Để thu được định lý phân lớp các môđun chéo aben, trước hết chúng tôi nghiên cứu về mối liên hệ giữa các đồng cấu môđun chéo aben và các hàm tử monoidal đối xứng giữa các phạm trù Picard liên kết tương ứng. Dưới đây, chúng tôi nhắc lại định nghĩa đồng cấu môđun chéo aben theo P. Carrasco và các đồng tác giả [6].
3.2.1 Định nghĩa. ([6]) Một đồng cấu (f1, f0) : (B, D, d)→ (B0, D0, d0) giữa hai môđun chéo aben bao gồm hai đồng cấu nhóm f1 :B → B0 và f0 : D → D0 sao cho f0d =d0f1.
Bổ đề sau đây mô tả hàm tử giữa hai phạm trù Picard chặt chẽ liên kết với hai môđun chéo aben tương ứng.
3.2.2 Bổ đề. Cho hai môđun chéo abenM= (B, D, d),M0 = (B0, D0, d0)và đồng cấu (f1, f0) : M → M0. Gọi P và P0 là hai phạm trù Picard chặt chẽ, lần lượt liên kết với M và M0. Khi đó
(i) Tồn tại một hàm tử F : P→P0 xác định bởi F(x) =f0(x) và F(b) =f1(b)
với x∈D và b∈B;
(ii) Đẳng cấu tự nhiên Fex,y :F(x) +F(y)→F(x+y) cùng với F là một hàm tử monoidal đối xứng khi và chỉ khi Fex,y =ϕ(x, y), trong đó ϕ là một 2-đối chu trình đối xứng thuộc nhóm Zs2(Cokerd,Kerd0).
Chứng minh. Phép chứng minh của bổ đề này được suy ra từ phép chứng minh trong Bổ đề 2.2.2 với phép toán trong D là phép cộng, đồng cấu ϑ và ánh xạ bện η là tầm thường.
Do Bổ đề 3.2.2, ta xác định phạm trù AbCross. Phạm trù này có các vật là các môđun chéo aben và các mũi tên là các bộ ba (f1, f0, ϕ), trong đó (f1, f0) : (B, D, d) → (B0, D0, d0) là một đồng cấu môđun chéo aben và ϕ ∈ Zs2(Cokerd,Kerd0).
3.2.3 Định nghĩa. Giả sử P và P0 là các phạm trù Picard chặt chẽ. Hàm tử monoidal đối xứng (F,Fe) : P → P0 được gọi là một hàm tử monoidal đối xứng chính qui nếu F(x)⊗F(y) =F(x⊗y) với x, y ∈Ob(P).
Hàm tử (F,Fe) được đề cập trong Bổ đề 3.2.2 là một hàm tử monoidal đối xứng chính qui.
Bổ đề dưới đây chỉ ra rằng mỗi hàm tử monoidal đối xứng chính qui giữa các phạm trù Picard liên kết xác định một mũi tên trong phạm trù AbCross.
3.2.4 Bổ đề. Giả sử P và P0 là hai phạm trù Picard chặt chẽ lần lượt liên kết với các môđun chéo aben (B, D, d) và (B0, D0, d0), (F,Fe) : P → P0 là một hàm tử monoidal đối xứng chính qui. Khi đó bộ ba (f1, f0, ϕ), trong đó
f1(b) = F(b), f0(x) = F(x), ϕ(s1, s2) =Fex1,x2,
với b ∈ B, x ∈ D, xi ∈ si ∈ Cokerd, i = 1,2, là một mũi tên trong phạm trù
AbCross.
Chứng minh. Bổ đề này được chứng minh tương tự Bổ đề 2.2.4 chỉ cần bỏ qua đồng cấu ϑ và ánh xạ η.
Ta xác định phạm trù Picstr có vật là các phạm trù Picard chặt chẽ và mũi tên là các hàm tử monoidal đối xứng chính qui.
Từ các nội dung chuẩn bị trên, chúng tôi thu được định lý phân lớp các môđun chéo aben.
3.2.5 Định lý. (Định lý phân lớp) Tồn tại một tương đương phạm trù
Φ :AbCross −→Picstr,
(B →D)7−→PB→D
(f1, f0, ϕ)7−→(F,Fe)
trong đó F(x) = f0(x), F(b) = f1(b) và Fex1,x2 = ϕ(s1, s2) với x ∈ D, b ∈ B và
Chứng minh. Giả sử P và P0 lần lượt là các phạm trù Picard liên kết với các môđun chéo aben B →D và B0→D0. Theo Bổ đề 3.2.2, tương ứng(f1, f0, ϕ)7→
(F,Fe) xác định một đơn ánh
Φ : HomAbCross(B →D, B0 →D0)→HomPicstr(PB→D,PB0→D0).
Do đó Bổ đề 3.2.4 đảm bảo rằng Φ là một toàn ánh.
Mặt khác, giả sử P là một phạm trù Picard chặt chẽ. Khi đó, ta dựng được
MP là môđun chéo liên kết với P thỏa mãn Φ(MP) =P. Vì vậy Φ là một tương
đương phạm trù.
R. Brown và C. B. Spencer đã thiết lập một tương đương giữa phạm trù các môđun chéo và phạm trù các G-groupoid (xem [4, Định lý 1]). Hệ quả sau đây sẽ đề cập kết quả tương tự cho trường hợp các môđun chéo aben và phạm trù Picard chặt chẽ.
3.2.6 Hệ quả. Giả sử AbCross∗ là phạm trù con của phạm trù AbCross, có mũi tên là các đồng cấu của các môđun chéo aben (tức là ϕ= 0), và Picstr∗ là phạm trù con của phạm trù Picstr, có mũi tên là các hàm tử monoidal đối xứng chặt chẽ (Fe=id). Khi đó hai phạm trù này tương đương qua Φ.