Cho X là không gian Banach phản xạ thực, X∗ là không gian liên hợp của X, A : X → X∗ là một toán tử đơn điệu. Ngoài định nghĩa đã được trình bày ở Chương 1, khái niệm về toán tử đơn điệu còn được mô tả dựa trên đồ thị Gr(A) của toán tử A trong không gian tích X ìX∗, trong đó theo định nghĩa
Định nghĩa 2.1. (xem [3]) Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu
hx∗ −y∗, x −yi ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x∗ ∈ A(x), y∗ ∈ A(y).
Tập Gr(A) được gọi là tập đơn điệu nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức trên. NếuGr(A) không bị chứa trong một tập đơn điệu nào khác trongXìX∗, thì A được gọi là toán tử đơn điệu cực đại.
Một ví dụ điển hình về toán tử đơn điệu cực đại là dưới vi phân của một hàm lồi. Cụ thể ta có định lý sau.
Định lý 2.1. (xem [3]) Cho X là một không gian Banach phản xạ thực, X∗ là không gian liên hợp của X. Nếu F :X →R∪ {+∞} là hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới trên X, thì ánh xạ dưới vi phân ∂F là một toán tử đơn điệu cực đại từ X vào X∗.
Toán tử A đơn điệu cực đại khi và chỉ khi miền ảnh của A+λU là toàn bộ không gian X∗, đó là nội dung của Định lý 2.2.
Định lý 2.2. (xem [3]) Cho X, X∗ là các không gian Banach phản xạ thực và lồi chặt,U : X → X∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc củaX,A : X → X∗ là một toán tử đơn điệu. Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại nếu và chỉ nếu với mọi λ >0, R(A+ λU) là toàn bộ X∗.
Định lý sau đây chỉ ra rằng bất cứ một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và bị chặn nào từ X vào X∗ cũng đều là toán tử đơn điệu cực đại.
Định lý 2.3. (xem [3]) ChoX là một không gian Banach thực phản xạ,B :
X →X∗ là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và bị chặn, A : X → X∗ là toán tử đơn điệu cực đại. Khi đó A+ B cũng là một toán tử đơn điệu cực đại.
Tính bị chặn của toán tử Asẽ là không cần thiết nếu miền xác định của nó là toàn bộ không gian X. Ta có kết quả sau.
Định lý 2.4. (xem [3]) Cho X là một không gian Banach phản xạ thực, và A : X → X∗ là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục xác định trên X. Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại. Ngoài ra, nếu A là toán tử bức thì ta có R(A) = X∗.
Ta xét bài toán (2.1) vớiAj là các toán tử đơn điệu. NếuAj không có tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh, thì mỗi phương trình trong (2.1) nói chung là một bài toán đặt không chỉnh. Để tìm nghiệm ổn định cho mỗi phương trình này người ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Browder- Tikhonov dưới dạng (xem [1])
Ahj(x) +αUs(x−x∗) = fjδ, j = 1, ..., N, (2.2) ở đây Ahj là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và là xấp xỉ của Aj, fjδ là xấp xỉ của fj thoả mãn
kAj(x)−Ahj(x)k ≤ hg(kxk), h→ 0, (2.3)
kfjδ −fjk ≤ δ, δ →0, (2.4) ở đây g(t) là hàm không âm, bị chặn, t≥ 0. Với mỗi j = 1, ..., N, phương trình hiệu chỉnh (2.2) có duy nhất nghiệm, kí hiệu là xα,τj , τ = (h, δ) và nếu h/α, δ/α, α → 0 thì xα,τj → xj ∈ Sj có x∗-chuẩn nhỏ nhất. Kết quả này là nội dung của định lý sau.
Định lý 2.5. (xem [1]) Với mỗi α > 0, h > 0 và fjδ ∈ X∗ phương trình hiệu chỉnh Ahj(x) +αUs(x−x∗) =fjδ có duy nhất nghiệm xα,τj . Ngoài ra nếu α, h/α, δ/α → 0 thì dãy nghiệm hiệu chỉnh {xα,τj } hội tụ đến nghiệm x† của phương trình Aj(x) = fj có x∗-chuẩn nhỏ nhất.
Vấn đề đặt ra là tìm nghiệm chung cho hệ phương trình toán tử (2.1), tức là tìm x0 ∈ S = ∩N
j=0Sj, ở đây Sj = {¯x ∈ X : Aj(¯x) = fj}, với giả thiết S 6= ∅. Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi xây dựng bài toán hiệu
chỉnh sau đây: N X j=1 αλjAhj(x) +αUs(x−x∗) = fj, λ1 = 0 < λj < λj+1 < 1, j = 2, ..., N −1. (2.5)