2 Mët sè v§n · v· lþ thuy¸t èi ng¨u
2.3èi ng¨u Lagrange
Trong möc n y chóng tæi tr¼nh b y c¡ch ti¸p cªn èi ng¨u dòng h m Lagrange. Ph¦n cuèi chóng tæi công ch¿ ra mèi quan h» giúa èi ng¨u li¶n hñp (Möc 2.2) v èi ng¨u Lagrange.
Cho KX ⊂ X, KY ⊂ Y l c¡c tªp hñp kh¡c réng b§t k¼. Ta x²t c°p b i to¡n gèc v b i to¡n èi ng¨u thæng qua h m L : KX ×KY → R, ÷ñc x¡c ành nh÷ sau min x∈KX sup y∈KY L(x, y), (PL) max y∈KY inf x∈KX L(x, y). (DL) Ta gåi L l h m Lagrange t÷ìng ùng vîi c¡c b i to¡n ð tr¶n. Hi»u sè giúa
val(PL) −val(DL) (khi val(PL) v val(DL) khæng còng nhªn gi¡ trà væ h¤n) ÷ñc gåi l kho£ng c¡ch èi ng¨u t÷ìng ùng vîi c°p b i to¡n èi ng¨u ð tr¶n. Ta nâi r¬ng (¯x,y¯) ∈ KX × KY l mët iºm y¶n ngüa cõa h m L(x, y) n¸u L(¯x,y¯) ∈ R v :
L(¯x, y) ≤ L(¯x,y¯) ≤L(x,y¯), ∀(x, y) ∈ KX ×KY.
ành lþ 2.3. (i) Ta câ val(DL) ≤ val(PL). Hìn núa kho£ng c¡ch èi ng¨u val(DL)−val(PL) (n¸u nâ x¡c ành) l khæng ¥m.
(ii) H m L(x, y) câ mët iºm y¶n ngüa n¸u v ch¿ n¸u c¡c b i to¡n (DL)v
(PL) câ còng gi¡ trà tèi ÷u v tªp nghi»m tèi ÷u cõa méi b i to¡n l kh¡c réng. Trong tr÷íng hñp n y, tªp hñp c¡c iºm y¶n ngüa ÷ñc k½ hi»u
Chùng minh. (i) L§y (ˆx,yˆ) ∈ KX ×KY b§t k¼. Khi â inf x∈KX L(x,yˆ) ≤ L(ˆx,yˆ) ≤ sup y∈KY L(ˆx, y) v sup y∈Ky inf x∈KXL(x, y) ≤ inf x∈KX sup y∈KY L(x, y).
Tø â, suy ra b§t ¯ng thùc val(DL) ≤ val(PL), v do â kho£ng c¡ch èi ng¨u l khæng ¥m.
(ii) Gi£ sû r¬ng tçn t¤i mët iºm y¶n ngüa (¯x,y¯). Khi â
sup
y∈KY L(¯x, y) ≤ L(¯x,y¯) ≤ inf
x∈KX
L(x,y¯).
Thüc t¸ th¼ c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n ch½nh l c¡c ¯ng thùc, bði v¼ cªn tr¶n óng v cªn d÷îi óng l¦n l÷ñt thu ÷ñc vîi y¯ v x¯, v¼ vªy
val(PL) ≤ sup
y∈KY L(¯x, y) =L(¯x,y¯) = inf
x∈KX
L(x,y¯) ≤val(DL).
M°t kh¡c, v¼ val(DL) ≤ val(PL) n¶n val(DL) = L(¯x,y¯) = val(PL). Hìn núa, val(PL) =L(¯x,y¯) = sup y∈KY L(¯x, y) v val(DL) =L(¯x,y¯) = inf x∈KXL(¯x, y). Hay nâi c¡ch kh¡c x¯ ∈ S(PL) v y¯∈ S(DL) t÷ìng ùng.
B¥y gií ta s³ ch¿ ra r¬ng gi¡ trà tèi ÷u cõa b i to¡n gèc v b i to¡n èi ng¨u l b¬ng nhau, v n¸u x¯∈ S(PL) v y¯∈ S(DL), th¼ (¯x,y¯) l mët iºm y¶n ngüa cõa L. i·u n y cho th§y r¬ng i·u ki»n n y l i·u ki»n õ, v tø â tªp hñp c¡c iºm y¶n ngüa l S(PL)×S(DL). Thªt vªy, v¼
val(DL) = inf
x∈KX
L(x,y¯) ≤ L(¯x,y¯) ≤ sup
y∈KY
v gi¡ trà tèi ÷u cõa b i to¡n gèc v b i to¡n èi ng¨u l b¬ng nhau, ta câ L(¯x,y¯) = inf x∈KX L(x,y¯) ≤L(x,y¯), ∀x ∈ KX. T÷ìng tü, ta công câ L(¯x,y¯) = sup y∈KY L(x,y¯) ≥ L(¯x, y), ∀y ∈ KY.
Khi â (¯x,y¯) l iºm y¶n ngüa.
º th§y ÷ñc quan h» giúa èi ng¨u Lagrange v èi ng¨u li¶n hñp, ta x²t h m sau, h m n y câ thº ÷ñc xem l h m Lagrange cõa c°p b i to¡n gèc (Pu) v b i to¡n èi ng¨u (Du) t÷ìng ùng,
L(x, u∗, u) := hu∗, ui −ϕ∗u(x, u∗),
ð â, vîi x cho tr÷îc, ϕ∗u l li¶n hñp cõa h m ϕ theo bi¸n u:
ϕ∗u(x, u∗) = sup u0∈U {hu∗, u0i −ϕ(x, u0)}. Khi â ta câ inf x∈XL(x, u∗, u) = hu∗, ui − sup (x,u0)∈X×U {hu∗, u0i −ϕ(x, u0)}, v do â inf x∈XL(x, u∗, u) = hu∗, ui −ϕ∗(0, u∗). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vªy n¶n, b i to¡n èi ng¨u (Du) t÷ìng ÷ìng vîi
max u∗∈U∗ inf x∈XL(x, u∗, u) . M°t kh¡c, ta câ sup u∗∈U∗ L(x, u∗, u) = sup u∗∈U∗ {hu∗, ui −ϕ∗u(x, u∗)} = ϕ∗∗u (x, u).
Chó þ r¬ng ϕ∗∗u 6 ϕ, v¼ vªy val(Du) = sup u∗∈U∗ inf x∈XL(x, u∗, u) 6 inf x∈X sup u∗∈U∗ L(x, u∗, u) = inf x∈Xϕ∗∗u (x, u) 6 val(Pu).
Ngo i ra, n¸u h mϕ(x,·)lçi v âng vîi måi x ∈ X, theo ành l½ Fenchel- Moreau (ành lþ 1.2), ta câ
sup
u∗∈U∗
L(x, u∗, u) = ϕ(x, u),
v¼ vªy b i to¡n gèc (Pu) câ thº vi¸t d÷îi d¤ng
min x∈X sup u∗∈U∗ L(x, u∗, u) .
Suy ra r¬ng n¸u ϕ(x,·) l mët h m lçi, nûa li¶n töc d÷îi, ch½nh th÷íng th¼ b i to¡n (Pu) v (Du) câ ÷ñc nhí thay êi thù tü trong â c¡c to¡n tû "max" v "min" ÷ñc ¡p döng cho h m èi ng¨u LagrangeL(x, u∗, u). Tùc l , trong tr÷íng hñp n y, èi ng¨u li¶n hñp tròng vîi èi ng¨u Lagrange, v n¸u x,¯ u¯∗ l¦n l÷ñt l nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n gèc v èi ng¨u, v c¡c gi¡ trà cõa c¡c b i to¡n n y b¬ng nhau, th¼ (¯x,u¯∗) l mët iºm y¶n ngüa cõa L(·,·, u), tùc l sup u∗∈U∗ L(¯x, u∗, u) =L(¯x,u¯∗, u) = inf x∈X L(x,u¯∗, u). 2.4 V½ dö v ¡p döng sì ç èi ng¨u
Cho X, X∗ v Y, Y∗ l c°p c¡c khæng gian vectì tæpæ lçi àa ph÷ìng. X²t b i to¡n tèi ÷u.
trong â f : X → R,F : Y → R l c¡c h m ch½nh th÷íng, v G : X →Y. Tªp ch§p nhªn ÷ñc cõa b i to¡n (P0) l
Φ := {x ∈ domf | G(x) ∈ domF}.
Chó þ r¬ng n¸u F(·) = δK(·) l h m ch¿ cõa tªp khæng réng K ⊂ Y, khi â b i to¡n (P0) câ d¤ng
(P0) min
x∈X f(x) sao cho G(x) ∈ K. (2.6) Ta x²t hå c¡c b i to¡n tèi ÷u câ tham sè
min
x∈X{f(x) +F(G(x) +y)}, (Py0) trong â y ∈ Y l tham sè. Hiºn nhi¶n khi y = 0 b i to¡n (P00) tròng vîi b i to¡n (P0). °t
ϕ(x, y) = f(x) +F(G(x) + y).
H m gi¡ trà tèi ÷u cõa b i to¡n v(y) = val(Py0) hay v(y) = inf
x∈Xϕ(x, y). V¼ h m f v F l ch½nh th÷íng, n¶n tçn t¤i x ∈ domf v y ∈ domF. Khi â ϕ(x, y−G(x)) = f(x) +F(y) < +∞, suy ra (x, y−G(x)) ∈ domϕ. Hìn núa ϕ(x, y) ≥ −∞, vîi måi (x, y) ∈ X ×Y, do â ϕ l h m ch½nh th÷íng. N¸uf v F nûa li¶n töc d÷îi th¼ ϕcông nûa li¶n töc d÷îi. Tr÷íng hñp ri¶ng n¸u F(·) = δK(·) l h m ch¿ cõa tªp K, khi â F l nûa li¶n töc d÷îi khi v ch¿ khi K âng.
ành ngh¾a 2.2. Ta nâi r¬ng b i to¡n (P0) ÷ñc cho bði cæng thùc (2.5) l lçi n¸u h m F(·) l nûa li¶n töc d÷îi v f(x) v ψ(x, y) =F(G(x) +y)
l lçi.
l lçi n¸u h m f(x) lçi, tªp K l lçi v âng, ¡nh x¤ G(x) l lçi t÷ìng ùng vîi tªp (−K) (hay ψ(x, y) := δK(G(x) +y) l lçi).
H m Lagrange cõa b i to¡n (P0) l
L(x, y∗) := f(x) + hy∗, G(x)i.
M»nh · 2.7. Cho h m ϕ(x, y) =f(x) +F(G(x) +y). Khi â h m li¶n hñp thù nh§t ϕ∗ v thù hai ϕ∗∗cõa ϕ l¦n l÷ñt ÷ñc x¡c ành bði
ϕ∗(x∗, y∗) = sup x∈X {hx∗, xi −L(x, y∗)}+F∗(y∗). ϕ∗∗(x, y) = sup y∗∈Y∗ {hy∗, yi+ inf x∈X L(x, y∗)−F∗(y∗)}.
Chùng minh. Theo cæng thùc cõa h m li¶n hñp, ta câ
ϕ∗(x∗, y∗) = sup (x,y)∈X×Y {hx∗, xi +hy∗, yi −ϕ(x, y)} = sup (x,y)∈X×Y {hx∗, xi +hy∗, yi −f(x)−F(G(x) + y)} = sup (x,y)∈X×Y {hx∗, xi +hy∗, G(x) +yi − hy∗, G(x)i −f(x)−F(G(x) +y)} = sup x∈X {hx∗, xi −f(x)− hy∗, G(x)i + sup y∈Y [hy∗, G(x) +yi −F(G(x) +y)]}. B¬ng c¡ch êi bi¸n G(x) + y 7−→y ta ÷ñc ϕ∗(x∗, y∗) = sup x∈X {hx∗, xi −L(x, y∗)}+F∗(y∗). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
B¬ng c¡ch bi¸n êi t÷ìng tü ta công t½nh ÷ñc
ϕ∗∗(x, y) = sup
y∗∈Y∗
{hy∗, yi+ inf
B i to¡n èi ng¨u (D0y) cõa b i to¡n (Py0) câ d¤ng
max
y∗∈Y∗{hy∗, yi+ inf
x∈XL(x, y∗)−F∗(y∗)}. (Dy0) Tr÷íng hñp y = 0, b i to¡n èi ng¨u cõa (P0) l
max
y∗∈Y∗{inf
x∈XL(x, y∗)−F∗(y∗)}. (D0)
Ta luæn câ val(P0) ≥ val(D0) v¼ v(u) ≥ v∗∗(u). N¸u vîi mët v i x0 ∈ X, ¯
y∗ ∈ Y∗ m
f(x0) +F(G(x0)) = inf
x∈XL(x,y¯∗)−F∗(¯y∗), (2.7) th¼ val(P0) = val(D0) (theo ành lþ 2.1).
Khi val(P0) = val(D0) húu h¤n th¼ x0 ∈ X v y¯∗ ∈ Y∗ t÷ìng ùng l nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (P0) v (D0). i·u ki»n (2.7) ÷ñc vi¸t l¤i nh÷ sau 0 = f(x0) +F(G(x0))− inf x∈X L(x,y¯∗)−F∗(¯y∗) ⇔0 = L(x0,y¯∗)− hy∗, G(x0)i +F(G(x0)) − inf x∈XL(x,y¯∗) +F∗(¯y∗). Hay L(x0,y¯∗)−inf x∈XL(x,y¯∗)+ F(G(x0)) +F∗(¯y∗)− hy∗, G(x0)i = 0. (2.8) Nhªn x²t 2.2. (i)L(x0,y¯∗) ≥ inf x∈XL(x,y¯∗)hayL(x0,y¯∗)−inf x∈XL(x,y¯∗) ≥ 0.
D§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi x0 ∈ arg min
x∈X L(x,y¯∗).
(ii) F(G(x0)) ≥ hy∗, G(x0)i −F∗(¯y∗). D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi y¯∗ ∈ ∂F(G(x0)).
Tø c¡c nhªn x²t tr¶n ta câ i·u ki»n (2.8) t÷ìng ÷ìng vîi
x0 ∈ arg min
ành lþ 2.4. N¸u val(P0) = val(D0) v x0 ∈ X, y¯∗ ∈ Y∗ l nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (P0) v (D0) t÷ìng ùng. Khi â i·u ki»n (2.9) thäa m¢n. Ng÷ñc l¤i, n¸u i·u ki»n (2.9) thäa m¢n vîi mët v i x0, y¯∗, khi â x0 l nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (P0), y¯∗ l nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (D0) v
val(P0) = val(D0).
B¥y gií ta x²t i·u ki»n ch½nh quy trong M»nh · 2.6. i·u ki»n ch½nh quy v(y) < +∞ vîi måi y thuëc l¥n cªn cõa 0, i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi 0 ∈ int(domv). M°t kh¡c, ta câ v(y) < +∞ khi v ch¿ khi tçn t¤i x∈ domf sao cho G(x) +y ∈ K. Tùc l
domv = K −G(domf).
V¼ vªy trong tr÷íng hñp n y, i·u ki»n ch½nh quy 0 ∈ int(domv) ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng
0∈ int(G(domf)−K).
2.5 p döng t½nh to¡n d÷îi vi ph¥n
Cho X, Y l c¡c khæng gian Banach, f : X →R v g : Y → R l c¡c h m lçi, ch½nh th÷íng, A : X →Y l to¡n tû tuy¸n t½nh. X²t h m (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
F(x) := f(x) +g(Ax),
vîi mi·n húu hi»u
domF := {x ∈ domf |Ax ∈ domg}.
X²t b i to¡n tèi ÷u
(P00) min
(B i to¡n n y l tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n (2.5) vîi g ≡ F, A ≡ G.) H m Lagrange cõa b i to¡n n y l
L(x, y∗) = f(x) +hy∗, Axi = f(x) +hA∗y∗, xi, suy ra inf x∈XL(x, y∗) = −sup x∈X {−f(x) +h−A∗y∗, xi} = −f∗(−A∗y∗).
V¼ vªy b i to¡n èi ng¨u cõa b i to¡n (2.10) l
(D00) max
y∗∈Y∗{−f∗(−A∗y∗)−g∗(y∗)}.
H m gi¡ trà tèi ÷u t÷ìng ùng vîi b i to¡n (2.10) l
v = inf
x∈X{f(x) +g(Ax)}.
Ta câ
domv = {x ∈ domf | Ax∈ domg}
= domg −A(domf).
i·u ki»n ch½nh quy 0 ∈ int(domv) ÷ñc vi¸t l¤i th nh
0 ∈ int{A(domf)−domg}. (2.11) ành lþ 2.5. Cho X, Y l c¡c khæng gian Banach, c¡c h m f : X → R
v g : Y → R l c¡c h m lçi, ch½nh th÷íng, l.s.c., A : X → Y l to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc v F(x) =f(x) + g(Ax). Gi£ sû r¬ng i·u ki»n ch½nh quy (2.11) thäa m¢n. Khi â, vîi b§t k¼ x0 ∈ domF, ta câ
∂F(x0) = ∂f(x0) +A∗[∂g(Ax0)].
Trong tr÷íng hñp X = Y, ¡nh x¤ tuy¸n t½nh Al ¡nh x¤ çng nh§t, ta câ k¸t qu£ sau
ành lþ 2.6. Cho X l khæng gian Banach, h m f, g : X →R l c¡c h m lçi, l.s.c., ch½nh th÷íng. N¸u i·u ki»n ch½nh quy
0 ∈ int{domf −domg} (2.12) ÷ñc thäa m¢n th¼ vîi b§t k¼ x0 ∈ (domf)∩domg, ta câ
∂(f +g)(x0) =∂f(x0) +∂g(x0). (2.13) ành lþ 2.6 ch½nh l quy tc º t½nh to¡n d÷îi vi ph¥n cõa têng hai h m lçi, nûa li¶n töc d÷îi, ch½nh th÷íng.
Sau ¥y ta x²t mët sè v½ dö minh håa º th§y vai trá cõa c¡c gi£ thi¸t trong ành lþ 2.6. ¦u ti¶n l mët v½ dö ch¿ ra sü c¦n thi¸t cõa i·u ki»n ch½nh quy (2.12).
V½ dö 2.2. L§y X = Y = R, f ÷ñc x¡c ành bði f(x) = 0 n¸u x = 0
v f(x) = +∞ n¸u x 6= 0. Cho g ÷ñc cho bði g(y) = −√y n¸u y ≥ 0 v
g(y) = +∞ n¸u y < 0. Khi â g(Ax) =g(x) = −√x if x ≥0, +∞ if x < 0.
Ta câ A(domf) = domf = {0}, domg = [0,+∞). Suy ra
0∈/ int(A(domf)−domg). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hìn núa F(x) =f(x) +g(Ax) = 0 if x = 0, +∞ if x 6= 0.
Chån x¯:= 0 ∈ domF, ta câ ∂F(¯x) = R trong khi â
Ti¸p theo, v½ dö sau ¥y chùng tä r¬ng gi£ thi¸t v· t½nh l.s.c. cõa f
v g khæng thº bä qua trong ành lþ 2.6.
V½ dö 2.3. Cho X l khæng gian Banach væ h¤n chi·u. Khi â luæn tçn t¤i phi¸m h m tuy¸n t½nh khæng li¶n töc f : X → R. °t g := −f, ta
câ domf = domg = X, v¼ vªy i·u ki»n ch½nh quy (2.12) thäa m¢n.
V¼ f v g l c¡c phi¸m h m tuy¸n t½nh khæng li¶n töc, n¶n chóng khæng l.s.c. Mët m°t ta câ, ∂f(x) = ∂g(x) = ∅ vîi b§t k¼ x ∈ X. M°t kh¡c, v¼
K¸t luªn
Trong luªn v«n n y, chóng tæi nghi¶n cùu quy tc º t½nh to¡n d÷îi vi ph¥n cõa têng hai h m lçi, ch½nh th÷íng, nûa li¶n töc d÷îi b¬ng c¡ch ¡p döng l÷ñc ç èi ng¨u. Cö thº, chóng tæi sû döng c¡c cæng cö cõa lþ thuy¸t èi ng¨u º nghi¶n cùu cæng thùc t½nh d÷îi vi ph¥n cõa têng hai h m lçi, ch½nh th÷íng, nûa li¶n töc d÷îi sû döng nhúng i·u ki»n ch½nh quy th½ch hñp. C¡c k¸t qu£ ð ¥y ÷ñc x²t tr¶n c¡c khæng gian Banach. Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n ÷ñc dàch, têng hñp v tr¼nh b y chi ti¸t theo c¡c nëi dung t÷ìng ùng cõa möc 2.5 Duality Theory trong cuèn s¡ch chuy¶n kh£o [3].
T i li»u tham kh£o
Ti¸ng Vi»t
[1] é V«n L÷u, Phan Huy Kh£i, Gi£i t½ch lçi, Nh xu§t b£n Khoa håc Kÿ thuªt, H Nëi (2000)
[2] Huýnh Th¸ Phòng, Cì sð gi£i t½ch lçi, Nh xu§t b£n Gi¡o döc Vi»t Nam, N®ng (2012)
Ti¸ng Anh
[3] J. F. Bonnans and A. Shapiro, Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer-Verlag, New York (2000)