2 Mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu của
2.4 Tính không dương của hệ số Hilbert của iđêan tham số
Cho (A,m) là vành địa phương Noether có chiều d và M là A-môđun hữu hạn sinh có chiều d ≥ 1. Giả q là iđêan tham số của M. Đặt L = Hm0(M) và
M =M/L. Các hệ số ei(I, M) và ei(I, M) có mối quan hệ sau đây: Bổ đề 2.4.1. [2, Bổ đề 2.3]. Nếu d = dim(M) ≥ 1 thì
(ii) ed(I, M) =ed(I, M) + (−1)d`(L).
Nếu d = 1 và I =q là iđêan tham số thì M là môđun Cohen-Macaulay. Lúc đó, e1(I, M) = 0. Ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.4.2. [2, Hệ quả 2.2]. Nếu d= dim(M) = 1 và q là iđêan tham số của M thì
e1(q, M) =−`(L).
Giả sử x ∈ I \mI sao cho dạng khởi đầu x∗ của nó trong GI(A) là GI(M)- lọc chính quy. Phần tử x như vậy được gọi là phần tử siêu bề mặt của M
ứng với iđêan I. Đặt N = M/xM, ta có mối quan hệ giữa ei(M) và ei(N) với
i = 1, . . . , d−1.
Bổ đề 2.4.3. [2, Bổ đề 2.3]. Cho M là A-môđun hữu hạn sinh có chiều d≥ 2
và I là idêan m-nguyên sơ. Khi đó
(i) ei(I, M) =ei(I, N) với i= 0, . . . , d−2;
(ii) ed−1(I, M) =ed−1(I, N) + (−1)d`(0 :M x).
Định lý sau đây cho chúng ta biết hệ số Chern của iđêan tham số luôn không dương.
Định lý 2.4.4. [2, Định lý 2.5]. Cho (A,m) là vành Noether địa phương và M là A-môđun hữu hạn sinh có chiều d≥ 1. Giả sử q là iđêan tham số của M. Lúc đó,
e1(q, M)≤ 0.
Chứng minh. Trường hợp d= 1, Định lý đúng theo Hệ quả 2.4.2.
Trường hợp d = 2, giả sử q = (x1, x2). Không mất tính tổng quát ta giả sử trường A/m là vô hạn và x1 là phần tử siêu bề mặt của A ứng với iđêan I. Đặt
N = M/x1M. Theo Bổ đề 2.4.3,
e1(q, M) =e1(q, N) + (−1)d`(0 :M x).
Vì dim(N) = 1 nên theo Hệ quả 2.4.2, ta có e1(q, N) =−`(Hm0(N)). Do đó
e1(q, M) =−`(Hm0(N)) +`(0 :M x) =−`(0 :H1
Trường hợpd > 2, giả sử q= (x1, . . . , xd) và đặt Ni =M/(x1, . . . , xd)M.Không mất tính tổng quát, ta giả sửx1, . . . , xd là dãy siêu bề mặt của M ứng với iđêan
I. Lúc đó dim(Nd−2) = 2. Lập luận như trường hợp d= 2, ta có
e1(q, M) =e1(q, Nd−2) =−`(Hm0(Nd−1)) +`(0 :Nd−2 xd−2) = −`(0 :H1
m(Nd−2) xd−1) ≤ 0.
Ta kí hiệu các hệ số Hilbert của iđêan qtrong vành A làei(q) với i= 0, . . . , d.
Trong phần trước, ta đã biết e1(q) ≤ 0. Trong [15], McCune đã chỉ ra ví dụ chứng tỏ rằng các hệ số Hilbert của iđêan tham số có thể nhận giá trị dương. Ví dụ 2.4.5. ChoA =k[z, y, z, u, v, w]/I trong đóI = (x+y, z−u, w)∩(z, u−
v, y)∩(x, u, w) và q= (u−y, z+w, x−v). Khi đó A là vành không trộn lẫn có chiều bằng 3 và độ sâu bằng 1, và q là iđêan tham số với
Pq(n) = 3 n+ 3 3 + 2 n+ 2 2 +n. Nói riêng, e2(q) = 1> 0.
Định nghĩa 2.4.6. Cho f : Z−→ Z là một hàm số. Khi đó, hàm hiệu∆ củaf
là hàm ∆(f) : Z −→ Z được xác định bởi ∆(f)(n) = f(n+ 1)−f(n). Ta cũng kí hiệu ∆((f)(n)) thay cho ∆(f)(n).
Bổ đề 2.4.7. [2, Bổ đề 3.1]. Cho hàm f : Z−→ Z thỏa mãn các tính chất sau: (i) f(n) = 0, ∀n 0;
(ii) ∃k ∈Z : ∆((f)(n))≥0, ∀n ≥ k (tương ứng ∆((f)(n))≤ 0, ∀n≥ k). Khi đó, f(n) ≤ 0, ∀n ≥k (tương ứng f(n) ≥ 0, ∀n≥ k).
Trong trường hợp dimA = 1, McCune [15] đã chứng minh được kết quả sau: Mệnh đề 2.4.8. [2, Mệnh đề 3.2]. Cho (A,m) là vành Noether địa phương một chiều và q= (x) là iđêan tham số của A. Khi đó,
Pq(n)−Hq(n)≥ 0 và ∆(Pq−Hq(n)≤ 0, ∀n ≥ −1.
Mệnh đề 2.4.9. [2, Mệnh đề 3.3]. Cho (A,m) là vành Noether địa phương có chiều d > 0 và depthA ≥ d − 1. Giả sử q là iđêan tham số của A sao cho
depth(Gq(A))≥ d−2. Khi đó,
(i) (−1)d+1(Pq(n)−Hq(n))≥ 0 với mọi n ≥ −d;
(ii) (−1)d∆(Pq(n)−Hq(n))≥ 0 với mọi n ≥ −d.
Với các giả thiết trong Mệnh đề 2.4.9, chúng ta thu được các hệ quả sau. Hệ quả 2.4.10. [2, Hệ quả 3.4]. Nếu tồn tại k ≥ −dsao cho Pq(k)−Hq(k) = 0
thì n(q) < k.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.4.9 ta có
(−1)d(Pq(n)−Hq(n))≤ (−1)d(Pq(n+ 1)−Hq(n+ 1)), ∀n≥ k.
Hay dãy an = (−1)d(Pq(n)−Hq(n)) là một dãy giảm với mọi n ≥k. Do ak = 0 và an = 0, ∀n 0 nên ta có
an = (−1)d(Pq(n)−Hq(n)) = 0, ∀n ≥ 0.
Vậy n(q) < k.
Hệ quả 2.4.11. [2, Hệ quả 3.6]. Nếu tồn tại ei(q) = 0 với 1 ≤ i ≤ d−1 thì ei+1(q) =. . . =ed(q) = 0.
Định lý sau đây là kết quả chính của mục này.
Định lý 2.4.12. [2, Định lý 3.7]. Cho (A,m) là vành Noether địa phương có chiều d ≥ 2 và depthA ≥ d − 1. Giả sử q là iđêan tham số của A sao cho
depth(Gq(A))≥ d−2. Khi đó, với mọi i = 1, . . . , d ta có
(i) ei(q) ≤ 0.
(ii) ei(q) = 0 nếu và chỉ nếu n(q) < i−d−1.
Chứng minh. (i) Trước hết ta chứng minhed(q) ≤0. Theo Mệnh đề 2.4.9, ta có (−1)d+1(Pq(n)−Hq(n))≥0, ∀n ≥ −d.
Thay n = −1 vào bất đẳng thức trên ta có (−1)d+1((−1)d(q) −Hq(−1)) ≥ 0.
Từ đó suy ra ed(q) ≤ 0. Vậy định lý đúng với i =d.
Bây giờ ta chứng minh ei(q) ≤ 0với 1≤i ≤ d−1. Ta chứng minh bằng quy nạp theo d. Rõ ràng là khẳng định đúng với d= 2.
Trường hợpd ≥3,do depth(Gq(A)) ≥d−2≥1nên ta có thể chọn x∈q\q2 là phần tử siêu bề mặt của q sao cho x∗ ∈ q/q2 là phần tử chính quy trong
Gq(A). Đặt A = A/(x) và q = q/(x), ta có q là iđêan tham số của vành A.
Do dim(A) = d−1 nên áp dụng giả thiết quy nạp, ta có ei(q) = ei(q) ≤ 0 với 1≤i ≤ d−1.
(ii) Giả sử n(q) < i−d−1. Khi đó, ta có Pq(n) = 0 với mọi n = i −d− 1, i−d−2, . . . ,−1. Lần lượt thay n = −1,−2, . . . , i−d−1 vào phương trình
Pq(n) = 0 ta thu được ed(q) =ed−1(q) =. . . =ei(q) = 0.
Ngược lại, giả sử ei(q) = 0. Khi đó, theo Hệ quả 2.4.11, ta có ei+1(q) =. . . =
ei(q) = 0. Do đó, Pq(i −d −1) = 0 = Hq(i − d−1) và Hệ quả 2.4.10 ta có
n(q) < i−d−1.