Để thuận lợi cho việc theo dõi, chúng tôi nêu lại bài toán điểm bất động đã được đề cập tới ở Chương 1.
Cho C là một tập lồi, đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H và
T : C →C là một ánh xạ liên tục. Xét bài toán:
Tìm x∗ ∈ C sao cho:
x∗ = T(x∗). (2.1) Tập hợp những điểm x∗ ∈ X thỏa mãn (2.1) được gọi là tập điểm bất động của T và ký hiệu là F ix(T).
Phương pháp lặp Mann được Mann W. R. [15] đề xuất vào năm 1953. Với phương pháp này dãy lặp {xn}∞n=0 được xác định như sau:
x0 ∈ C, xn+1 = (1−αn)xn+ αnT(xn), n= 0,1,2, . . . , (2.2) ở đây, {αn}∞n=0 ⊂ (0,1).
Khi αn = γ, với mọi n, thì dãy lặp Mann trở thành dãy lặp dạng Krasnoselskij:
x0 ∈ C, xn+1 = (1−γ)xn+ γT(xn), n = 0,1,2, . . . . (2.3) Với phương pháp này, Mann W. R. [15] đã chứng minh rằng, nếu dãy số {αn}∞n=0 ⊂ (0,1) thỏa mãn điều kiện P∞
n=0αn(1−αn) =∞ thì dãy lặp
{xn}∞n=0 hội tụ yếu tới một điểm bất động của ánh xạ T, với T là ánh xạ không giãn từ một tập lồi đóng khác rỗng C của không gian Hilbert H
vào chính nó.
Năm 1967, Browder F. E. và Petryshyn W. V. [5] là những người đầu tiên vận dụng phương pháp lặp Mann để đưa ra được kết quả hội tụ mạnh cho dãy lặp {xn}∞n=0 tới một điểm bất động của ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert. Kết quả đó được trình bày trong định lý sau.
Định lý 2.1. (xem [5]) Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập lồi đóng bị chặn của H và T : C −→ C là một ánh xạ λ-giả co chặt. Khi đó, với mỗi γ ∈ (1−λ,1), dãy {xn}∞n=0 xác định bởi:
x0 ∈ C, xn+1 = γxn+ (1−γ)T xn
hội tụ yếu tới điểm bất động của T. Hơn nữa, nếu T là d-compact thì dãy
(2.4) hội tụ mạnh tới điểm bất động của T.
Năm 1974, Rhoades B. E. [21] đưa ra kết quả sau:
Định lý 2.2. (xem [21]) Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập lồi, compact của H và T : C −→ C là một ánh xạ λ-giả co chặt. Giả sử rằng {αn}∞n=0 là một dãy số thực thỏa mãn các điều kiện:
(i) α0 = 1; (ii) 0 < αn < 1, n ≥ 1;
(iii) P∞
n=1αn = ∞; (iv) lim
n→∞αn = α < 1−λ.
Khi đó, dãy {xn}∞n=0 xác định bởi (2.2) hội tụ mạnh đến điểm bất động của T.
Năm 2006, Marino G. và Xu H. K. [16] đưa ra kết quả hội tụ yếu của dãy (2.2) tới điểm bất động của ánh xạ λ-giả co chặt trong không gian Hilbert, khi dãy số {αn}∞n=0 thỏa mãn các điều kiện:
(i) λ < αn < 1;
(ii) P∞
n=0(αn−λ)(1−αn) = ∞.