1. Qua nhiều năm giảng dạy bộ mơn tốn và tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tơi nhận thấy : trong quá trình hớng dẫn học sinh giải tốn Đại số về căn bậc hai thì học sinh rất lúng túng khi vận dụng các khái niệm, định lý, bất đẳng thức, các cơng thức tốn học.
Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh cha linh hoạt. Khi gặp một bài tốn địi hỏi phải vận dụng và cĩ sự t duy thì học sinh khơng xác định đợc phơng hớng để giải bài tốn dẫn đến lời giải sai hoặc khơng làm đợc bài.
học sinh cịn rất yếu.
Để giúp học sinh cĩ thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai trong phần chơng I đại số 9 thì ngời thầy phải nắm đợc các khuyết điểm mà học sinh thờng mắc phải, từ đĩ cĩ phơng án “ Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm khi giải tốn về căn bậc hai”
2 . Chơng “Căn bậc hai, căn bậc ba” cĩ hai nội dung chủ yếu là phép khai ph- ơng(phép tìm căn bậc hai số học của số khơng âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai. Giới thiệu một số hiểu biết về căn bậc ba, căn thức bậc hai và bảng căn bậc hai.
3 . Cách trình bày và đa ra định nghĩa, ký hiệu căn bậc hai ở chơng trình SGK cũ năm học 2004-2005 :
a) Nhắc lại một số tính chất của luỹ thừa bậc hai :
- Bình phơng hay luỹ thừa bậc hai của mọi số đều khơng âm.
- Hai số bằng nhau hoặc đối nhau cĩ bình phơng bằng nhau và ngợc lại nếu hai số cĩ bình phơng bằng nhau thì chúng bằng nhau hoặc đối nhau.
- Với hai số a,b : Nếu a>b thì a2 > b2 và ngợc lại nếu a2 > b2 thì a >b.
- Bình phơng của một tích(hoặc một thơng) bằng tích(hoặc thơng) các bình ph- ơng các thừa số(hoặc số bị chia với bình phơng số chia).
b) Căn bậc hai của một số :
* Xét bài tốn : Cho số thực a. Hãy tìm số thực x sao cho x2 = a. Ta thấy : - Nếu a< 0 thì khơng tồn tại số thực x nào thoả mãn x2 =a
- Nếu a > 0 cĩ hai số thực x mà x2=a, một số thực dơng x1>0 mà x12=a và một số thực âm x2<0 mà x22=a, hơn nữa đĩ là hai số đối nhau.
* Cơng nhận : Ngời ta chứng minh đợc rằng với mọi số thực a ≥ 0 luơn luơn tồn tại số thực duy nhất x≥ 0 mà x2 =a. Ta ký hiệu x = a và gọi là căn bậc hai số học của a.
* Từ đĩ đa ra định nghĩa : căn bậc hai số học (CBHSH) của một số a ≥ 0 là số khơng âm x = a≥ 0 cĩ bình phơng bằng a :
= = ≥ ⇔ = a a x x a x 2 2 ( ) 0
* Đa ra chú ý : a) Số − a<0, số đối của CBHSH acủa a (a>0) đợc gọi là căn bậc hai âm của a. Nh vậy mỗi số thực a> 0 cĩ 2 căn bậc hai là hai số đối nhau :
0
>
a gọi là CBHSH hay cịn gọi là căn bậc hai dơng của a. 0
<
− a gọi là căn bậc hai âm của a.
b) Căn bậc hai số học cĩ thể coi là kết quả của phép tốn sau : :
)
a → a sao cho ( a)2 =a phép tốn đĩ gọi là phép khai phơng hay phép khai căn bậc hai trên R+, đĩ là phép tốn ngợc của phép bình phơng trên R+.
4. Cách trình bày căn bậc hai ở lớp 9 (SGK mới) : a) Đa ra kiến thức đã biết ở lớp 7 :
- Căn bậc hai của một số a khơng âm là số x sao cho x2=a.
- Số dơng a cĩ đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : sốdơng kí hiệu là a và số âm kí hiệu là - a
- Số 0 cĩ đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết 0= 0.
b) Đa ra định nghĩa : Với số dơng a, số ađợc gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0.
c) Đa ra chú ý : Với a≥ 0, ta cĩ : Nếu x= a thì x ≥ 0 và x2 =a; Nếu x ≥ 0 và x2 =a thì x= a. Ta viết : = ≥ ⇔ = . , 0 2 a x x a x
d) Đa ra nội dung về phép khai phơng : Phép tốn tìm căn bậc hai số học của số khơng âm gọi là phép khai phơng.
e) Khi biết căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định đợc các căn bậc hai bậc hai của nĩ.
III - Tổng hợp những nội dung cơ bản về căn bậc hai : 1. Kiến thức :
Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đĩ là phép khai phơng(phép tìm căn bậc hai số học của số khơng âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai.
* Nội dung của phép khai phơng gồm :
- Giới thiệu phép khai phơng(thơng qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậc hai số học của số khơng âm)
- Liên hệ của phép khai phơng với phép bình phơng(với a≥0, cĩ ( )a 2 =a; với a bất kỳ cĩ a2 =|a|)
- Liên hệ phép khai phơng với quan hệ thứ tự(SGK thể hiện bởi Định lý về so sánh các căn bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta cĩ : a < b ⇔ a < b”)
- Liên hệ phép khai phơng với phép nhân và phép chia(thể hiện bởi : định lý “ Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta cĩ : ab = a b” và định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta cĩ :
b a b
a = ”) * Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu cho bởi các cơng thức sau :
2
A = | A| (với A là biểu thức đại số hay nĩi gọn là biểu thức )
BA A
AB = ( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0)
BA A B A
= ( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B > 0)
BA A B
A2 =| | ( với A, B là hai biểu thức mà B ≥ 0 )
ABB B B
A = 1 ( với A, B là hai biểu thức mà AB ≥ 0, B ≠ 0 )
BB B A B A = ( với A, B là biểu thức và B > 0) 2 ) ( B A B A C B A C − = ±
(với A, B, C là biểu thức mà A≥ 0 và A ≠ B2)
BA A B A C B A C − = ± ) ( ( với A, B, C là biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B ) * Tuy nhiên mức độ yêu cầu đối với các phép biến đổi này là khác nhau và chủ yếu việc giới thiệu các phép này là nhằm hình thành kỹ năng biến đổi biểu thức( một số phép chỉ giới thiệu qua ví dụ cĩ kèm thuật ngữ. Một số phép gắn với trình bày tính chất phép tính khai phơng).
2. Kỹ năng :
Hai kỹ năng chủ yếu là kỹ năng tính tốn và kỹ năng biến đổi biểu thức. * Cĩ thể kể các kỹ năng về tính tốn nh :
- Tìm khai phơng của một số ( số đĩ cĩ thể là số chính phơng trong khoảng từ 1 đến 400 hoặc là tích hay thơng của chúng, đặc biệt là tích hoặc thơng của số đĩ với số 100)
- Phối hợp kỹ năng khai phơng với kỹ năng cộng trừ nhân chia các số ( tính theo thứ tự thực hiện phép tính và tính hợp lý cĩ sử dụng tính chất của phép khai phơng)
* Cĩ thể kể các kỹ năng về biến đổi biểu thức nh :
- Các kỹ năng biến đổi riêng lẻ tơng ứng với các cơng thức nêu ở phần trên( với cơng thức dạng A = B , cĩ thể cĩ phép biến đổi A thành B và phép biến đổi B thành A). Chẳng hạn kỹ năng nhân hai căn(thức) bậc hai cĩ thể coi là vận dụng cơng thức
BA A
AB = theo chiều từ phải qua trái.
- Phối hợp các kỹ năng đĩ( và cả những kỹ năng cĩ trong những lớp trớc) để cĩ kỹ năng mới về biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai. Chẳng hạn kỹ năng trục căn thức ở mẫu.
Điều quan trọng nhất khi rèn luyện các kỹ năng biến đổi biểu thức là tính mục đích của các phép biến đổi. Điều này, SGK chú ý thơng qua các ứng dụng sau khi hình thành ban đầu kỹ năng về biến đổi biểu thức. Các ứng dụng này cịn nhằm phong phú thêm cách thức rèn kỹ năng( để so sánh số, giải tốn tìm x thoả mãn điều kiện nào đĩ.)
Ngồi hai kỹ năng nêu ở trên ta cịn thấy cĩ những kỹ năng đợc hình thành và củng cố trong phần này nh :
- Giải tốn so sánh số - Giải tốn tìm x
- Lập luận để chứng tỏ số nào đĩ là căn bậc hai số học của một số đã cho
- Một số lập luận trong giải tốn so sánh số(củng cố tính chất bất đẳng thức nêu ở tốn 8)
- Một số kỹ năng giải tốn tìm x ( kể cả việc giải phơng trình tích) - Kỹ năng tra bảng số và sử dụng máy tính.
Cĩ thể nĩi rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng chiếm thời gian chủ yếu của phần kiến thức này( ngay cả việc hình thành kiến thức cũng chú ý đến các kỹ năng t- ơng ứng và nhiều khi, chẳng hạn nh giới thiệu phép biến đổi, chỉ thơng qua hình thành kỹ năng).
B. Chơng II : Nội dung thực hiện I - Các bớc tiến hành :
1. Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết sáng kiến kinh nghiệm. 2. Trao đổi thảo luận cùng đồng nghiệp.
3. Đăng ký sáng kiến, làm đề cơng.
4. Thu thập, tập hợp số liệu và nội dung phục vụ cho việc viết sáng kiến. Qua khảo sát, các bài kiểm tra, các giờ luyện tập, ơn tập.
5. Phân loại các sai lầm của học sinh trong khi giải các bài tốn về căn bậc hai thành từng nhĩm.
6. Đa ra định hớng, các phơng pháp tránh các sai lầm đĩ. Vận dụng vào các ví dụ cụ thể.
7. Tổng kết, rút ra bài học kinh nghiệm. II - Khảo sát đánh giá :
Những giờ giảng dạy trên lớp, qua bài kiểm tra đầu giờ, qua luyện tập, ơn tập. GV cần lu ý đến các bài tốn về căn bậc hai, xem xét kĩ phần bài giải của học sinh, gợi ý để học sinh tự tìm ra những sai sĩt(nếu cĩ) trong bài giải, từ đĩ giáo viên đặt ra các câu hỏi để học sinh trả lời và tự sửa chữa phần bài giải cho chính xác.
Qua bài kiểm tra 15 phút thì tỉ lệ học sinh mắc sai lầm trong khi giải tốn tìm căn bậc hai của 139 học sinh lớp 9 năm học 2006-2007 là : 38/139 em chiếm 27,33%. Trong bài kiểm tra chơng I - Đại số 9 năm học 2006-2007 của 139 học sinh thì số học sinh mắc sai lầm về giải tốn cĩ chứa căn bậc hai là 56/139 em chiếm 40,3% (nghiên cứu tổng hợp qua giáo viên dạy tốn 9 năm học 2006-2007)
Nh vậy số lợng học sinh mắc sai lầm trong khi giải bài tốn về căn bậc hai là t- ơng đối cao, việc chỉ ra các sai lầm của học sinh để các em tránh đợc khi làm bài tập trong năm học 2007-2008 này là một cơng việc vơ cùng quan trọng và cấp thiết trong quá trình giảng dạy ở trờng THCS
III - Phân tích những điểm khĩ và mới trong kiến thức về cănbậc hai :