc Vi»t Nam, N®ng (2012)
Ti¸ng Anh
[3] J. F. Bonnans and A. Shapiro, Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer-Verlag, New York (2000)