M 2 ewt0 k f2 kp v(t0 + t) < v(0)ε, với mọi t≥ T,
P er((Tt )) [ t>
2.3 Tiêu chuẩn siêu lặp và hỗn loạn của C0-nửa nhóm
nhóm
Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày những tiêu chuẩn cho tính siêu lặp và các tiêu chuẩn khác cho tính trộn yếu, tính trộn và tính hỗn loạn của C0-nửa nhóm.
Định lý 2.3.1. (Tiêu chuẩn Siêu lặp cho nửa nhóm). Cho (Tt)t≥0 là một
C0-nửa nhóm trên không gian Banach X. Nếu tồn tại các tập con X0, Y0 là trù mật trong X, dãy (tn)n trong R+ với tn → ∞, và ánh xạ Stn : Y0 −→ X, n ∈ N, sao cho với mọi x∈X0, y ∈Y0 thỏa mãn
(1) Ttnx→0, (2) Stny→0, (3) TtnStny→y,
thì (Tt)t≥0 là trộn yếu, và nó là siêu lặp.
Chứng minh. Lấy U1, U2, V1, V2 là các tập mở, khác rỗng trong X. Do X0, Y0 là trù mật trong X nên tồn tại
xj ∈Uj∩X0 và yj ∈Vj∩Y0, j = 1,2. Với mọi n, ta có Ttn(xj +Stnyj) = Ttnxj+TtnStnyj, j = 1,2. Theo (1), (2) và (3) ta có xj+Stnyj →xj và Ttnxj+TtnStnyj →yj. Với n đủ lớn Ttnxj+TtnStnyj ∈Vj và xj+Stnyj ∈Uj, j = 1,2. Tức là, với n đủ lớn Ttn(Uj)∩Vj 6=∅, j = 1,2. hay (Ttn ⊕Ttn)(U1, U2)∩(V1, V2)6=∅.
Định lý 2.3.2. Cho (Tt)t≥0 là một C0-nửa nhóm trên không gian Banach X. Nếu tồn tại X0, Y0 là các tập con trù mật trong X, và ánh xạ St : Y0 −→ X,
t≥0, sao cho với mọi x∈X0, y∈Y0, khi t→+∞ ta có (1) Ttx→0,
(2) Sty→0, (3) TtSty→y, thì (Tt)t≥0 là trộn.
Chứng minh. Lấy U, V là hai tập mở, khác rỗng trong X. Do X0, Y0 trù mật trong X nên tồn tại x0 ∈U∩X0 và y0 ∈V ∩Y0.
Khi đó, với mọi t >0, ta có
Tt(x0+Sty0) = Ttx0+TtSty0.
Theo (1), (2) và (3), ta có
Ttx0+TtSty0→y0 và x0+Sty0 →x0 khi t→+∞.
Suy ra, tồn tại t0>0 sao cho với mọi t > t0, ta có
Ttx0+TtSty0∈V và x0+Sty0 ∈U, với mọi t ≥t0.
Do đó,
Tt(U)∩V 6=∅, với mọi t≥t0.
Tức là, (Tt)t≥0 là trộn trên X.
Bây giờ, chúng ta sẽ xét tính chỉnh hình trên không gian phức.
Hàm f :U −→X trên tập mở U ⊂ C nhận giá trị trong không gian X được gọi là hàm chỉnh hình yếu nếu với mọi x∗∈X∗ thì hàm giá trị phức z −→ hf(z), x∗i là chỉnh hình trên U. Trong phần tiếp theo, J là tập chỉ số khác rỗng.
Định lý 2.3.3. Cho X là một không gian Banach khả ly phức, và (Tt)t≥0 là một
C0-nửa nhóm trên X với toán tử sinh (A, D(A)). Giả sử rằng, tồn tại tập liên thông U và hàm chỉnh hình yếu fj :U −→X, j ∈J, sao cho
(2) fj(λ)∈ker(λI −A) với mọi λ∈U, j ∈J,
(3) Với mọi x∗∈X∗, nếu hfj(λ), x∗i= 0 với mọi λ∈U và j ∈J thì x∗ = 0. Khi đó nửa nhóm (Tt)t≥0 là trộn và hỗn loạn.
Chứng minh. Ta sẽ sử dụng Định lý Hahn-Banach để chứng minh tính trù mật của không gian con sinh bởi các vectơ riêng, sau đó áp dụng tiêu chuẩn Godefroy- Shapiro.
Cố định t >0, ta xét
X0=spanfj(λ) ; j ∈J, λ∈U với Reλ >0 , Y0 =spanfj(λ) ; j ∈J, λ∈U với Reλ <0 ,
và
Z0=span
fj(λ) ; j ∈J, λ∈U với λt=απi với α∈Q .
Đầu tiên, ta sẽ chỉ ra các tập trên trù mật trong X. Giả sử rằng x∗ ∈X∗ đồng nhất với 0 trên X0. Với mọi j ∈ J, hàm λ −→ hfj(λ), x∗i là chỉnh hình trên U, và theo (1), nó triệt tiêu trên tập con mở khác rỗng của U. Do đó, nó triệt tiêu trên U, với mọij ∈J. Theo (3), ta có x∗= 0. Định lý Hahn-Banach khẳng định
X0 trù mật trong X. Tương tự, ta sẽ chứng minh cho Y0 và Z0 là trù mật. Theo công thức (1.6), ta có
Ttx=eλtx, với mọi x∈ker(λI −A).
Do đó, theo (2), X0 và Y0 lần lượt chứa trong không gian sinh bởi vectơ riêng của Tt ứng với giá trị riêng có môđun lớn hơn 1 và nhỏ hơn 1 tương ứng, và Z0
chứa trong không gian sinh bởi vectơ riêng củaTt ứng với giá trị riêng là căn bậc
n của phần tử đơn vị (với n tùy ý). Tiêu chuẩn Godefroy-Shapiro khẳng định Tt
là trộn và hỗn loạn, xem Mệnh đề 2.2.2.
Ta sẽ đưa ra một kết quả khác mạnh hơn kết quả trong Định lý 2.3.3, trong đó hàm chỉnh hình yếu có thể được thay thế bằng hàm liên tục.
Với mỗi hàmf : [a, b]−→X liên tục trên [a, b], ta định nghĩa tích phân Riemann sau
Z b a
Bổ đề 2.3.1. (Bổ đề Riemann-Lebesgue)Cho X là không gian Banach phức và f : [a, b]−→X là hàm liên tục. Thì
Z b a
eirtf(t)dt →0 với r → ±∞.
Chứng minh. Lấy ε > 0. Ta chọn phân hoạch a =t0 < t1 < ... < tN =b của [a, b]
sao cho kf(t)−f(tj)k < ε, trong đó, tj−1≤t ≤tj, j = 1, ..., N. Đặt g(t) =f(tj) với t∈(tj−1, tj], j = 1, ..., N. Sau đó chúng ta thấy rằng Z b a eirtf(t)dt≤ Z b a eirt(f(t)−g(t))dt + Z b a eirtg(t)dt ≤(b−a)ε+ N X j=1 kf(tj)k Z tj tj−1 eirtdt. Do Z tj tj−1 eirtdt→0 với r→ ±∞, nên lim r→±∞ Z b a eirtf(t)dt≤(b−a)ε. Suy ra Z b a eirtf(t)dt→0 với r→ ±∞.
Định lý 2.3.4. Cho X là một không gian Banach khả ly phức, và (Tt)t≥0 là một
C0-nửa nhóm trên X với toán tử sinh (A, D(A)). Giả sử a < b và hàm liên tục
fj : [a, b]−→X, j ∈J thỏa mãn điều kiện sau: (1) fj(s)∈ker(isI −A) với s∈[a, b], j ∈J,
(2) span{fj(s) ; s∈[a, b], j ∈J} là trù mật trong X. Thì (Tt)t≥0 là trộn và hỗn loạn.
Chứng minh. Ta áp dụng Định lý 2.3.2 chỉ ra nửa nhóm là trộn. Với mọi r ∈R, j ∈J, ta định nghĩa xr,j = Z b a eirsfj(s)ds, và ta đặt X0 =Y0=span{xr,j ; r ∈R, j ∈J}.
Ta sẽ sử dụng Định lý Hahn-Banach để chứng minh hai tập trên là trù mật trong X. Lấy x∗ là một hàm tuyến tính liên tục trên X sao cho, với mọi r∈ R,
j ∈J,
hxr,j, x∗i=
Z b a
eirshfj(s), x∗ids = 0.
Hàm s −→ hfj(s), x∗i là hàm liên tục trên [a, b] và do đó nó thuộc L2[a, b]. Từ
1 √ b−aexp 2π b−aikt k∈Z
là cơ sở trực chuẩn trên không gian Hilbert L2[a, b], và tính liên tục,
hfj(s), x∗i= 0 với mọi s∈[a, b], j ∈J.
Do đó, x∗ triệt tiêu trên span{fj(s) ; s∈[a, b], j ∈J}. Do đó, x∗ = 0, khẳng định X0=Y0 là trù mật.
Theo (1) và (1.6), ta có, với mọi t≥0,
Ttfj(s) = eistfj(s) với s ∈[a, b], j ∈J (2.3) và Ttxr,j = Z b a eirsTtfj(s)ds= Z b a ei(t+r)sfj(s)ds=xt+r,j. (2.4) Bổ đề Riemann-Lebesgue khẳng định Ttx→0 khi t →+∞ với mọi x∈X0. Tiếp theo, ta muốn định nghĩa ánh xạ St trên Y0 = X0 sao cho Stxr,j = xr−t,j,
r∈R, j ∈J, và thác triển tuyến tính. Để chứng minh điều kiện (2) và (3) trong Định lý 2.3.2 thỏa mãn, ta sẽ xây dựng với mỗi y ∈ Y0, họ (ut)t≥0 trong X sao cho ut → 0 và Ttut → y khi t → ∞. Thật vậy, với mỗi y ∈ Y0 = X0, ta cố định một biểu diễn y = m X k=1 akxrk,jk và xác định ut = m X k=1 akxrk−t,jk.
Theo công thức (2.4) ta có Ttut = y với mọi t ≥ 0. Và theo Bổ đề Riemann- Lebesgue ut →0 với t → ∞.
Do đó, (Tt)t≥0 là nửa nhóm trộn.
Cuối cùng, từ tính liên tục của hàm fj, cũng có
Z0:=span{fj(s) ; s∈[a, b]∩Q, s6= 0, j ∈J}
là trù mật trong X. Theo (2.3), mọi vectơ fj(s), s6= 0, là điểm cố định của T2π s , và do đó mọi điểm trong Z0 là điểm tuần hoàn cho(Tt)t. Vì vậy, nửa nhóm cũng là hỗn loạn.
Ví dụ 2.3.1. Cho (Tt)t≥0 là nửa nhóm tịnh tiến trên không gian Banach phức
X =Lpv(R+), 1≤p < ∞, trong đó v(x) = e−x. Khi đó nửa nhóm tịnh tiến là trộn và hỗn loạn.
Chứng minh. Gọi không gian liên hợp của X là Lqw(R+), trong đó 1 < q ≤ ∞ thỏa mãn 1
p + 1 1
q = 1, với w =v−q/p nếu p > 1 và w= v−1 nếu p = 1, chú ý rằng
L∞w(R+) là không gian của hàm đo được g trên R+, sao cho gw là bị chặn. Đặt U = λ∈C:|λ|< 1 p . Ta định nghĩa f :U −→X bởi f(λ)(x) =eλx, λ∈U,
x ∈ R+. Thì f được định nghĩa tốt và chỉnh hình yếu trên U. Khi đó ta có
U ∩iR6=∅.
Mặt khác, Af(λ) = d
dxf(λ) = λf(λ). Tương đương, (λI −A)f(λ) = 0. Suy ra,
f(λ)∈ker(λI −A).
Giả sử một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X∗, được biểu diễn bởi hàm
g ∈Lqw(R+), thỏa mãn
hf(λ), gi=
Z ∞
0
g(x)eλxdx= 0 với mọi λ ∈U,
thì chúng ta được, bằng cách lấy đạo hàm thứ n theo λ
Z ∞
0
xng(x)eλxdx= 0, n∈N0, λ ∈U.
Cho λ= 0 và kết hợp tuyến tính, ta được
Z ∞
0
g(x)p(x)dx= 0, với mọi đa thức p.
Từ tập đa thức trù mật trên X nên ta có g = 0.
Chương 3
MỘT VÀI VÍ DỤ CỦA C0-NỬA
NHÓM
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày một số ứng dụng của C0-nửa nhóm để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính (PDEs) hoặc hệ phương trình vi phân tuyến tính vô hạn (ODEs). Ta sẽ nghiên cứu trong một vài trường hợp cụ thể.
3.1 Phương trình đạo hàm riêng cấp 1
Chúng ta bắt đầu với bài toán Cauchy trên không gian X =L1(R+)
∂u ∂t = ∂u ∂x + 2x