R. Brown và O. Mucuk [3] đã giải thích định lý về sự tồn tại và phân lớp đối đồng điều các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo bằng cách sử dụng phương pháp phức chéo. Gần đây, N. T. Quang và các cộng sự [23] đã sử dụng lý thuyết cản trở của hàm tử monoidal để chứng minh kết quả trong [3]. Trong đó, sự phân lớp đối đồng điều các mở rộng như là một hệ quả của lý thuyết Schreier cho các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo nhờ vào các hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù chặt chẽ.
Mục này sẽ trình bày một phiên bản của các kết quả trong [23] cho trường hợp môđun chéo aben.
3.3.1 Định nghĩa. Giả sử M = (B, D, d) là môđun chéo aben và Q là nhóm aben. Mộtmở rộng aben của B bởi Q kiểu Mlà một biểu đồ các đồng cấu nhóm
E : 0 //B j //E p // ε Q //0, B d //D (3.3.1)
trong đó dòng trên là khớp và (idB, ε) là một đồng cấu của các môđun chéo aben.
Từ định nghĩa, ta thấy rằng mỗi mở rộng aben kiểu môđun chéo aben là một mở rộng nhóm kiểu môđun chéo.
Hai mở rộng E và E0 của B bởi Q kiểu môđun chéo aben B −→d D được gọi là
hai mở rộng tương đương nếu tồn tại đồng cấu α : E → E0 sao cho biểu đồ sau giao hoán E : 0 //B j //E p // α Q //0, E ε //D E0 : 0 //B j0 //E0 p0 //Q //0, E0 ε0 //D (3.3.2)
và ε0α =ε. Hiển nhiên α là một đẳng cấu.
Tiếp theo chúng tôi chỉ ra một điều kiện cần của một mở rộng aben kiểu môđun chéo aben. Xét biểu đồ
E : 0 //B j //E p // ε Q // ψ 0 B d //D q//Cokerd (3.3.3)
Do dòng trên là khớp và do q ◦ε ◦j = q ◦d = 0 nên tồn tại một đồng cấu ψ :Q→Cokerd sao cho hình vuông thứ hai giao hoán. Hơn nữa, đồng cấu ψ chỉ phụ thuộc vào lớp tương đương của mở rộng E. Khi đó ta nói E cảm sinh đồng cấu ψ.
Mục đích của chúng tôi là nghiên cứu tập ExtabB→D(Q, B, ψ)
các lớp tương đương các mở rộng aben của B bởi Q kiểu môđun chéo aben B →d D cảm sinh ψ :Q→Cokerd. Kỹ thuật được chúng tôi sử dụng trong phần này là kỹ thuật hệ nhân tử đối với mở rộng aben kiểu môđun chéo aben.
Bổ đề sau đây trình bày phép dựng mở rộng aben kiểu môđun chéo aben cảm sinh đồng cấu ψ từ hàm tử monoidal đối xứng của các phạm trù Picard chặt chẽ PB→D và DissQ, trong đó DissQ = R(Q,0,0) (và cũng chính là phạm trù Picard liên kết với môđun chéo aben (0, Q,0)).
3.3.2 Bổ đề. Cho môđun chéo abenB →D, nhóm abenQvà đồng cấu nhóm ψ : Q→Cokerd. Khi đó, với mỗi hàm tử monoidal đối xứng (F,Fe) : DissQ→PB→D
thỏa mãn F(0) = 0 và cảm sinh cặp đồng cấu (ψ,0) : (Q,0)→(Cokerd,Kerd) tồn tại mở rộng EF của B bởi Q kiểu môđun chéo aben B →D cảm sinh ψ.
Mở rộng EF được gọi là mở rộng tích chéo liên kết với hàm tử monoidal đối xứng (F,Fe).
Chứng minh. Giả sử(F,Fe) : DissQ→PB→D là một hàm tử monoidal đối xứng. Khi đó ta đặt hàm f : Q×Q → B được xác định f(u, v) = Feu,v. Do Feu,v là mũi tên trong P nên
F(u) +F(v) = df(u, v) +F(u+v).
Hơn nữa, vì F(0) = 00 và tính tương thích của (F,Fe) với các ràng buộc chặt chẽ của DissQ và PB→D nên f là một hàm chuẩn tắc thỏa mãn
f(v, t) +f(u, v+t) = f(u, v) +f(u+v, t), (3.3.4)
f(u, v) = f(v, u). (3.3.5) Với hàm f được xác định như trên, ta dựng được tích nửa trực tiếp E0= [B, f, Q], nghĩa là tập E0=B×f Q cùng với phép toán
(b, u) + (c, v) = (b+c+f(u, v), u+v)
là một nhóm aben do các hệ thức (3.3.4) và (3.3.5), trong đó phần tử trung hòa là (0,0) và phần tử đối của (b, u) là −(b, u) = (−b−f(u,−u),−u). Khi đó ta có dãy khớp các nhóm aben
EF : 0→B →j0 E0 →p0 Q→0,
trong đó j0(b) = (b,0), p0(b, u) =u với b∈B và u∈Q. Mặt khác, xét ánh xạ ε:E0 →D được xác định
Ánh xạ này là một đồng cấu và hơn nữa cặp (idB, ε) là một đồng cấu của các môđun chéo aben.
Vậy ta có mở rộng kiểu môđun chéo aben EF thỏa mãn biểu đồ (3.3.1). Hơn nữa, với mọi u∈Q,
qε(b, u) =q(db+F(u)) = qF(u) =ψ(u),
nghĩa là mở rộng EF cảm sinh ψ :Q→Cokerd.
Trong bổ đề trên, hàm f mô tả hàm tử monoidal đối xứng từ DissQ đến PB→D là một hệ nhân tử đối với mở rộng aben kiểu môđun chéo aben.
Định lý sau đây trình bày về sự phân lớp các mở rộng aben kiểu môđun chéo aben nhờ vào các hàm tử monoidal đối xứng. Ký hiệu HomP ic(ψ,0)[DissQ,PB→D] là tập các lớp đồng luân của các hàm tử monoidal đối xứng kiểu (ψ,0) từ DissQ đến PB→D.
3.3.3 Định lý. (Lý thuyết Schreier cho các mở rộng aben kiểu môđun chéo
aben) Cho môđun chéo aben B →D, nhóm aben Q và đồng cấuψ :Q→Cokerd. Khi đó tồn tại một song ánh
Ω : HomP ic(ψ,0)[DissQ,PB→D]→ExtabB→D(Q, B, ψ)
nếu một trong hai tập nói trên khác rỗng.
Chứng minh. Bước 1: Hai hàm tử monoidal đối xứng(F,Fe)và (F0,Fe0)đồng luân khi và chỉ khi hai mở rộng tích chéo liên kết tương ứng EF và EF0 tương đương
Trước hết vì mỗi hàm tử monoidal đối xứng (F,Fe) đồng luân với một hàm tử monoidal đối xứng (G,Ge) có tính chất G(0) = 0 nên các hàm tử monoidal đối xứng được sử dụng trong phép chứng minh này được giả thiết là có tính chất đó.
Giả sử F và F0: DissQ→PB→D là hai hàm tử monoidal đối xứng đồng luân bởi đồng luân α :F →F0. Theo Bổ đề 3.3.2, tồn tại hai mở rộng EF và EF0 liên kết tương ứng với F và F0. Khi đó từ định nghĩa đồng luân, ta có α0 = 0 và biểu đồ sau giao hoán
F u+F v F(u+v) F0u+F0v F0(u+v) - e Fu,v ? αu⊗αv ? αu+v - e Fu,v0
Nghĩa là
e
Fu,v+αu+v =αu⊗αv+Fe0u,v.
Từ hệ thức (3.1.2) và cách đặt Feu,v =f(u, v), Feu,v0 =f0(u, v), ta được
f(u, v) +αu+v=αu+αv+f0(u, v). (3.3.6)
Xét ánh xạ
α∗ :EF →EF0
(b, u)7→(b+αu, u).
Khi đó hệ thức (3.3.6) kéo theoα∗ là một đồng cấu. Hơn nữa, biểu đồ (3.3.2) là giao hoán. Tiếp theo ta sẽ chỉ ra ε0α∗ =ε. Do α :F → F0 là một đồng luân nên F(u) = d(αu) +F0(u). Do đó
ε0α∗(b, u) = ε0(b+αu, u) =d(b+αu) +F0(u)
=d(b) +d(αu) +F0(u) =d(b) +F(u) =ε(b, u). Vậy hai mở rộng EF và EF0 tương đương.
Ngược lại, nếu đẳng cấu α∗ :EF →EF0 là một tương đương giữa hai mở rộng thì α∗ được xác định
α∗(b, u) = (b+αu, u),
trong đó ánh xạ α:Q→B thỏa mãn α0 = 0. Thực hiện ngược lại từng bước lập luận trên ta được α là một đồng luân của F và F0.
Bước 2: Ω là toàn ánh.
Giả sử E là một mở rộng E của B bởi Q kiểu môđun chéo aben B →D cảm sinh ψ :Q→Cokerd. Ta chứng tỏ E tương đương với một mở rộng tích chéo EF
liên kết với một hàm tử monoidal đối xứng (F,Fe) : DissQ→PB→D.
Với mỗi u∈Q, ta chọn phần tử đại diện eu ∈E sao cho p(eu) = u và e0 = 0. Mỗi phần tử trong E có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng b+eu với b ∈ B và u ∈ Q. Hệ đại diện {eu} cảm sinh một hàm chuẩn tắc f : Q×Q → B xác định bởi
eu+ev =f(u, v) +eu+v. (3.3.7) Khi đó ta có thể mô tả cấu trúc nhóm trên E như sau
Tiếp theo ta dựng hàm tử monoidal đối xứng (F,Fe) : DissQ → P như sau. Do ψ(u) =ψp(eu) =qε(eu) nênε(eu) là một đại diện của ψ(u)trong D. Khi đó ta đặt
F u=ε(eu), Feu,v =f(u, v).
Hệ thức (3.3.7) chứng tỏ Feu,v là những mũi tên phù hợp trong P. Tính tự nhiên của Feu,v và F(0) = 0 là hiển nhiên. Điều này cùng với tính chuẩn tắc của hàm f(u, v) kéo theo tính tương thích của (F,Fe) với các ràng buộc đơn vị. Luật kết hợp và luật giao hoán của phép toán trong E kéo theo các hệ thức (3.3.4) và (3.3.5). Hai hệ thức này lần lượt đảm bảo cho (F,Fe) tương thích với ràng buộc kết hợp và ràng buộc giao hoán. Dễ thấy F bảo toàn phép hợp thành của các mũi tên.
Cuối cùng, nhờ đẳng cấu β : (b, u)7→b+eu ta có thể kiểm tra được mở rộng tích chéo EF liên kết với (F,Fe) tương đương với mở rộng E.
R. Brown và O. Mucuk đã phân lớp đối đồng điều các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo (xem [3, Định lý 5.2]). Định lý sau đây phát biểu kết quả tương tự cho trường hợp các mở rộng aben kiểu môđun chéo aben. Phần chứng minh của định lý được suy ra từ lý thuyết cản trở của các hàm tử monoidal đối xứng (xem Mục 1.4) và lý thuyết Schreier cho các mở rộng aben kiểu môđun chéo aben (Định lý 3.3.3). Trước hết, chúng tôi mô tả cản trở của cặp đồng cấu (ψ,0) : (Q,0)→(Cokerd,Kerd).
Giả sử P = PB→D là phạm trù Picard chặt chẽ liên kết với môđun chéo B →D. Khi đó vì π0(P) = Cokerdvà π1(P) = Kerdnên phạm trù Picard thu gọn P(h) có dạng
P(h) =
Z
(Cokerd,Kerd, h), vớih ∈Hs3(Cokerd,Kerd).
Khi đó, theo (1.4.1) cặp đồng cấu (ψ,0) : (Q,0)→ (Cokerd,Kerd) cảm sinh một cản trở ψ∗h∈Zs3(Q,Kerd).
3.3.4 Định lý. Cho môđun chéo aben (B, D, d) và đồng cấu của các nhóm aben
ψ :Q→Cokerd. Khi đó
(i) Sự triệt tiêu của ψ∗h trong Hs3(Q,Kerd) là điều kiện cần và đủ để tồn tại mở rộng aben của B bởi Q kiểu B →D cảm sinh ψ;
(ii) Khi ψ∗h triệt tiêu thì tồn tại một song ánh
ExtabB→D(Q, B, ψ)↔Hs2(Q,Kerd).
Chứng minh. (i) Vì giả thiết ψ∗h = 0 nên theo Mệnh đề 1.4.2 (ii), tồn tại một hàm tử monoidal đối xứng (Ψ,Ψ) : Dise sQ→P(h). Bằng việc lấy hợp thành của (Ψ,Ψ)e và hàm tử monoidal đối xứng chính tắc (H,He) : P(h)→ P, ta được một hàm tử monoidal đối xứng(F,Fe) : DissQ→P, do đó từ Bổ đề 3.3.2 ta thu được mở rộng tích chéo liên kết EF.
Ngược lại, giả sử tồn tại mở rộng kiểu môđun chéo aben thỏa mãn biểu đồ (3.3.3). GọiP0 là phạm trù Picard chặt chẽ liên kết với môđun chéo B →E. Khi đó theo Bổ đề 3.2.2, tồn tại một hàm tử monoidal đối xứngF :P0 →P. Vì phạm trù Picard thu gọn của P0 là DissQ nên từ Mệnh đề 1.4.1, F cảm sinh một hàm tử monoidal đối xứng kiểu(ψ,0)từDissQtới P(h) = (Cokerd,Kerd, h). Hơn nữa, Mệnh đề 1.4.2 (ii) kéo theo cản trở của cặp (ψ,0) triệt tiêu trong Hs3(Q,Kerd), nghĩa là ψ∗h = 0.
(ii) Do P(h) là phạm trù Picard thu gọn của P nên tồn tại một song ánh tự nhiên
HomP ic(ψ,0)[DissQ,P]↔HomP ic(ψ,0)[DissQ,P(h)]. (3.3.8) Vì π0(DissQ) =Q và π1(P(h)) = Kerd nên từ song ánh (3.3.8), Định lý 3.3.3 và Mệnh đề 1.4.2 (ii) ta được
ExtB→D(Q, B, ψ)↔Hs2(Q,Kerd).
Định lý đã được chứng minh.
Trường hợp đồng cấu d của môđun chéo aben M là đơn cấu, biểu đồ (3.3.3) chứng tỏ rằng (E : B → E → Q) nhận được từ mở rộng (D :B →D → Cokerd) bởi ψ (xem [13, tr. 212] và [19, tr. 113]). Do Kerd = 0 nên từ Định lý 3.3.4, ta nhận được một kết quả quen thuộc sau.
3.3.5 Hệ quả. Cho mở rộng nhóm aben D:B →D→C và đồng cấu ψ :Q→C
của các nhóm aben. Khi đó tồn tại mở rộng Dψ và mở rộng này được xác định duy nhất sai khác một tương đương.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Đề tài đã thu được các kết quả chính sau đây:
- Xây dựng tương đương phạm trù giữa phạm trù các môđun chéo bện với phạm trù các nhóm phạm trù chặt chẽ bện;
- Xây dựng tương đương phạm trù cho phạm trù các môđun chéo aben và phạm trù các phạm trù Picard chặt chẽ;
- Phát biểu và giải bài toán mở rộng aben kiểu môđun chéo aben
2. Kiến nghị
Trong thời gian tới, chúng tôi dự định nghiên cứu các vấn đề sau đây: - Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện;
- Tương đương phạm trù cho phạm trù các môđun chéo đẳng biến bện; - Bài toán mở rộng kiểu môđun chéo đẳng biến aben.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Anh
[1] E. Aldrovandi and B. Noohi (2009), Butterflies. I. Morphisms of 2-group stacks, Adv. Math., 221(3), 687–773.
[2] J. C. Baez and A. D. Lauda (2004), Higher-dimensional algebra. V. 2-groups,
Theory Appl. Categ., 12, 423–491.
[3] R. Brown and O. Mucuk (1994), Covering groups of nonconnected topological groups revisited, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 115(1), 97–110. [4] R. Brown and C. B. Spencer (1976), G-groupoids, crossed modules and the
fundamental groupoid of a topological group,Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 79=Indag. Math., 38(4), 296–302.
[5] M. Bullejos, P. Carrasco and A. M. Cegarra (1993), Cohomology with coef- ficients in symmetric cat-groups. An extension of Eilenberg-MacLane’s clas- sification theorem, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 114(1), 163–189. [6] P. Carrasco, A. M. Cegarra and A. R.-Grandjeán (2002), (Co)homology of
crossed modules. Category theory 1999, J. Pure Appl. Algebra, 168(2-3), 147–176.
[7] P. Carrasco and A. R. Garzón (2004), Obstruction theory for extensions of categorical groups. Homotopy theory, Appl. Categ. Structures 12(1), 35–61. [8] A. M. Cegarra and E. Khmaladze (2007), Homotopy classification of graded
Picard categories, Adv. Math., 213(2), 644–686.
[9] S. Eilenberg and S. MacLane (1947), Cohomology theory in abstract groups. II, Group extensions with a non-Abelian kernel, Ann. Math. 48(2), 326-341. [10] S. Eilenberg and S. MacLane, Cohomology theory of Abelian groups and homotopy theory I, II, III, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 36, (1950), 443– 447; 36, (1950), 657–663; 37, (1951), 307–310.
[11] S. Eilenberg and S. MacLane, On the groups H(Π, n) I, II, Ann. of Math.,
58, (1953), 55–106; 60, (1954), 49–139.
[12] A. Fr¨ohlich and C. T. C. Wall (1974), Graded monoidal categories, Com- positio Math., 28, 229–285.
[13] L. Fuchs (1970), Infinite abelian groups. Vol. I. Pure and Applied Mathe- matics, Academic Press, New York-London.
[14] A. R. Garzón and A. Del Río (2005), Equivariant extensions of categorical groups, Appl. Categ. Structures, 13(2), 131–140.
[15] A. Joyal and R. Street (1993), Braided tensor categories, Adv. Math.,
102(1), 20–78.
[16] M. L. Laplaza (1983), Coherence for categories with group structure: an alternative approach, J. Algebra, 84(2), 305–323.
[17] S. MacLane (1952), Cohomology theory of Abelian groups, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 2, 8–14.
[18] S. MacLane (1963), Natural associativity and commutativity, Rice Univ. Studies, 49(4), 28–46.
[19] S. MacLane (1963), Homology, Springer-Verlag, New York.
[20] B. Noohi (2007), Notes on 2-groupoids, 2-groups and crossed modules, Ho- mology, Homotopy Appl., 9(1), 75–106.
[21] K. Norrie (1990), Actions and automorphisms of crossed modules,Bull. Soc. Math. France, 118(2), 129–146.
[22] N. T. Quang (1994), Ann-categories and the Mac Lane-Shukla cohomology of rings.Abelian groups and modules, No. 11, 12 (Russian), 166–183, Tomsk. Gos. Univ., Tomsk..
[23] N. T. Quang, P. T. Cuc and N. T. Thuy (2014), Crossed modules and strict Gr-categories, Communications of the Korean Mathematical Society, 29(1), 9–22.
[24] N. T. Quang, N. T. Thuy and P. T. Cuc (2011), Monoidal functors between (braided) Gr-categories and their applications, East-West J. Math., 13(2), 163–186.
[25] N. T. Quang, C. T. K. Phung and N. S. Tung (2013), Abelian crossed modules and strict Picard categories,Albanian Journal of Mathematics,7(1), 37–48.
[26] R. L. Taylor (1953), Compound group extensions. I. Continuations of nor- mal homomorphisms, Trans. Amer. Math. Soc., 75, 106–135.
[27] J. H. C. Whitehead (1949), Combinatorial homotopy. II, Bull. Amer. Math. Soc., 55, 453–496.
Tiếng Pháp
[28] J. Bénabou (1963), Catégories avec multiplication, C. R. Acad. Sci. Paris,
256, 1887–1890.
[29] P. Dedecker (1964), Les foncteursExtΠ,HΠ2 etHΠ2 non abéliens, C. R. Acad. Sci. Paris, 258, 4891–4894.
[30] N. S. Rivano (1972),Catégories Tannakiennes, Lecture Notes in Mathemat- ics, 265, Springer-Verlag, Berlin-New York.
[31] H. X. Sinh (1975), Gr-catégories, Thèse de doctorat, Université Paris VII. [32] H. X. Sinh (1978), Gr-catégories strictes,Acta Math. Vietnam, 3(2), 47–59.
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
THUYẾT MINH ĐỀ TÀI
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP CƠ SỞ
1. TÊN ĐỀ TÀI
Môđun chéo aben và phạm trù Picard chặt chẽ
2. MÃ SỐ (do cán bộ quản lý ghi)
3. LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU
Tự nhiên Kỹ thuật Môi
trường Kinh tế;
XH-NV Nông Lâm ATLĐ
Giáo dục Y Dược Sở hữu
trí tuệ
4. LOẠI HÌNH NGHIÊN CỨU
Cơ bản Ứng dụng Triển khai x
5. THỜI GIAN THỰC HIỆN 12 tháng
Từ tháng 04 năm 2014 đến tháng 03 năm 2015
6. ĐƠN VỊ QUẢN LÝ VỀ CHUYÊN MÔN Khoa: Toán - Ứng dụng Tổ bộ môn: Đại số - Toán sơ cấp
7. CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI Họ và tên: Chế Thị Kim Phụng Năm sinh: 1981 Chức danh khoa học: Học vị: ThS-NCS
Đơn vị công tác: Khoa Toán - Ứng dụng Địa chỉ nhà riêng:
Điện thoại nhà riêng: Di động: 0916918008
E-mail: ctkphung@outlook.com
8. NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
TT Họ và tên Đơn vị công tác và
lĩnh vực chuyên môn
Nội dung nghiên cứu cụ thể
được giao Chữ ký
1 ThS. Chế Thị Kim Phụng Khoa Toán - Ứng dụng Chủ trì đề tài, trực tiếp tổ chức
và thực hiện nghiên cứu
2 ThS. Nguyễn Thị Vân Khánh Khoa Toán - Ứng dụng Tham gia đề tài
9. ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH
Tên đơn vị
trong và ngoài trường Nội dung phối hợp nghiên cứu Họ và tên người đại
diện đơn vị x
2
10. TỔ NG QUAN TÌNH H ÌNH NGH IÊN CỨU TH UỘ C LĨNH VỰC CỦA ĐỀ TÀI Ở TRO NG VÀ NGO ÀI NƯỚC
10.1. Tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài:
Lý thuyết phạm trù với tích tenxơ bắt đầu được nghiên cứu bởi Bénabou [1] và MacLane [10]. Các tác giả đã xét các phạm trù trên đó có trang bị một phép toán tenxơ cùng với đẳng cấu kết hợp a và các đẳng cấu đơn vị l, r thỏa mãn một số biểu đồ giao hoán. MacLane [10] gọi phạm trù này là
phạm trù monoidal và đưa ra điều kiện đủ cho tính khớp của các đẳng cấu tự nhiên a, l và r. Tác giả
cũng đưa ra điều kiện đủ cho tính khớp của các đẳng cấu tự nhiên trong một phạm trù monoidal đối
xứng, tức là một phạm trù monoidal có thêm đẳng cấu giao hoán c. Sau đó, lý thuyết phạm trù
monoidal đã được nhiều nhà toán học quan tâm và phát triển theo nhiều hướng khác nhau.
Phạm trù monoidal có thể được mịn hóa để trở thành phạm trù với cấu trúc nhóm bằng việc bổ sung vật khả nghịch (xem Laplaza [9] và Rivano [16]. Nếu phạm trù nền là một phỏng nhóm (nghĩa là mọi mũi tên đều đẳng cấu) thì ta được phạm trù monoidal giống nhóm (xem Frohlich và Wall [7])