Như đã biết nếu Aj = I −Tj, Tj là các toán tử không giãn trong không gian Hilbert thựcH, thì (1.9) tương đương với việc tìm điểm bất động chung cho một họ toán tử không giãn Tj, j = 1, ..., N. Để giải bài toán này, ta xuất phát từ u1 ∈ H và xây dựng dãy lặp
um+1 = αmum + (1−αm)Tmum, m = 1,2, ... ở đây Tm+N = Tm và 0< αm < 1.
Zeng và Yao [22] nghiên cứu phương pháp lặp với toán tử nhiễu F :
H → H cho bài toán này bởi
um = αmum−1 + (1−αm)Tmum −λmàF(Tmum), m = 1,2, .... ở đây Tm+N = Tm, u0 ∈ H cho trước. Định lý về sự hội tụ yếu và hội tụ mạnh của dãy lặp này đến điểm bất động chung của họ toán tử không giãn
{Tj}, j = 1, ..., N, được chứng minh với các điều kiện đặt lên cho toán tử nhiễu F, và các dãy số {αm} và {λm}.
Xu [24] nghiên cứu bài toán này trên cơ sở giải bài toán cực trị toàn phương min x∈∩N j=0Pj 1 2hAx, xi − hx, fi,
ở đây A là toán tử tuyến tính bị chặn, tự liên hợp xác định trênH thoả mãn
hAx, xi ≥ ςkxk2, ∀x ∈ H và 0 < ς < 1, f ∈ H. Xuất phát từ xấp xỉ ban đầu u0 ∈ H tuỳ ý, dãy {um} xác định như sau
um+1 = (I −αm+1A)Tm+1um+αm+1f, ở đây Tm+N = Tm.
Sự hội tụ của phương pháp này phụ thuộc vào điều kiện của các toán tử Aj
Kết luận
Trong chương 1 chúng tôi giới thiệu một số nét cơ bản nhất về bài toán đặt không chỉnh và hệ phương trình với toán tử đơn điệu. Các bài toán này sẽ được xét ở chương tiếp theo. Cụ thể, chúng tôi giới thiệu bài toán đặt không chỉnh thông qua một phương trình toán tử, trình bày ví dụ về phương trình toán tử không chỉnh và một vài kết quả về phương pháp hiệu chỉnh giải loại bài toán này. Phần cuối của chương giới thiệu hệ phương trình với toán tử đơn điệu. Một số phương pháp giải hệ phương trình với toán tử đơn điệu cũng được giới thiệu trong chương này.
Chương 2
Hiệu chỉnh hệ phương trình với toán tử đơn điệu
Trong chương này, chúng tôi xét bài toán tìm nghiệm chung cho hệ phương trình toán tử
Aj(x) = fj, ∀j = 1, ..., N, (2.1) ở đây Aj : D(Aj) ≡ X → X∗ là các toán tử đơn điệu, hemi-liên tục, fj ∈ X∗, N ≥1.
Chương này bao gồm hai mục: Trong mục 2.1 chúng tôi nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử (2.1) và các kết quả về vấn đề chọn tham số hiệu chỉnh, sự hội tụ và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trong không gian vô hạn chiều. Mục 2.2 xây dựng một phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không giải hệ phương trình toán tử (2.1) trong không gian Hilbert thực H trên cơ sở đề xuất của Nguyễn Bường [6]. Các kết quả của chương này được lấy từ các bài báo trong [8], [9], [17] và [19].
2.1. Phương pháp hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh