Ph¦n n y düa theo Möc 3 trong [9], trong â ¤i sè a thùc Pk ÷ñc thay bði mæun khæng ên ànhF(k). Tø ¥y v· sau, ta kþ hi»uQ3,0, Q3,1, Q3,2, V4(u1), . . . , V4(uk)
l¦n l÷ñt l Q0, Q1, Q2, W1, . . . , Wk. T¡c ëng cõaA l¶n c¡c b§t bi¸nQ0, Q1, Q2, W1, . . . , Wk
÷ñc cho bði m»nh · d÷îi ¥y.
M»nh · 2.1 ([4]). T¡c ëng cõa ¤i sè Steenrod A ÷ñc cho bði b£ng d÷îi ¥y, trong â c¡c æ trèng l b¬ng 0. Sq0 Sq1 Sq2 Sq3 Sq4 Sq5 Sq6 Sq7 Sq8 Q2 Q1 Q0 Q22 Q1 Q0 Q1Q2 Q0Q2 Q21 Q0 Q0Q2 Q0Q1 Q20 Wi WiQ2 WiQ1 WiQ0 Wi2
V¼ méi ph¦n tû cõa St3F(k) ·u câ d¤ng P
sym
W2j1
1 · · ·W2jk
k n¶n ¤i l÷ñng
2j1 +· · ·+ 2jk l nh÷ nhau vîi måi h¤ng tû W12j1 · · ·Wk2jk trong têng. Ta câ ành ngh¾a sau ¥y.
ành ngh¾a 2.2. Gi£ sûR =Qi00Qi11Qi22W1a1· · ·Wak
k l mët a thùc theo c¡c bi¸n
Q0, Q1, Q2, W1, . . . , Wk. Kþ hi»u i0(R), i1(R), i2(R), a1(R), . . . , ak(R) l¦n l÷ñt l sè mô cõa Q0, Q1, Q2, W1, . . . , Wk trong R. °t
h(R) = i0(R) +i1(R) +i2(R) +a1(R) +· · ·+ak(R).
Kþ hi»u bði σ(R) sè nguy¶n khæng ¥m nhä nh§t sao cho 2σ(R) khæng xu§t hi»n trong khai triºn nhà ph¥n cõa i2(R). Nâi c¡ch kh¡c, i2(R) ≡ 2σ(R) − 1 mod 2σ(R)+1. Méi ph¦n tû d¤ng Qi00Qi11Qi22 P symW 2j1 1 · · ·Wk2jk trong R3F(k) ÷ñc gåi l mët R3F(k)-ìn thùc. Gi£ sû T l mët R3F(k)-ìn thùc, ta ành ngh¾a h(T) =h(Qi00Qi11Qi22W12j1· · ·Wk2jk) v σ(T) =σ(Qi00Qi11Q2i2W12j1 · · ·Wk2jk).
Bê · 2.3 ([9, Bê · 3.3]). Gi£ sû R l mët R3F(k)-ìn thùc v i l mët sè nguy¶n khæng ¥m. (a) N¸u h(R) i = 1 th¼ Sq4i(R) =RQi2+XS,
trong â méi h¤ng tûS l mëtR3F(k)-ìn thùc thäa m¢ni2(S)< i2(R)+i. (b) N¸u i > i1(R) th¼
Sqi(R) =XS +XT,
trong â méi S l mët R3F(k)-ìn thùc thäa m¢n i2(S)< i2(R), v méi T
l mët R3F(k)-ìn thùc thäa m¢n
h(R)< h(T)≤h(R) + i
4.
Chùng minh. (a) Gi£ sû
R =Qi00Qi11Qi22 X sym W12j1 · · ·Wk2jk l mët R3F(k)-ìn thùc. Ta câ Sq4iR =X sym Sq4i Qi00Qi11Qi22W12j1 · · ·Wk2jk,
ð ¥y têng ÷ñc l§y èi xùng theo c¡c bi¸n W1, . . . , Wk.
Theo M»nh · 2.1, n¸uX l mët trong c¡c b§t bi¸n Q0, Q1, Q2, W1, . . . , Wk
th¼
Sq4X =XQ2.
Do â, sû döng cæng thùc Cartan ta thu ÷ñc
Sq4i(R) = h(R) i RQi2+XS,
trong â méi S l mët R3F(k)-ìn thùc thäa m¢n i2(S)< i2(R) +i. (b) Gi£ sû R =Qi00Qi11Qi22 X sym W12j1 · · ·Wk2jk l mët R3F(k)-ìn thùc. Ta vi¸t méi a thùc K =Qi00Qi11Qi22W2 j 1 1 · · ·W2 j k k d÷îi d¤ng K =K1· · ·Kh,
trong âh =h(K) v Kp l mët trong c¡c b§t bi¸n Q0, Q1, Q2, W1, . . . , Wk
vîi 1 ≤p≤h. Sû döng cæng thùc Cartan v M»nh · 2.1 ta câ
Sqi(K) = X t1+···+th=i Sqt1(K1)· · ·Sqth(Kh) = X h(S)=h(K) S+ X h(T)>h(K) T.
V¼degQ2 = 4l nhä nh§t trong sè bªc cõa c¡c a thùcQ0, Q1, Q2, W1, . . . , Wk
n¶n ta câ
h(K)< h(T)≤h(K) + i
4,
vîi måi T trong têng.
X²t mët h¤ng tû tòy þ S = Sqt1(K1)· · ·Sqth(Kh) trong têng. V¼ h(S) =
h(K) n¶n ta câ tp = 0 vîi måi p m Kp l mët trong c¡c b§t bi¸n
Q0, W1, . . . , Wk. Gi£ sû r¬ng i2(S) ≥ i2(K). Khi â i2(S) = i2(K) v¼
h(S) = h(K). Theo M»nh · 2.1, jp = 0 vîi måi p m Kp = Q2. Nh÷ th¸ jp ch¿ câ thº kh¡c khæng trong tr÷íng hñp Kp = Q1. Hìn núa, v¼
h(S) = h(K) v theo M»nh · 2.1, n¸u jp 6= 0 th¼ jp = 1. Do â,
i =t1+· · ·+th ≤i1(K).
i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t i < i1(R) (v¼ i1(R) =i1(K)). Cuèi còng, tø h» thùc
SqiR =X
sym
Sqi Qi00Qi11Qi22W12j1 · · ·Wk2jk
ta câ i·u c¦n chùng minh.
Bê · 2.4 ([9, Bê · 3.4]). Gi£ sû R l mët R3F(k)-ìn thùc v n l mët sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n i2(R) ≡2n−1 (mod 2n) v h(R)
2n−1 = 0. Khi â R = Sq2n+1(RQi2(R)−2n −1 2 ) +XS,
trong â R :=R/Qi22(R) v méi S l mët R3F(k)-ìn thùc thäa m¢n σ(S)< n. Chùng minh. Ta câ
h(R) =h(RQ2i2(R)) =h(R) +i2(R)
Do â h(RQ22n−1−1) 2n−1 = h(R) + 2n−1−1 2n−1 = h(R)−2n−1 2n−1 = 1.
p döng Bê · 2.3 (a) cho RQ22n−1−1 v i= 2n−1 ta thu ÷ñc
Sq2n+1(RQ22n−1−1) =RQ22n−1+XS0,
trong â méi S0 l mët R3F(k)-ìn thùc thäa m¢n
i2(S0)< i2(RQ22n−1−1) + 2n−1 = 2n−1.
B§t ¯ng thùc n y k²o theo σ(S0) < n.
°t a:=i2(R)−(2n −1)≡ 0 (mod 2n). Theo cæng thùc Cartan v M»nh · 2.1 ta câ
Sq2n+1 RQi22(R)−2n−1= Sq2n+1(RQ22n−1−1Qa2)
= Sq2n+1(RQ22n−1−1)Qa2+RQ22n−1−1Sq2n+1(Qa2) = RQ22n−1+XS0Qa2 +RQ22n−1−1Sq2n+1(Qa2)
=R+XS0Qa2+RQ22n−1−1Sq2n+1(Qa2),
trong â méi h¤ng tû S0Qa2 thäa m¢n σ(S0Q2a) < n bði v¼ σ(S0) < n v a ≡ 0 (mod 2n). M°t kh¡c, ¡p döng M»nh · 2.1, n¸uSq2n+1(Qa2)6= 0 th¼ nâ khæng chia h¸t cho Q2. Do â
σ RQ22n−1−1Sq2n+1(Qa2)=σ(Q22n−1−1) =n−1 < n.
Nâi tâm l¤i, ta câ thº vi¸t
R = Sq2n+1(RQi2(R)−2n
−1
2 ) +XS,
trong â méi h¤ng tû S thäa m¢n σ(S)< n. Bê · ÷ñc chùng minh.
Bê · 2.5 ([9, Bê · 3.5]). Gi£ sû R l mët R3F(k)-ìn thùc khæng chia h¸t cho Q2, cán n v i l c¡c sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n
h(R)≡ 0 (mod 2n), i1(R)≤2n −1, 2n ≤ i ≤2n+1.
Khi â
Sqi(RQ22n−1) =XS+XT,
trong â méi h¤ng tû S l mët R3F(k)-ìn thùc thäa m¢n σ(S) < n, cán méi h¤ng tûT l mëtR3F(k)-ìn thùc thäa m¢n i2(T)≡ 2n−1 (mod 2n)v h(T)
2n−1
= 0.
Chùng minh. Theo gi£ thi¸t ta câ
i≥ 2n >2n −1≥ i1(R) = i1(RQ22n−1).
p döng Bê · 2.3 (b) cho RQ22n−1 v i ta câ
Sqi(RQ22n−1) =XS+XT,
trong â méi S l mët R3F(k)-ìn thùc thäa m¢n i2(S)< i2(RQ22n−1) = 2n−1,
cán méi T l mët R3F(k)-ìn thùc thäa m¢n
h(RQ22n−1)< h(T)≤h(RQ22n−1) + i
4.
Vîi méi S trong têng, v¼ i2(S) <2n−1 n¶n σ(S)< n. Cán vîi méi T trong têng ta câ
h(RQ22n−1) =h(R) + 2n−1< h(T)
≤ h(R) + 2n −1 + i
4
≤ h(R) + 2n + (2n−1−1).
Suy ra h(R) + 2n ≤ h(T)≤ h(R) + 2n + (2n−1−1). K¸t hñp i·u n y vîi gi£ thi¸t h(R)≡0 (mod 2n), ta thu ÷ñc
h(T) 2n−1
= 0.
Cuèi còng, gi£ sû i2(T) = 2n −1 +b, trong â b l mët sè nguy¶n. N¸u b≡ 0 (mod 2n) th¼ i2(T)≡2n −1 (mod 2n).
Ng÷ñc l¤i, n¸u b 6≡ 0 (mod 2n) th¼ σ(T) < n. Nh÷ th¸ T ÷ñc xem nh÷ mët ph¦n tû trong têng P