các ánh xạ không giãn
Trong phần này chúng tôi phát biểu lại bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển đã trình bày ở Chương 1.
Cho C là một tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H vàF : C → H
là một ánh xạ liên tục. Xét bài toán:
Tìm x∗ ∈ C sao cho:
hF(x∗), x−x∗i ≥ 0,∀x ∈ C (2.5) Kí hiệu tập nghiệm của bài toán (2.5) là V IP(F, C).
Như chúng ta đã biết, một trong những phương pháp xác định nghiệm cho bất đẳng thức biến phân là phương pháp điểm bất động. Phương pháp điểm bất động có liên quan đến phép chiếu mêtric PC : H →C. Sử dụng phép chiếu metric, Lions J. L. và Stampacchia G. [13], đã thiết lập được
sự tương đương giữa bất đẳng thức biến phân với bài toán điểm bất động. Tuy nhiên vấn đề giải bài toán đó không phải dễ dàng, do tính phức tạp của tập lồi C. Do đó, để tránh phải sử dụng phép chiếu PC, Yamada [27] đã đề xuất phương pháp lặp Đường dốc nhất lai ghép, bằng cách thay ánh xạ PC bằng một ánh xạ không giãn T : H →H.
Cho H là một không gian Hilbert và T : H →H là một ánh xạ không giãn, sao cho C = F ix(T) =6 ∅. Cho F : C → H là ánh xạ đơn điệu mạnh với hằng số η và liên tục Lipschitz với hằng số L. Cho µ ∈ (0,L2η2)
và {λn} ⊂ (0; 1) là một dãy số thực thỏa mãn các điều kiện sau:
(C1) : lim n→∞λn = 0; (C2) : ∞ X n=1 λn = ∞; (C3) : lim n→∞ λn−λn+1 λ2n+1 = 0.
Lấy x0 tùy ý thuộc H, dãy lặp {xn} xác định như sau:
xn+1 = T(xn)−λn+1µF(T xn), n ≥ 0. (2.6) Với các điều kiện trên, Yamada đã chứng minh được ánh xạ Tλ xác định bởi
Tλ(x) = T(x)−λµF(T(x)), ∀x ∈ H (2.7) là một ánh xạ co, với hằng số co τ = 1−p1−µ(2η −µL2). Do đó, theo nguyên lý ánh xạ co Banach thì dãy lặp {xn}n≥0 xác định bởi (2.6) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x∗ của bài toán (2.5).
Yamada mở rộng kết quả trên cho một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn {Ti}Ni=1. Với giả thiếtC =
N T i=1 F ix(T i) 6= ∅, thì dãy lặp được xác định như sau: xn+1 = T[n+1](xn)−λn+1µF(T[n+1](xn)), n = 0,1,2, . . . (2.8)
trong đó T[k] = Tk modN, với k ≥1. Kết quả đó được trình bày trong định lý sau:
Định lý 2.3. (xem [27]) Cho H là một không gian Hilbert, Ti : H −→H, với i = 1,2, ..., N, là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trên H sao cho C =
N T i=1
F ix(T i) 6= ∅ và thỏa mãn điều kiện:
C = F ix(TNTN−1. . . T1) = F ix(T1TN . . . T3T2)
=· · · = F ix(TN−1TN−2. . . T1TN)
Giả sử rằng F : H → H là một ánh xạ đơn điệu mạnh với hằng số η
và liên tục Lipschitz với hằng số L trên SNi=1Ti(H). Khi đó, với tùy ý
x0 ∈ H, µ ∈ (0,L2η2) và {λn}n≥1 ⊂ (0,1] thỏa mãn các điều kiện (C1), (C2)
và (C4) : P∞
n=1 | λn−λn+N |< ∞, thì dãy lặp {xn}n≥0 xác định bởi (2.8)
hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x∗ của bài toán (2.5).
Năm 2003, Xu H. K. và Kim T. H. [26] cải tiến điều kiện của Yamada. Họ thay điều kiện (C3) bởi điều kiện:
(C30): limn→∞ λn
λn+1 = 1 hoặc limn→∞
λn−λn+1
λn+1 = 0
và chứng minh được, nếu dãy số thực {λn} ⊂ (0; 1) thỏa mãn các điều kiện (C1), (C2) và (C30) thì dãy lặp {un} xác định bởi (2.6) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x∗ của bài toán (2.5).
Tiếp tục, thay điều kiện (C4) bởi điều kiện:
(C40): limn→∞ λn
λn+N = 1 hoặc limn→∞
λn −λn+N
λn+N = 0
và có kết quả sau đây.
Định lý 2.4. (xem [26]) Cho H là một không gian Hilbert và {Ti}N i=1 :
H −→ H là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trên H, sao cho
C = TNi=1F ix(Ti) 6= ∅. Giả sử F : C −→H là một ánh xạ đơn điệu mạnh với hằng số η và liên tục Lipschitz với hằng số L trên C. Cho µ ∈ (0, 2η
L2)
(C40) và giả sử C = N \ i=1 F ix(Ti) = F ix(T1T2. . . TN) = F ix(TNT1T2. . . TN−1) = . . . = F ix(T2T3. . . TNT1). (2.9)
Khi đó, dãy lặp {xn} xác định bởi (2.8) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất
x∗ của bài toán (2.5).
Sau này cũng có một số tác giả khác cải tiến và mở rộng kết quả của Yamada như nhóm nghiên cứu của Zeng L. C. (xem [28], [31], [29]), Ceng L. C (xem [6], [7]), Wang F. (xem [24]), Buong Ng. (xem [4]).
Năm 2011, Buong Ng. và Duong L. T. (xem [3]) đã đề xuất phương pháp lặp hiện, kết hợp giữa phép lặp dạng Krasnoselskij-Mann và phương pháp đường dốc nhất lai ghép để xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn và mở rộng cho một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt. Sau đây chúng tôi mô tả cụ thể như sau:
Thuật toán 2.1.
Giả sử {λk} và {βki}, với i = 0,1, . . . , N, là các dãy số thực thỏa mãn
λk ∈ (0,1), βki ∈ (α, β) với α, β ∈ (0,1), k ≥ 0 và lim k→∞λk = 0; ∞ X k=0 λk = ∞; lim k→∞ βk+1i −βki = 0. (2.10) Chọn một xấp xỉ ban đầu tùy ý x0 ∈ H, sau đó xác định dãy lặp {xn}
như sau:
x0 ∈ H, y00 = x0
yki = (1−βki)yki−1 + βkiTi(yki−1), i = 1,2,· · · , N xk+1 = (1−βk0)xk +βk0(I −λkµF)yNk , k ≥0,
(2.11) Dãy lặp (2.11) có thể viết lại dưới dạng sau:
trong đó, Tik = (1 − βki)I + βkiTi, với i = 1,2, . . . , N là ánh xạ dạng Krasnoselskij-Mann và T0k = I − λkµF là ánh xạ dạng đường dốc lai ghép.
Mục tiếp theo sau đây chúng tôi trình bày kết quả chứng minh sự hội tụ mạnh của Thuật toán 2.1. tới nghiệm của bài toán VIP(F, C).