2 Mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu của
2.6 Mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu trong
sâu trong trường hợp d-dãy
Bây giờ, chúng tôi sẽ tìm hiểu mối quan hệ giữa hệ số Hilbert và độ sâu của vành phân bậc liên kết Gq(A). Đầu tiên, mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số ei(q) và độ sâu của vành A được xác định bởi mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.6.1. [3, Bổ đề 5.1]. Cho(A,m) là vành địa phương Noether có chiều d≥ 1 và q là iđêan tham số của A sinh bởi d-dãy. Với mỗi 1≤i ≤ d ta có
ej(q) = 0,∀j ≥ i nếu và chỉ nếu depthA ≥d−i−1.
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.5.3, ed(q) = 0 nếu và chỉ nếu `(L) = 0. Điều này tương đương depthA≥ 1. Vì vậy, mệnh đề đúng trong trường hợp i =d.
Bằng quy nạp, ta giả sử mệnh đề đúng với i = k, k+ 1, . . . , d−1 (k ≤ d−1).
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng trong trường hợp i =k−1, tức là
Thật vậy, giả sửek−1(q) =ek(q) =. . .= ed(q) = 0.Bằng giả thiết quy nạp, ta có depthA ≥ d−k−1. Khi đó, tồn tại dãy x1, . . . , xd−k−1 là dãy chính quy của
A.Đặt q=q/(x1, . . . , xd−k−1) và A=A/(x1, . . . , xd−k−1), ta có qlà iđêan tham số sinh bởi d-dãy trong vành A chiều k−1. Hơn nữa, ek−1(q) =ek−1(q) = 0 nên depthA≥ 1. Vì vậy, depthA= depthA+d−k+ 1≥ d−k+ 2.
Ngược lại, giả sử depthA ≥ d−k+ 2. Bằng giả thiết quy nạp, ta có ek(q) =
. . . = ed(q) = 0. Giả sử x1, . . . , xd−k−1 là dãy chính quy của A và đặt A =
A/(x1, . . . , xd−k−1). Mặt khác, depthA= depthA−(d−i+ 1)≥ 1 và dimA =
k−1. Do đó, ek−1(q) =ek−1(q) = 0.
Trong trường hợp vành A không trộn lẫn (unmixed), chúng ta có kết quả quan trọng sau.
Mệnh đề 2.6.2. [3, Bổ đề 5.2]. Cho (A,m) là vành địa phương Noether không trộn lẫn có chiều d ≥ 2 và q là iđêan tham số của A sinh bởi d-dãy. Với mỗi
1≤i ≤ d ta có
ei(q) = 0 nếu và chỉ nếu depthA≥ d−i−1.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.6.1, mệnh đề đúng choi =d. Vì vậy, chúng ta chỉ cần chứng minh trường hợpi < d. Với i ≤ d−1, khi đó ta có thể chọna∈q/mq sao cho dạng khởi đầu a∗ của a trong Gq(A) là lọc chính quy. Đặt A = A/(a) và q=qA. Theo Bổ đề 2.4.1, ta có
ed−1(q, A) =ed−1(q, A).
Theo Mệnh đề 2.6.1, ta có ed−1(q, A) = 0 nếu và chỉ nếu depthA ≥ 1. Điều này tương đươngdepthA = depthA+ 1≥ 2. Do đó, mệnh đề đúng vớii =d−1.
Ta giả sử mệnh đề đúng vớii =d−k, k = 1, . . . , d−2.Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với i =d−k−1. Theo [8, Proposition2.2], ta có thể chọn a∈q/mq là phần tử siêu bề mặt sao cho
Ass(A/(a)) ⊆Assh(A/(a))∪m.
Đặt S =A/(a) và Q =qS, ta có Q là iđêan tham số sinh bởi d-dãy của S (S
có Q là iđêan tham số sinh bởi d-dãy của môđun hữu hạn sinh không trộn lẫn
S chiều d−1. Ta có
ed−k−1(Q, S) =ed−k−1(Q, S) =ed−k−1(q, A) = 0
nên theo giả thiết quy nạp ta có depthS ≥ (d−1)−(d−k −1) + 1 = k + 1.
Do đó Hmi (S) = 0, ∀i = 0,1, . . . , k.
Từ dãy khớp ngắn
0−→U −→S −→S −→ 0,
ta có dãy khớp dài của các đối đồng điều địa phương
0−→Hm0(U) −→ Hm0(S)−→Hm0(S)−→ Hm1(U) −→Hm1(S) −→ Hm1(S)−→ · · · · · · −→ Hmk(U)−→ Hmk(S) −→Hmk(S) −→ · · ·
Do Ass(A/(a)) ⊆ Assh(A/(a))∪m, Hm0(S) = U. Do đó Hmi (U) = 0, ∀i ≥ 1.
Từ dãy khớp trên ta có Hmi (S) = 0, ∀i = 1, . . . , k. Xét dãy khớp ngắn 0−→ A −→a A −→ S −→ 0,
ta có dãy khớp dài
0−→ Hm0(A) −→a Hm0(A) −→Hm0(S) −→ Hm1(A) −→a Hm1(A)−→ 0−→ · · · Do A là không trộn lẫn, Hm1(A) hữu hạn sinh. Ngoài ra, từ dãy khớp trên ta có Hm1(A) = aHm1(A). Áp dụng Bổ đề Nakayama, ta có Hm1(A) = 0. Suy ra
Hm0(S) = 0, ∀i = 0,1, . . . , k. Vậy depthS ≥ k+ 1 và depthA = depthS + 1 ≥
k+ 2.
Chúng ta tiếp tục thiết lập mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu của vành phân bậc liên kết Gq(A).
Mệnh đề 2.6.3. [3, Bổ đề 5.3]. Cho(A,m) là vành địa phương Noether có chiều d≥ 1 và q là iđêan tham số của A sinh bởi d-dãy. Khi đó,
Chứng minh. Giả sử depth(Gq(A))≥ 1. Khi đó depthA≥ 1 nên L=Hm0(A) = 0. Theo Bổ đề 2.5.3, ta có ed(q) = 0.
Ngược lại, giả sử ed(q) = 0. Theo Mệnh đề 2.6.1, ta có depthA > 0, nên ta có thể chọn a ∈ q/mq là phần tử chính quy sao cho dạng khởi đầu a∗ của a là
Gq(A)-lọc chính quy. Theo [15, Lemma 3.2], ta có (−1)ded(q) = ∞ X k=0 (Hq(k)−Pq(k))− ∞ X k=0 `((qk : y)/qk−1).
Do q là iđêan tham số của A =A/(a) sinh bởi d-dãy nên n(q) = p(Gq(A)) ≤0 hay Hq(k)−Pq(k) = 0, ∀k ≥ 1. Do đó `((qk :y)/qk−1) = 0, ∀k ≥ 1.
Vì vậy, a∗ là phần tử chính quy của Gq(A). Suy ra depth(Gq(A)) ≥1.
Định lý 2.6.4. [3, Định lý 5.5]. Cho (A,m) là vành địa phương Noether không trộn lẫn có chiều d ≥ 2 và q là iđêan tham số của A sinh bởi d-dãy. Với mỗi
1≤i ≤ d ta có
ei(q) = 0 nếu và chỉ nếu depth(Gq(A)) ≥d−i−1.
Chứng minh. Giả sử depth(Gq(A))≥ d−i−1. VìdepthA ≥ depth(Gq(A))nên suy ra depthA ≥ d−i−1. Theo Mệnh đề 2.6.2, ta có ei(q) = 0. Vì vậy ta chỉ cần chứng minh depth(Gq(A))≥ d−i−1 nếuei(q) = 0.
Theo Mệnh đề 2.6.3, định lý đúng cho i =d.
Giả sử định lý đúng với i =d−k(k >0), ta cần chứng minh khẳng định đúng với i = d− k− 1. Do ed−k−1(q) = 0 và theo Mệnh đề 2.6.2, ta có depthA ≥
k + 2. Gọi x1, . . . , xk+1 là dãy chính quy của A. Đặt q = q/(x1, . . . , xk+1) và
A= A/(x1, . . . , xk+1), ta có qlà iđêan tham số của Asinh bởi d-dãy vàdimA =
d− k − 1. Do ed−k−1(q) = ed−k−1(q) nên depth(Gq(A)) ≥ 1 (Theo Mệnh đề 2.6.3).
2.7 Mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độsâu trong trường hợp chỉ số chính quy đủ nhỏ sâu trong trường hợp chỉ số chính quy đủ nhỏ
Mục đích của phần này là chúng tôi sẽ thiết lập mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu của vành phân bậc liên kết trên lớp iđêan tham số thỏa mãn điều kiện chỉ số chính quy đủ nhỏ, trong mục này chúng tôi xét trường hợp reg(Gq(A))≤1.
Trước tiên, để thuận tiện cho việc chứng minh, chúng tôi sẽ trình bày phương trình thể hiện mối quan hệ của chỉ số Hilbert và chỉ số chính quy Castelnuovo- Mumford của vành liên kết Gq(A) của iđêan tham số q được Brobmann-Linh thiết lập [6].
Định lý 2.7.1. [6, Theorem 3.5] Cho (A,m) vành Noether địa phương có chiều d≥ 2, qlà iđêan tham số của A và depthA=d−1. Nếu depth(Gq(A)) ≥d−2
thì
reg(Gq(A)) =n(q) +d−1.
Chúng tôi có hệ quả sau đây:
Hệ quả 2.7.2. Cho (A,m) là vành Noether địa phương có chiều d ≥ 3 và
depthA ≥ d −1. Giả sử q là iđêan tham số và reg(Gq(A)) ≤ 1. Khi đó, nếu
depth(Gq(A))≥ d−2 thì
e3(q) =e4(q) =. . . =ed(q) = 0.
Chứng minh. Theo Định lý 2.7.1 ta có, reg(Gq(A)) = n(q) + d − 1. Suy ra
n(q) = reg(Gq(A)) + 1−d. Do đó n(q) ≤ 2−d (do reg(Gq(A))≤ 1). Từ đó suy ra n(q) <3−d.
Với n(q) <3−d và depth(Gq(A))≥ d−2. Khi đó, ta có Pq(n) = 0 với mọi
n = 3− d, . . . ,−2,−1,0. Lần lượt thay n = 0,−1,−2, . . . ,3−d vào phương trình Pq(n) = 0 ta thu được ed(q) =ed−1(q) =. . .= e3(q) = 0.
Mệnh đề 2.7.3. Cho (A,m) là vành hầu Cohen-Macaulay có chiều d≥ 2. Giả sử q là iđêan tham số sinh bởi d-dãy x1, . . . , xd. Khi đó,
(ii) e2(q) =e3(q) =e4(q) =. . .=ed(q) = 0.
Chứng minh. (i) Nếud = 2thìdepth(A) ≥ 1.Doreg(Gq(A)) = 0nênai(Gq(A))+
i ≤ 0. Suy ra a1(Gq(A)) ≤ −1. Từ giả thiết, depth(A) ≥ 1 nên áp dụng [10, Theorem 5.2], ta được depth(Gq(A))≥ 1.
Nếu d > 2, ta có thể chọn các phần tử chính quy x1, . . . , xd−2 sao cho
x∗1, . . . , x∗d−2 là dãy lọc chính quy của Gq(A). Đặt A = A/(x1, . . . , xd−2) và q = qA. Lúc đó dim(A) = 2 và depth(A) ≥ 1. Theo trường hợp d = 2 thì depth(Gq(A))≥ 1. Từ đó suy ra depth(Gq(A))≥ 1 +d−2 =d−1.
(ii) Do depth(Gq(A))≥d−1 nên ai(Gq(A)) =−∞, ∀i≤ d−2.
Mặt khác, reg(Gq(A)) = 0 nên aj(Gq(A)) + j ≤ 0 với j = d − 1, d. Suy ra
aj(Gq(A))<2−d, ∀j ≥ 0. Do đó
n(q)≤ max{a0(Gq(A)), . . . , ad(Gq(A))}<2−d.
Từ đây suy ra e2(q) =e3(q) =e4(q) =. . . =ed(q) = 0.
Khi qlà iđêan tham số sinh bởi d-dãy thì reg(Gq(A)) = 0. Ta xét trường hợp tổng quát hơn q là iđêan tham số sao cho reg(Gq(A))≤ 1.
Định lý 2.7.4. Giả sử (A,m) là vành Noether địa phương có chiều d ≥ 3 và
depth(A) ≥ k với 2 ≤ k ≤ d −1. Giả sử q là iđêan tham số của A sao cho
reg(Gq(A))≤ 1. Khi đó,
(i) depth(Gq(A))≥k;
(ii) ed−k+2(q) =ed−k+3(q) =. . . =ed(q) = 0.
Chứng minh. (i) Trường hợp d = 3, khi đó depth(A) ≥ 2. Ta cần chứng minh: depth(Gq(A))≥ 2.
Gọi x = x1 là phần tử siêu bề mặt của q sao cho x∗ là phần tử chính quy trong Gq(A). Ta có dim(A/(x1)) =d−1 = 2 và q=qA là iđêan tham số của A
với A =A/(x1). Ta biết rằng
Suy ra a1(Gq(A)) + 1 ≤ 1. Dẫn đến a1(Gq(A)) ≤ 0. Áp dụng [10, Theorem 5.2], ta được a0(Gq(A))< a1(Gq(A))≤0. Từ đó suy ra depth(Gq(A))≥1. Vậy depth(Gq(A))≥ 2.
Trường hợp d > 3, ta lập luận tương tự Mệnh đề 2.7.3. Gọi x1, . . . , xk−1 là dãy các phần tử siêu bề mặt củaq. Ta có dim(A/(x1, . . . , xk−1)) =d−k+ 1 ≥2 và depth(A/(x1, . . . , xk−1))≥ 1.
Đặt A = A/(x1, . . . , xk−1), q = qA. Ta có reg(Gq(A)) ≤ reg(Gq(A)) ≤ 1.
Suy ra a1(Gq(A)) + 1 ≤ 1. Dẫn đến a1(Gq(A)) ≤ 0. Áp dụng [10, Theorem 5.2], ta được a0(Gq(A)) < a1(Gq(A)) ≤ 0. Suy ra depth(Gq(A)) ≥ 1. Vậy depth(Gq(A))≥ 1 +k−1 =k.
(ii) Do depth(Gq(A))≥k nên HGi
+(Gq(A)) = 0, ∀i < k. Do đó reg(Gq(A)) = max{ai(Gq(A)) +i|i ≥k} ≤1. Suy raai(Gq(A))+i ≤ 1.Dẫn đếnai(Gq(A))≤ 1−k, ∀i ≥ 0.Suy raai(Gq(A))< 2−k. Do đó n(q) ≤max{ai(Gq(A))|i ≥0}<2−k. Từ đây suy ra ed−k+2(q) =ed−k+3(q) =. . . =ed(q) = 0.
Hệ quả 2.7.5. Cho (A,m) là vành hầu Cohen-Macaulay có chiều d≥ 3. Giả sử
q là iđêan tham số sao cho reg(Gq(A))≤1. Khi đó, (i) depth(Gq(A))≥d−1;
KẾT LUẬN
Trong luận văn này, chúng tôi đã thu được những kết quả sau đây:
- Tổng quan lại các kết quả liên quan đến hệ số Hilbert và độ sâu của vành phân bậc liên kết trong trường hợp d-dãy.
- Thiết lập mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu của vành phân bậc liên kết trên lớp iđêan tham số thỏa mãn điều kiện chỉ số chính quy đủ nhỏ. Cụ thể trong trường hợp, nếuqlà iđêan tham số sao choreg(Gq(A))≤1 thì depth(Gq(A)) ≥ k và ed−k+2(q) = ed−k+3(q) = . . . = ed(q) = 0. Đây là kết quả mới mà chúng tôi đạt được.
Trong trường hợp reg(Gq(A))≤ k với k đủ nhỏ, chúng tôi chưa có thời gian để nghiên cứu. Chúng tôi hy vọng rằng trong tương lai sẽ tiếp tục nghiên cứu và có những kết quả mới hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình đại số hiện đại, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
[2] Cao Huy Linh, Văn Đức Trung (2013), "Hệ số Hilbert của iđêan tham số",
Tạp chí khoa học Đạị Học Huế, 87(9), 93-102.
[3] Cao Huy Linh, Văn Đức Trung, Nguyễn Thị Mai Thuy (2015), "Hệ số Hilbert và độ sâu của vành phân bậc liên kết", Tạp chí khoa học Đại học Huế, 110(11).
Tiếng Anh
[4] M. F. Atiyah and I. G. Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company.
[5] M. Brodmann and R.Y. Sharp (1980), Local cohomology - an algebraic in- troduction with geometric applications, Cambridge University Press.
[6] M. Brodmann and C. H. Linh (2014), "Castelnuovo-Mumford regularity, postulation numbers and relation types", J. Algebra, 419, 124–140.
[7] W. Bruns and J. Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge Univer- sity Press.
[8] L. Ghezzi, S. Goto, J. Hong, K. Ozeki, T. T. Phuong and W. V. Vascon- celos (2010), "Cohen-Macaulayness versus the vanishing of the first Hilbert coefficient of parameter ideals", J. London Math.Soc, 81, 679-695.
[9] S. Goto, M. Manda, J. Verma, "Negativity of the Chern number of param- eter ideals", arXiv:1205.6770v1[math.AC], 30 May 2012.
[10] L. T. Hoa (1996), "Reduction numbers of equimultiple ideals",J. Pure Appl. Algebra, 109, 111-126.
[11] S. Huckaba and T. Marley (1997), "Hilbert coefficients and the depths of associated graded rings",J. London Math. Soc, 56(2), 64-76.
[12] C. H. Linh (2005), "Upper bound for Castelnuovo-Mumford regularity of associated graded modules", Comm. in Algebra, 33, 1817-1831.
[13] T. Marley, "Graded rings and modules",math.unl.edu/ tmarley1/905notes. [14] H. Matsumura (1986), Commutative Ring Theory, Cambridge University
Press, Cambridge.
[15] L. Mccune (2013), "Hilbert coefficients of parameter ideals",J. Commuta- tive. Algebra, 5(3), 399-412.
[16] N. V. Trung (1998), "The Castelnuovo-Mumford regularity of the Rees al- gebra and the associated graded ring", Trans. Amer. Math. Soc, 350, 2813- 2832.
[17] J. K. Verma (2008), "Hilbert coefficients and depth of the associated graded ring of an ideal", arXiv:0801.4866v1 [math. AC], 31 Jan.