Bài toán cân bằng véctơ trên tập trù mật
2.2 Bài toán cân bằng véctơ yếu trên tập tự trù mật đoạn
nên
[sα+(un −uα), sα+(uα−un)]∩U 6= ∅,
với mọi ∈ [0, δ] và α ≥ α0. Vậy
(s+G)∩conv{u1, u2, ..., un} ∩U 6= ∅.
Điều này mâu thuẫn với (2.1). Vậy bổ đề được chứng minh.
Nhận xét. Giả thiết U tự trù mật đoạn trong V trong Bổ đề 2.1.5 không thể bỏ đi được. Ví dụ sau đây chứng minh cho khẳng định đó.
Ví dụ 2.1.6. Gọi V là hình cầu đơn vị đóng trong không gian Banach vô hạn chiều X và x, y ∈ V, x 6= y. Xét hai điểm u, v ∈ (x, y) với u =
x+t1(y−x), v = x+t2(y−x), t1, t2 ∈ (0,1)vàt1 < t2. Khi đóU = V\[u, v] là tập trù mật trong V, nhưng nó không tự trù mật đoạn trong V bởi vì tập [x, y]∩ U = [x, u) ∪ (v, y] không trù mật trong [x, y]. Hơn nữa ta dễ dàng kiểm tra được
cl(conv{x, y} ∩U) 6= conv{x, y}.
Vậy Bổ đề 2.1.5 không đúng trong trường hợp này.
2.2 Bài toán cân bằng véctơ yếu trên tập tự trù mậtđoạn đoạn
Trong phần này, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ yếu với công cụ chủ yếu là Nguyên lý ánh xạ KKM.
Định lý 2.2.1. Giả sử X và Z là không gian lồi địa phương Hausdorff;
C ⊆ Z là nón lồi, nhọn với phần trong khác rỗng và K là tập con không rỗng, lồi, compact của X. Giả sử D ⊆ K là tập tự trù mật đoạn và ánh xạ
f : K ×K → Z thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Với mỗi y ∈ D, f(., y) là C- nửa liên tục trên trên K; (ii) Với mỗi x ∈ K, f(x, .) là C- nửa liên tục trên trên K\D; (iii) Với mỗi x ∈ D, f(x, .) là C- hàm trên D;
(iv) Với mỗi x ∈ D, f (x, x) ∈ −/ intC. Khi đó tồn tại x0 ∈ K sao cho
f(x0, y) 6∈ −intC với mọi y ∈ K.
Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị G: D → 2K bởi
G(y) = {x ∈ K : f(x, y) ∈ −/ intC}.
Ta chứng minh với mỗi y ∈ D, G(y)là một tập đóng. Thật vậy, giả sử {xα}
là dãy trong G(y), limxα = x. Ta chỉ ra x ∈ G(y). Giả sử x /∈ G(y). Khi đó,
f(x, y) ∈ −intC. (2.2)
Vì f(., y) là C- nửa liên tục trên tại x nên với mọi k ∈ intC, tồn tạiα0 sao cho
f(xα, y) ∈ f(x, y) +k −intC với mọi α ≥ α0.
Bằng cách chọn k = −f(x, y) ∈ intC, ta suy ra
f(xα, y) ∈ −intC với mọi α ≥ α0.
Điều này mâu thuẫn với {xα} ⊆ G(y). Vậy x ∈ G(y) và do đó G(y) đóng. Vì K compact nên G(y) compact với mọi x ∈ D. Tiếp theo ta chứng minh G là ánh xạ KKM. Thật vậy, giả sử tồn tại y1, y2, ..., yn ∈ D và
y ∈ conv{y1, y2, ..., yn} ∩D sao cho
Từ đó suy ra tồn tại λ1, λ2, ..., λn ≥ 0, n P i=1 λi = 1 sao cho n X i=1 λiyi ∈ D và n X i=1 λiyi ∈ ∪/ ni=1G(yi). Điều này chứng tỏ f n X i=1 λiyi, yi !
∈ −intC với mọi i = 1,2, ..., n.
Bởi tính lồi của −intC,
n X i=1 λif n X i=1 λiyi, yi ! ∈ −intC.
Từ giả thiết (iii), ta thu được
n X i=1 λif n X i=1 λiyi, yi ! −f n X i=1 λiyi, n X i=1 λiyi ! ∈ C. Từ đó suy ra f n X i=1 λiyi, n X i=1 λiyi ! ∈ −intC.
Điều này mâu thuẫn với (iv). Vậy
conv{y1, ..., yn} ∩D ⊆ ∪ni=1G(yi). Từ đó suy ra cl(conv{y1, ..., yn} ∩D) ⊆cl (∪ni=1G(yi)) =∪ni=1G(yi). Sử dụng Bổ đề 2.1.5, ta có cl(conv{y1, ..., yn} ∩D) = conv{y1, ..., yn}. Vậy conv{y1, ..., yn} ⊆ ∪ni=1G(yi).
Từ đó suy ra G là ánh xạ KKM. Áp dụng Bổ đề Fan, ta thu được
∩y∈DG(y) 6= ∅.
Điều này chứng tỏ tồn tại x0 ∈ K sao cho
f(x0, y) ∈ −/ intC với mọi y ∈ D. (2.3) Ta chứng minh
f(x0, y) ∈ −/ intC với mọi y ∈ K.
Giả sử tồn tại y0 ∈ K\D sao cho f(x0, y0) ∈ −intC. Vì f(x0, .) là C- nửa liên tục trên tại y0 nên với mọi k ∈ intC, tồn tại lân cận U của y0 sao cho
f(x0, y) ∈ f(x0, y0) +k−intC với mọi y ∈ U.
Bằng cách chọn k = −f(x0, y0), ta được
f(x0, y) ∈ −intC với mọi y ∈ U.
Vì D = K nên tồn tại u0 ∈ U ∩D. Từ đó suy ra f(x0, u0) ∈ −intC. Điều này mâu thuẫn với (2.3). Vậy
f(x0, y) ∈ −/ intC với mọi y ∈ K.
Định lý được chứng minh.
Điều kiện compact đối với Định lý 2.2.1 tương đối nặng. Định lý sau thay điều kiện compact của K bởi điều kiện bức nhẹ hơn.
Định lý 2.2.2. Giả sử X và Z là không gian lồi địa phương Hausdorff;
C ⊆ Z là nón lồi, nhọn với phần trong khác rỗng và K là tập con không rỗng, lồi, đóng của X. Giả sử D ⊆ K là tập tự trù mật đoạn và ánh xạ
f : K ×K → Z thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Với mỗi y ∈ D, f(., y) là C- nửa liên tục trên trên K; (ii) Với mỗi x ∈ K, f(x, .) là C- nửa liên tục trên trên K\D;
(iii) Với mỗi x ∈ D, f(x, .) là C- hàm trên D; (iv) Với mỗi x ∈ D, f (x, x) ∈ −/ intC;
(v) Tồn tại tập con compact K0 của X và điểm y0 ∈ D sao cho
f(x, y0) ∈ −intC với mọi x ∈ K\K0.
Khi đó tồn tại x0 ∈ K sao cho
f(x0, y) 6∈ −intC với mọi y ∈ K.
Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị G: D → 2K bởi
G(y) = {x ∈ K : f(x, y) ∈ −/ intC}.
Theo chứng minh của Định lý 2.2.1, G là ánh xạ KKM với giá trị đóng. Ta chứng minh G(y0) ⊆ K0. Thật vậy, giả sử G(y0) 6⊆ K0. Khi đó tồn tại
z ∈ G(y0)\K0 ⊆ K\K0. Sử dụng giả thiết (v), ta được f(z, y0) ∈ −intC. Điều này mâu thuẫn với z ∈ G(y0). Vậy G(y0) ⊆ K0. Vì K0 compact nên
G(y0) compact. Sử dụng Bổ đề Fan,
∩y∈DG(y) 6= ∅.
Chứng minh một cách tương tự như Định lý 2.2.1, tồn tại x0 ∈ K sao cho
f(x0, y) 6∈ −intC với mọi y ∈ K.
Định lý được chứng minh hoàn toàn.
Định lý 2.2.3. Giả sử X là không gian Banach phản xạ và Z là không gian lồi địa phương Hausdorff; C ⊆ Z là nón lồi, nhọn với phần trong khác rỗng và K là tập con không rỗng, lồi, đóng của X. Giả sử D ⊆ K là tập tự trù mật đoạn đối với tôpô yếu của X và ánh xạ f : K ×K → Z thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Với mỗi y ∈ D, f(., y) là C- nửa liên tục trên trên K đối với tôpô yếu của X;
(ii) Với mỗi x ∈ K, f(x, .) là C- nửa liên tục trên trên K\D đối với tôpô yếu của X;
(iii) Với mỗi x ∈ K, f(x, .) là C- hàm trên K; (iv) Với mỗi x ∈ K, f (x, x) = 0;
(v) Tồn tại r > 0 sao cho với mọi x ∈ K,kxk > r, tồn tại y0 ∈ K với
ky0k< kxk thỏa mãn điều kiện
f(x, y0) ∈ −intC ∪ {0}.
Khi đó tồn tại x0 ∈ K sao cho
f(x0, y) 6∈ −intC với mọi y ∈ K.
Chứng minh. Gọi r > 0 thỏa mãn (v). Đặt K0 := K ∩ B¯r1, ở đây r1 > r. Hiển nhiên K0 compact yếu. Sử dụng Định lý 2.2.1, tồn tại x0 ∈ K0 sao cho
f(x0, y) 6∈ −intC với mọi y ∈ K0.
Ta chứng minh tồn tại z0 ∈ K0,kz0k < r1 sao cho f(x0, z0) = 0. Thật vậy, nếu kx0k < r1 thì ta chỉ cần chọn z0 = x0 và khẳng định trên được chứng minh. Nếu kx0k = r1 > r thì bởi giả thiết (v), tồn tại z0 ∈ K,kz0k <
kx0k = r1 sao cho f(x0, z0) ∈ −intC ∪ {0}. Mặt khác, do z0 ∈ K0 nên
f(x0, z0) 6∈ −intC. Vậy f(x0, z0) = 0. Để kết thúc chứng minh ta cần chỉ ra
f(x0, y) 6∈ −intC với mọi y ∈ K.
Thật vậy, giả sử tồn tại y ∈ K sao cho f(x0, y) ∈ −intC. Khi đó tồn tại
λ ∈ [0,1] sao cho λz0 + (1−λ)y ∈ K0. Điều này chứng tỏ
f(x0, λz0 + (1−λ)y) 6∈ −intC. (2.4) Từ giả thiết (iii), ta có
Điều này tương đương với
(1−λ)f(x0, y)−f(x0, λz0 + (1−λ)y) ∈ C.
Từ đó suy ra
f(x0, λz0 + (1−λ)y) ∈ (1−λ)f(x0, y)−C ⊆ −intC.
Điều này mâu thuẫn với (2.4). Vậy
f(x0, y) 6∈ −intC với mọi y ∈ K.
Định lý được chứng minh.
Định lý 2.2.4. Giả sử X là không gian Banach phản xạ và Z là không gian lồi địa phương Hausdorff; C ⊆ Z là nón lồi, nhọn với phần trong khác rỗng và K là tập con không rỗng, lồi, đóng của X. Giả sử D ⊆ K là tập tự trù mật đoạn đối với tôpô yếu của X và ánh xạ f : K ×K → Z thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Với mỗi y ∈ D, f(., y) là C- nửa liên tục trên trên K đối với tôpô yếu của X;
(ii) Với mỗi x ∈ K, f(x, .) là C- nửa liên tục trên trên K\D đối với tôpô yếu của X;
(iii) Với mỗi x ∈ K, f(x, .) là C- hàm trên D; (iv) Với mỗi x ∈ K, f (x, x) ∈ −/ intC;
(v) Tồn tại r > 0 sao cho với mọi x ∈ K,kxk ≤ r, tồn tại z0 ∈ D với
kz0k < r thỏa mãn điều kiện
f(x, z0) ∈ −intC ∪ {0}.
Khi đó tồn tại x0 ∈ K sao cho
Chứng minh. Gọi r > 0 thỏa mãn (v). Đặt K0 := K ∩B¯r. Hiển nhiên K0
compact yếu. Sử dụng Định lý 2.2.1, tồn tại x0 ∈ K0 sao cho
f(x0, y) 6∈ −intC với mọi y ∈ K0.
Sử dụng giả thiết (v), tồn tại z0 ∈ K0,kz0k < r sao cho
f(x0, z0) ∈ −intC ∪ {0}.
Vì z0 ∈ K0 nên f(x0, z0) 6∈ −intC. Vậy f(x0, z0) = 0. Trước tiên ta chứng minh
f(x0, y) 6∈ −intC với mọi y ∈ D.
Thật vậy, giả sử tồn tại y ∈ D\K0 sao cho f(x0, y) ∈ −intC. Bởi tính trù mật từng đoạn của D trong K, tồn tại λ ∈ [0,1] sao cho
λz0 + (1−λ)y ∈ D ∩K0.
Điều này chứng tỏ
f(x0, λz0 + (1−λ)y) 6∈ −intC. (2.5) Từ giả thiết (iii), ta có
λf(x0, z0) + (1−λ)f(x0, y)−f(x0, λz0 + (1−λ)y) ∈ C.
Điều này kéo theo
(1−λ)f(x0, y)−f(x0, λz0 + (1−λ)y) ∈ C.
Từ đó suy ra
f(x0, λz0 + (1−λ)y) ∈ (1−λ)f(x0, y)−C ⊆ −intC.
Điều này mâu thuẫn với (2.5). Vậy
Cuối cùng ta chỉ ra
f(x0, y) 6∈ −intC với mọi y ∈ K.
Giả sử tồn tại y0 ∈ K\D sao cho f(x0, y0) ∈ −intC. Vì f(x0, .) là C- nửa liên tục trên tại y0 nên với mọi k ∈ intC, tồn tại lân cận U của y0 sao cho
f(x0, y) ∈ f(x0, y0) +k−intC với mọi y ∈ U.
Bằng cách chọn k = −f(x0, y0), ta được
f(x0, y) ∈ −intC với mọi y ∈ U.
Vì D = K nên tồn tại u0 ∈ U ∩D. Từ đó suy ra f(x0, u0) ∈ −intC. Điều này mâu thuẫn với (2.6). Vậy
f(x0, y) ∈ −/ intC với mọi y ∈ K.
Định lý được chứng minh.