Bài toán cân bằng véctơ trên tập trù mật
2.4.1 Bài toán tối ưu véctơ
Giả sử X và Z là không gian lồi địa phương Hausdorff, C ⊆ Z là nón nhọn, lồi; K là tập con khác rỗng của X và F : K →Z là hàm vécctơ.
Định nghĩa 2.4.1. Ta nói rằng điểm x0 ∈ K là
(i) điểm hữu hiệu yếu của F nếu F(y)−F(x0) ∈ −/ intC với mọiy ∈ K. (ii) điểm hữu hiệu của F nếu F(y)−F(x0) ∈ −/ C\{0} với mọi y ∈ K. Định lý 2.4.2. Giả sử X là không gian Banach phản xạ và Z là không gian lồi địa phương Hausdorff; C ⊆ Z là nón lồi, nhọn với phần trong khác rỗng và K là tập con không rỗng, lồi, đóng của X. Giả sử D ⊆ K là tập tự trù mật đoạn đối với tôpô yếu của X và ánh xạ F : K → Z thỏa mãn điều kiện sau:
(i) F là C- nửa liên tục dưới trên K; (ii) F là C- nửa liên tục trên trên K\D; (iii)F là C- hàm trên D;
(iv) Tồn tại r > 0, sao cho với mọi x ∈ K,kxk ≤r, tồn tại y0 ∈ D với
ky0k< r thỏa mãn
F(y0)−F(x) ∈ −intC ∪ {0}.
Khi đó tồn tại một điểm hữu hiệu yếu của F.
Chứng minh. Xét ánh xạ f : K ×K → Z bởi công thức
f(x, y) =F(y)−F(x).
Khi đó tất cả các điều kiện của Định lí 2.2.4 được thỏa mãn. Áp dụng Định lý 2.2.4 tồn tại x0 ∈ K sao cho
Điều này kéo theo
F(x)−F(x0) ∈ −/ intC với mọi x ∈ K.
Định lý 2.4.3. Giả sử X là không gian Banach phản xạ và Z là không gian lồi địa phương Hausdorff; C ⊆ Z là nón lồi, nhọn và K là tập con không rỗng, lồi, đóng của X. Giả sử D ⊆ K là tập tự trù mật đoạn đối với tôpô yếu của X và ánh xạ F : K → Z thỏa mãn điều kiện sau:
(i) F là C- nửa liên tục dưới mạnh trên K; (ii) F là C- nửa liên tục trên mạnh trên K\D; (iii)F là C- hàm trên D;
(iv) Tồn tại r > 0, sao cho với mọi x ∈ K,kxk ≤r, tồn tại y0 ∈ D với
ky0k< r thỏa mãn
F(y0)−F(x) ∈ −C.
Khi đó tồn tại một điểm hữu hiệu của F.
Chứng minh. Xét ánh xạ f : K ×K → Z bởi công thức
f(x, y) =F(y)−F(x).
Khi đó tất cả các điều kiện của Định lí 2.2.4 được thỏa mãn. Áp dụng Định lý 2.2.4 tồn tại x0 ∈ K sao cho
f(x, x0) ∈ −/ C\{0} với mọi x ∈ K.
Điều này kéo theo
2.4.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ MintyGiả sử X và Z là không gian lồi địa phương Hausdorff, C ⊆ Z là nón nhọn, Giả sử X và Z là không gian lồi địa phương Hausdorff, C ⊆ Z là nón nhọn, lồi; K là tập con khác rỗng của X và F : K → L(X, Z) là ánh xạ từ X
vào L(X, Z), ở đây L(X, Z) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Z. Với x∗ ∈ L(X, Z) và x ∈ X, hx∗, xi được hiểu là giá trị của
x∗ tại x.
Xét các bài toán sau
(1). Bất đẳng thức biến phân véctơ yếu Minty: Tìm x0 ∈ K sao cho
hF(y), y−x0i ∈ −/ intC với mọi y ∈ K.
(2). Bất đẳng thức biến phân véctơ mạnh Minty: Tìm x0 ∈ K sao cho
hF(y), y−x0i ∈ −/ C\{0} với mọi y ∈ K.
Định lý 2.4.4. Giả sử X và Z là không gian lồi địa phương Hausdorff;
C ⊆ Z là nón lồi, nhọn với phần trong khác rỗng và K là tập con không rỗng, lồi, compact của X. Giả sử D ⊆ K là tập tự trù mật đoạn trong K
và ánh xạ F : K → L(X, Z) thỏa mãn các điều kiện dưới đây:
(i) Với mỗi x ∈ K, ánh xạ y → hF(y), y −xi là C- nửa liên tục trên trên K\D;
(ii) Với mỗi x ∈ D, ánh xạ y → hF(y), y−xi là C- hàm trên D. Khi đó tồn tại x0 ∈ K sao cho
hF(y), y−x0i 6∈ −intC với mọi y ∈ K.
Chứng minh. Xét ánh xạ f : K ×K → Z bởi công thức
f(x, y) =hF(y), y−xi.
Định lý 2.4.5. Giả sử X và Z là không gian lồi địa phương Hausdorff;
C ⊆ Z là nón lồi, nhọn và K là tập con không rỗng, lồi, compact của X. Giả sử D ⊆K là tập tự trù mật đoạn trong K và ánh xạF : K → L(X, Z) thỏa mãn các điều kiện dưới đây:
(i) Với mỗi y ∈ K, ánh xạ x → hF(y), y −xi là C- nửa liên tục trên mạnh trên K;
(ii) Với mỗi x ∈ K, ánh xạ y → hF(y), y −xi là C- nửa liên tục trên mạnh trên K\D;
(iii) Với mỗi x ∈ D, ánh xạ y → hF(y), y−xi là C- hàm trên D. Khi đó tồn tại x0 ∈ K sao cho
hF(y), y−x0i 6∈ −C\{0} với mọi y ∈ K.
Chứng minh. Xét ánh xạ f : K ×K → Z bởi công thức
f(x, y) =hF(y), y−xi.