M 2 ewt0 k f2 kp v(t0 + t) < v(0)ε, với mọi t≥ T,
u t− x = 2x 1 + x 2
3.3 Phương trình vi phân thường
Trong phần này, ta xét ứng dụng của C0-nửa nhóm trong ODEs. Ta xét hệ phương trình vi phân vô hạn liên quan đến mô hình kinetic tuyến tính
dfn dt =−αnfn+βnfn+1, n ≥1, fn(0) =an, n≥1, (3.5) trong đó, (αn)n, (βn)n là dãy số dương bị chặn và (an)n ∈l1 là một dãy số thực. Trong trường hợp này ta xét không gian Banach X =l1 và ánh xạ A được cho bởi
Af = (−αnfn+βnfn+1)n với f = (fn)n.
Ta chứng minh A là một toán tử trên l1. Thật vậy, ta có kAf k= ∞ X n=1 | −αnfn+βnfn+1| ≤ ∞ X n=1 (αn|fn|+βn|fn+1|) ≤A ∞ X n=1 |fn|+B ∞ X n=1 |fn+1| <(A+B)kf kl1, trong đó A= sup n≥1 αn <+∞ và B = sup n≥1 βn <+∞.
Vậy A sinh một C0-nửa nhóm (Tt)t≥0, là nghiệm của bài toán Cauchy (3.5). Mệnh đề 3.3.1. Cho αn >0, βn ∈R, n∈N sao cho
sup
n≥1
αn <lim inf
n→∞ βn.
Khi đó, nửa nhóm nghiệm (Tt)t≥0 của (3.5) là trộn và hỗn loạn trên l1. Chứng minh. Lấy α = sup
n≥1
αn, β = lim inf
n→∞ βn và α/2< r < β/2. Ta cố định U ⊂C là một đĩa tròn, mở, bán kính r và tâm tại −α/2, khi đó U ∩iR6=∅.
Ta có thể tính được vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ∈U. Thật vậy, giả sử f = (fn)n thỏa mãn Af =λf, λ∈U thì
và do đó fn =γnf1 với γn = n−1 Y k=1 λ+αk βk , n ≥1,
trong đó γ1 = 1. Ngược lại, f(λ) := (γn)n thỏa mãn Af(λ) = λf(λ). Ta phải chứng minh f(λ)∈l1.
Để làm điều đó, lấy δ ∈(2r, β), khi đó tồn tại n0 ∈N sao cho βn > δ với n≥n0. Do đó, ta có −αn ∈U, với mọi n∈N và
|λ+αn|
βn ≤ 2r
δ <1, (3.6)
với mọi n ≥n0, suy ra f(λ)∈X =l1. Do đó, ta có thể xét hàm
f :U −→X, λ−→f(λ).
Lấy x∗ ∈X∗=l∞ tương ứng với dãy (bn)n bị chặn. Khi đó hf(λ), x∗i= ∞ X n=1 n−1 Y k=1 λ+αk βk ! bn, (∗)
hội tụ đều với λ ∈U bởi (3.6), điều đó khẳng định f là chỉnh hình yếu trên U. Cuối cùng, lấy x∗ ∈X∗ ứng với (bn)n ∈l∞, sao cho hf(λ), x∗i = 0 với λ∈U. Xét
λ =−α1 ∈ U ta được b1 = 0. Dãy (*) giản ước cho λ+α1 và nó vẫn chỉnh hình trên U.
Đặt λ=−α2 ∈U được b2= 0. Tiếp tục quá trình như vậy bn = 0 với mọi n ≥1. Do đó x∗= 0.
Tất cả các điều kiện của Định lý 2.3.3 được thỏa mãn nên nửa nhóm nghiệm của (3.5) là trộn và hỗn loạn trên l1.
Kết luận
Nội dung chính của luận văn bao gồm:
• Trình bày một cách có hệ thống các khái niệm và những kiến thức cơ bản về tính chất động lực học của C0-nửa nhóm. Đó là tính siêu lặp, tính trộn, tính trộn yếu và tính hỗn loạn.
• Nghiên cứu tính chất động lực học choC0-nửa nhóm tịnh tiến trên không gian có trọng Lpv(R+).
• Trình bày một số ứng dụng của tính chất động lực học của C0-nửa nhóm để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính và hệ phương trình vi phân tuyến tính vô hạn.
Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!